Sélection de bonnes plaques markoviennes instables. Jusqu’à la fin du paragraphe, nous suppo- serons l’existence d’un ensemble Borélien D ⊂ Aui0(p), pour un certain p ∈ IntCi0 de mesure positive
pour λuF,pet sur lequel s−
i0 est constant.
Fixons un nombre δ > 0 inférieur à (µF(Ci)/4)2, i ∈ I. Par le théorème de densité de Borel (voir le corollaire 2.14 de [Matt]), il existe une petite boule B ⊂ Aui0(p) telle que λuF,p(B \D)/λuF,p(B) ≤109δ. De
plus, nous pouvons chosir B suffisamment petite de sorte que λuF,p(∂B) = 0.
Lemme 7.1.14. Il existe un nombre positif T0tel que pour t ≥ T0, il existe Bt⊂B tel que :
1. λu
F,p(Bt)/λuF,p(B) ≤109 ;
Preuve. Soit i ∈ I et t > 0. Nous disons qu’une composante connexe de IntCi∩ϕt(B) est markovienne si c’est une plaque instable markovienne Aui(q) pour un certain q : c’est-à-dire si elle croise le cube. Alors,
IntCi∩ ϕt(B) = bBM,i⊔ bBN M,i,
où bBM,i désigne l’union des composantes markoviennes de IntCi∩ ϕt(B), et bBN M,i, son complé- mentaire (l’union des composantes non-markoviennes).
Soit ∆ > 0 une borne supérieure des diamètres des plaques instables markoviennes. L’ensemble S
iBbN M,i est inclus dans le ∆-voisinage de ∂ϕt(B). Cet ensemble étant inclus dans une feuille in- stable, ϕ−t¡SiBbN M,i¢est inclus dans le ∆Cue−tχu-voisinage of ∂B. L’intersection décoissante de ces voisinages est ∂B, qui est de mesure nulle pour λuF,p : il est donc possible de trouver T0> 0 tel que pour tout t ≥ T0, λuF,p " ϕ−t à [ i b BN M,i !# ≤ λuF,p(B) 10 .
Il est alors immédiat que, lorsque t ≥ T0, l’ensemble Bt= ϕ−t¡SiBbM,i¢convienne. ä
Remarque 1. Puisque le flot préserve la classe de λuF,p, et puisque chaque ∂Aui(p) est de mesure nulle, il existe pour tout t ≥ T0une collection (Dj)j ∈Jd’ouverts disjoints de Bttels que :
– pour tout j ∈ J, ϕt(Dj) est une plaque markovienne instable ; – λuF,p¡Bt\ SjDj¢= 0.
Remarque 2. La première assertion du lemme7.1.14, et le choix de B, entraînent que pour t ≥ T0:
λuF,p(Bt\ D)
λuF,p(Bt) ≤ δ.
Lemme 7.1.15. Il existe T1≥ T0tel que pour tout t ≥ T1et tout i ∈ I,
λuF,p(Bt∩ ϕ−t(Ci))
λuF,p(Bt) ≥
µF(Ci) 2 . Preuve. Nous savons que la famille suivante de mesures :
µt=
ϕt∗ (λuF,p)|B
λuF,p(B) ,
converge vers µF(voir le théorème2.1.8) ) lorsque t croît à l’infini. En particulier, puisque pour tout
i ∈ I, µF(∂Ci) = 0, nous avons limt →∞λuF,p(B ∩ ϕ−t(Ci))/λuF,p(B) = µF(Ci). Or l’inégalité suivante a lieu pour tout t > 0 :
λuF,p(Bt∩ ϕ−t(Ci)) λuF,p(Bt) ≥ λuF,p(B ∩ ϕ−t(Ci)) λuF,p(B) − λuF,p(B \ Bt) λuF,p(B) .
Le second terme de la différence tend vers zéro (comme nous l’avons vu dans la preuve du lemme
7.1.14) alors que le premier tend vers µF(Ci). Le lemme suit donc. ä À présent, choisissons t ≥ T1. Nous avons déjà remarqué (remarque 1) qu’il y a une partition de Btmodulo λu
Lemme 7.1.16. Soit J0l’ensemble des indices j ∈ J tels que λuF,p(Dj\ D)/λuF,p(Dj) ≥pδ. Alors :
λuF,p¡Fj ∈J0Dj¢
λuF,p(Bt) ≤
p
δ.
Preuve. La preuve de ce lemme est une simple application d’une inégalité “à la Markov”. Puisque (Dj)j ∈Jest une partition of Btmodulo λuF,p, nous avons :
P j ∈Jbjaj P j ∈Jbj = λuF,p(Bt\ D) λuF,p(Bt) ,
où, pour j ∈ J, aj= λuF,p(Dj\ D)/λuF,p(Dj), et bj= λuF,p(Dj). En particulier, ce quotient est inférieur à
δ.
Puisque J0est formé des indices j tels que aj≥pδ, nous avons la chaîne suivante d’inégalités : p δ P j ∈J0bj P j ∈Jbj ≤ P j ∈J0bjaj P j ∈Jbj ≤ δ. Nous pouvons ainsi conclure puisquePj ∈J0bj= λuF,p¡Fj ∈J0Dj
¢
. ä
Lemme 7.1.17. Il existe une constante K0> 1, independante de t et δ, telle que pour tout i ∈ I et t ≥ T1,
il existe pi∈ IntCitel que :
λuF,pi(Aui(pi) \ ϕt(D))
λuF,pi(Aui(pi)) ≤ K0 p
δ.
Preuve. Soit i ∈ I, et t ≥ T1. D’après le lemme7.1.15, la proportion dans Bt des ensembles Dj dont l’image par ϕt est une plaque markovienne instable de Ci est supérieure à µF(Ci)/2. Et d’après le lemme7.1.16, la proportion dans Bt des ensembles Dj dont l’intersection avec le complémentaire de D pèse plus depδ de sa masse totale, est inférieure àpδ. De plus, nous avons choisi un δ tel que
p
δ ≤ µF(Ci)/4.
De tout ceci, nous déduisons l’existence d’un ensemble Djtel que : – il y a un pi∈ IntCitel que ϕt(Dj) = Aui(pi) ;
– λuF,p(Dj\ D)/λuF,p(Dj) ≤pδ.
Le lemme de distorsion6.1.5nous permet de conclure :
λuF,p i(A u i(pi) \ ϕt(D)) λuF,p i(A u i(pi)) ≤ K0 ϕt∗ λuF,p(Aui(pi) \ ϕt(D)) ϕt∗ λuF,p(Aui(pi)) = K0 λuF,p(Dj\ D) λuF,p(Dj) ≤ K0 p δ.
Nous concluons ainsi la preuve du lemme. ä
Lemme 7.1.18. Soit t ≥ T1, i ∈ I, et pi ∈ IntCi comme dans le lemme 7.1.17. L’application si− est
constante sur Au
i(pi) ∩ ϕt(D).
Preuve. Afin de voir cela, nous utilisons le lemme7.1.8. La valeur du cocycle A−t est constante sur
Aui(pi), pour tout q ∈ IntCi. Ainsi, si q1, q2∈ Aui(pi) ∩ ϕt(D), nous avons :
s− i (q1) = A−t(q1)−1si−0(ϕ−t(q1)) = A−t(q2) −1s− i0(ϕ−t(q2)) = s − i(q2). ä
Un argument à la Hopf. Nous savons que dans chaque cube Ci, la fonction si−est constante sur une grande proportion d’une certaine plaque markovienne instable. En utilisant la continuité absolue du feuilletage centre-stable, ainsi que l’invariance de σ− par les applications d’holonomie le long des chemins centre-stables, nous prouvons que la fonction s−
i est constante sur une grande proportion du cube Ci. Ceci est l’objet du lemme suivant :
Lemme 7.1.19. Il existe une constante K1> 1, indépendante de δ, telle que pour tout i ∈ I , il y ait un
ensemble de Borel Oi⊂IntCisatisfaisant :
1. Oiest saturé dans Ci dans la direction centre-stable ;
2. s−
i est constant sur Oi;
3. pour tout q ∈ Oi, nous avons :
λuF,q(Au
i(q) \Oi)
λuF,q(Au
i(q)) ≤ K 1pδ.
Preuve. Soit i ∈ I, et t ≥ T1. D’après le lemme7.1.17, il existe un point pi∈ IntCitel que la proportion pour λuF,pi dans la plaque markovienne instable Aui(pi) du complémentaire de ϕt(D) soit inférieur à
K0pδ pour un certain K0> 1. Nous pouvons définir Oi⊂IntCi comme le saturé de Aui(pi) ∩ ϕt(D)
dans la direction centre-stable. Par le lemme7.1.3, la fonction s−
i est constante dans les plaques centre-stables de Ciainsi, puis- qu’elle est également constante dans Aui(pi) ∩ ϕt(D), elle l’est dans Oitout entier.
À présent, si q ∈ Wloccs(pi), nous avons :
Aui(q) \Oi= holcspi→q(A
u
i(pi) \ ϕt(D)).
Le point crucial est alors la propriété suivante d’absolue continuité des transformations d’holo- nomie centre-stable. Supposons que q′∈ Au(q), et notons q′′= holcs
q→pi(q′), ainsi que π
s(q′) la pro- jection de q′dans Ws
loc(q′′) le long du flot : il y a un temps T ∈ R tel que ϕT(q′) = πs(q′). Nous avons alors : dhholcspi→q∗ λuF,pii dλuF,q (q′) = exp ·ˆ ∞ 0 (F ◦ ϕ−t (q′′) − F ◦ ϕ −t(πs(q′)))d t ¸ exp "ˆ T 0 (F ◦ ϕt (q′) − P(F ))dt # .
Puisque le diamètre des plaques centre-stables à l’intérieur de Ci est uniformément borné, et puisque F est bornée et Hölder continue avec des constantes uniformes, les dérivées de Radon- Nikodym ci-dessus sont uniformément bornées. Par conséquent, la troisième assertion est également
prouvée. ä
Lemme 7.1.20. Il existe une constante K2> 1, indépendante de t et δ, telle que pour tout i ∈ I et t ≥ T1,
si Oiest l’ensemble de Borel construit dans le lemme7.1.19, nous ayons :
µF(Ci\Oi)
µF(Ci) ≤ K2
p
δ.
Preuve. Nous utilisons la structure de produit local de l’état de Gibbs µFdans Ci: cette mesure est ob- tenue par intégration de mesures ψuF,qλuF,qcontre λcsF,pi. Puisque les densités ψuF,qsont uniformément log-bornées dans les plaques instables, ces mesures finies sont équivalentes à (λuF,q)|Au
i(q)/λ
u
F,q(Aui(q)) avec des dérivées uniformément log-bornées.
Fin de la preuve du lemme7.1.13 Les lemmes7.1.19et7.1.20donnent pour tout δ > 0, un ensemble de Borel Oiinclus à l’intérieur du cube Citel que :
– s−
i est constant sur Oi;
– µF(Ci\Oi)/µF(Ci) ≤ K2pδ pour un nombre K2> 1 indépendant de δ.
Nous voyons que la constante est indépendante de δ suffisamment petit, en effet deux Oidoivent se couper puisque leurs complémentaires pèsent moins de la moitié de la masse de Cilorsque δ est assez petit. Appelons cette constante s∗
i. Le complémentaire de (si−)−1(si∗) est de mesure arbitraire- ment petite : il a une mesure nulle pour µF, et le lemme est ainsi prouvé. ä.