Nous sommes à présent prets à prouver l’absolue continuité du feuilletage stable. Nous rappelons que, dans notre définition de flot hyperbolique feuilleté, nous avons supposé qu’en restriction aux feuilles, le flot est C2, et que le champ de vecteurs varie de façon continue dans la topologie C2. Ici encore, nous n’allons traiter que le cas où les transversales sont des variétés centre-instables, le cas général se déduisant comme dans [Man].
Theorème 5.5.4. Soit (M,F ) une variété close feuilletée et Φt: M →M un flot hyperbolique feuilleté.
Alors les applications d’holonomie stable sont absolument continues avec un Jacobien uniformément log-Hölder. Plus précisément, il existe des constantes C > 0 et θ < 1 tel que pour tous x, y ∈ M sur la même variété centre-instable, appartenant au domaine d’une même transformation d’holonomie stable hstels que distcu(x, y) < 1 dists(x,hs(x)) < 1 et dists(y,hs(y)) < 1, on ait :
|logJachs(x) − logJachs(y)| ≤ Cdist(x, y)θ.
Idée de preuve. Nous suivons ici la preuve de Mañé, donnée au chapitre 3 de [Man]. Il y a essentielle- ment deux étapes, reposant sur deux contrôles de distorsion différents.
La première étape est de prouver que la quantité suivante existe :
Js(x) = lim t →∞
JacsΦ t(x) JacsΦt(hs(x)).
Nous avons déjà vu le lemme de distorsion qui permet de prouver cela (voir le lemme6.1.5). Nous avons besoin du fait que le fibré stable varie de façon uniformément Hölder, ainsi que de la continuité de la dérivée DΦ1dans la topologie C1. Nous noterons dans la suite x′= hs(x).
La seconde étape est plus difficile. Il s’agit de prendre une approximation lisse des transforma- tions d’holonomie stable. Pour ce faire, nous remarquons que chacune des feuilles centre-instables locales possède un fibré normal C2qui varie continûment avec la feuille dans la topologie C2: cela
donne donc un feuilletage local C2 transverse aux feuilles centre-instables locales. Quitte à renor- maliser la métrique, nous pouvons supposer que l’holonomie de ce feuilletage donne une famille de fonctions C2 π0x →x′ : W1cu(x)→Wcu(x′), lorsque x, x′sont sur la même variété stable à distance au
plus 1. Nous pouvons alors trouver une constante C1> 0 telles que :
distL(π0x →x′(x), x′) ≤ C1distL(x, x′). (5.5.13)
||Dxπ0x →x′− I d|| ≤ C1distL(x, x′). (5.5.14)
Puisque la métrique feuilletée varie continûment dans la topologie C2, cette constante peut être ren- due uniforme sur toute la variété (tant que x, x′restent à distance uniformément bornée). En conju- guant par le flot, nous obtenons l’approximation désirée. En notant respectivement xtet x′tles images Φt(x) et Φt(x′) pour t > 0, nous définissons πtx →x′ = Φ−t◦ π0xt→ x′
t◦ Φt. Par la première inégalité ci-
dessus (5.5.13), cette famille converge uniformément vers la transformation d’holonomie hslorsque
t tend vers l’infini. Afin de prouver que cette application d’holonomie est absolument continue, il suf-
fit alors de prouver que Js
t= Jacπtx →x′converge vers Js(voir le théorème 3.3 de [Man]). Par l’inégalité
(5.5.14), le Jacobien de π0x−t→ y−t tend uniformément vers 1, et nous avons :
Jts(x) Js(x)= JaccuΦt(x′) JaccuΦt(πtx →x′(x)) Jacπ0x t→ x′t(xt).
Nous aurons donc besoin d’un nouveau contrôle de distorsion, que nous effectuons ci-dessous. Par hypothèse, πtx →x′(x) = Φ−t(x′′t) = x′′, où nous posons x′′t = π0xt→ xt′(xt). Ainsi, x
′′
t et xt′ sont sur la même variété centre-instable. De plus, par la majoration (5.5.13), nous avons distL(x′t, x′′t) ≤
C1dist(xt, xt′) ≤ C1Cuetχs, et lorsque t est assez grand, nous pouvons contrôler distcu(x′t, x′′t) par une exponentielle C′etχs. Puisque x′
t et x′′t appartiennent à la même variété centre-instable, nous avons pour tout τ ≤ t, distcu(Φ−s(x′t),Φ−s(xt)′′) ≤ distcu(xt′, x′′t) ≤ C′etχs.
Nous pouvons alors faire le calcul, en utilisant le fait que le fibré centre-instable est uniformément Hölder, et que la dérivée du flot est uniformément C1: il existe des constantes K′et θ′, telles que, pour
n entier assez grand,
¯ ¯ ¯ ¯log JaccuΦn(x′) JaccuΦ n(x′′) ¯ ¯ ¯ ¯ ≤ n−1X j =0 ¯ ¯logJaccu Φ1(Φj(x′)) − logJaccuΦ1(Φj(x′′))¯¯ ≤ K′ n−1X j =0 distcu(Φj(x′),Φj(x′′))θ ′ ≤ K′(C′)θ′n exp(θ′χsn) −→n →∞0
Ceci nous permet donc de prouver la convergence uniforme de Jtsvers Js, et donc l’absolue conti- nuité du feuilletage stable.
Reste à prouver que le Jacobien est uniformément Hölder. Ici encore, il suffit de le prouver pour une métrique adaptée, comme lors de la preuve du lemme5.5.3. Soit x, y deux points sur la même variété centre-instable à distance γ < 1. Si x, y sont sur la même orbite, Js(y)/Js(x) ≤ Adist
cu(x, y), où
A est une borne supérieure uniforme pour ||DΦt||, t ∈ [−1,1].
Si x et y sont sur la même variété instable, nous pouvons écrire pour tout t ≥ 0, avec xt= Φt(x), yt= Φt(y), x′= hs(x), y′= hs(y) : Js(y) Js(x)= Js(yt) Js(xt) JacsΦt(y) JacsΦ t(x) JacsΦt(x′) JacsΦ t(y′).
Considérons alors l’exposant que nous avions défini dans la preuve de la proposition5.5.3:
θ1=χ −χs,l
u,r− χs,l < 1.
Nous pouvons alors, comme dans la preuve précédente, considérer un temps t > 0 tel que γetχu,r=
γθ1, et etχs,l = γθ1: il s’agit de prendre t = θ1logγ/χ
s,l= (θ1−1)logγ/χu,r. Nous avons alors distu(xt, yt) ≤
γθ1, et dist
s(xt, x′t),dists(yt, yt′) ≤ γθ1.
Par le lemme de distorsion usuel, nous pouvons contrôler le logarithme du premier quotient
Js(yt)/Js(xt) par une quantité de l’ordre de γθ2pour un certain θ2< θ1.
Par un lemme de distorsion analogue à celui que nous avons donné dans un second temps, il existe une constante uniforme θ3< θ1 telle que nous puissions contrôler le terme logJacsΦt(y) − logJacsΦt(x) par une quantité de l’ordre de t logγθ3, qui est de l’ordre de −log(γ)γθ3, et donc contrôlé en particulier par γθ3/2.
Le troisième facteur paut être contrôlé par une puissance < 1 de γ par le même raionnement que ci-dessus, en utilisant la caractère uniformément Hölder des applications d’holonomie stable (proposition5.5.3).
Ainsi, nous trouvons des constantes de Hölder uniformes sur M pour le Jacobien des transforma-
Chapitre VI
Mesures de Gibbs et mesures
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Mesures de Gibbs et mesures
F-harmoniques pour les
fibrés feuilletés
Nous avons déjà vu deux exemples de mesures de Gibbs pour le flot géodésique feuilleté. Les premières étaient les états de H-Gibbs, associées à un potentiel dont la définition fait intervenir le noyau de Poisson. Les secondes étaient les états de u-Gibbs, associés à un potentiel donné par le jacobien instable du flot.
Nous voulons généraliser cette notion de mesures de Gibbs, au moins dans le cas des fibrés feuilletés : c’est-à-dire le cas où le feuilletage est transverse à une fibration au dessus d’une variété close portant un flot d’Anosov C2topologiquement mélangeant.
Ensuite, dans le cas particulier où l’on regarde le flot géodésique feuilleté sur l’unitaire tangent d’un feuilletage transverse à une fibration dont les feuilles sont paramétrées par une métrique à cour- bure sectionnelle négative sur la base, nous allons associer à ces mesures de Gibbs certaines mesures que nous appellerons F -harmoniques.
De même que les mesures de H-Gibbs, et de u-Gibbs pour le flot géodésique feuilleté sont en bijection respectivement avec les mesures harmoniques et φu-harmoniques, nous aimerions asso- cier à tout potentiel Hölder F un noyau kFanalogue au noyau de Poisson, qui nous permettrait, par intégration contre une mesure à l’infini, de définir de nouvelles fonctions, appelées F -harmoniques. Nous verrons certaines propriétés de ces fonctions dans la suite.