Trisections de type I et II

2.4 Trisections de type I et II

Le probl`eme des op´erations de recollement/ouverture que nous avons d´efinies est qu’´etant donn´ee une carte m dont on veut diminuer ou augmenter le genre, on ne sait pas quel triplet de demi-arˆetes {a1, a2, a3} on doit choisir pour l’appliquer. Nous allons d´esormais montrer qu’en se restreignant `a certains triplets d’arˆetes {a₁, a₂, a₃}, on peut

«rendre canoniques» ces op´erations.

2.4.1 Recollement de trois sommets

La premi`ere id´ee est de se restreindre `a recoller des demi-arˆetes qui sont chacune le minimum dans son sommet : c’est ce que nous faisons dans cette partie. Soient v1, v2, v3

trois sommets distincts d’une carte `a une face m. On pose ai = minmvi et, quitte `a r´earranger les indices, on suppose que a1 <m a2 <m a3. On note ∆1,∆2,∆3 les trois diagrammes correspondants (la demi-arˆete marqu´ee dans chaque vi ´etant ai). Puisque chaque ai est le minimum dans son sommet, remarquons que les blocs A1, A2, B2, A3, B3, C3 ne contiennent aucun point : nous dirons qu’ils sont vides, et nous noterons A1 =A2 =B2 =A3 =B3 =C3 =∅.

Recollons maintenant les trois demi-arˆetesa1, a2, a3, par l’op´eration du paragraphe 2.2.1 : on obtient une nouvelle carte `a une facem, avec un nouveau sommet ¯v r´esultant du recol-lement. Soit maintenant τ la demi-arˆete pr´ec´edanta1 en sens direct autour de v dans m.

Puisque A3 =B3 =C3 =∅, on a soit τ ∈D3, soit τ =a3 (il suffit pour s’en convaincre de regarder la figure 2.10(c)). Dans les deux cas, on a donca1 <mτ. De plus,a1 n’est pas le minimum du sommet ¯v (ce minimum est au contraire a2). Ainsi, par d´efinition, τ est une trisection de la carte m.

D´efinition 11. Pour tout g ≥ 0, n ≥ 1, et k ≥ 1, on note Ug^k(n) l’ensemble des cartes

`a une face de genre g, `a n arˆetes, portantk sommets distincts marqu´es (indistinguables les uns des autres).

D´efinition 12(L’application Φ).Pour tout (m, v1, v2, v3)∈ Ug³(n), on note Φ(m, v1, v2, v3) :=

(m, τ) la paire form´ee de la nouvelle carte m et de la trisection cr´e´eeτ.

Il est clair qu’´etant donn´ee la paire (m, τ), il est possible d’inverser l’op´eration pr´ec´edente.

En effet, `a partir de τ il est facile de retrouver les trois demi-arˆetes a1, a2, a3 : a2 est le minimum du sommet ¯v = V(τ) ; a1 est l’arˆete qui suit τ autour de ¯v; enfin, a3 est la plus petite arˆete, pour l’ordre <m, qui soit `a la fois `a la gauche et au-dessus de a1 dans la repr´esentation en diagramme de ¯v (en effet, les blocs B2 et B3 sont vides). Une fois le triplet {a1, a2, a3} retrouv´e, il est simple de reformer la carte m et ses trois sommets v1, v2, v3, en appliquant l’op´eration d’ouverture au triplet {a1, a2, a3} dans m. On a donc montr´e :

Lemme 10. Pour tous g et n, l’application Φ, d´efinie sur l’ensemble Ug³(n) des cartes `a une face de genre g `a n arˆetes portant trois sommets marqu´es, est injective.

Se pose ici une question naturelle : obtient-on toutes les cartes avec une trisection marqu´ee de cette mani`ere ? Si non, quelle est l’image de l’application Φ ? La r´eponse `a la premi`ere question est non, mais fort heureusement, il est possible de r´epondre avec

pr´ecision `a la deuxi`eme. Pour cela, nous allons simplement tenter d’inverser la construc-tion pr´ec´edente, en nous arrˆetant au moment o`u nous aurons besoin de faire des hy-poth`eses suppl´ementaires.

2.4.2 D´ ecomposition en blocs, et trisections de type I

Soit m = (H, α,σ) une carte `a une face de genre¯ g + 1, et soit τ une trisection de m. On pose ¯v =V(τ). Afin de tenter d’inverser la construction pr´ec´edente, on d´efinit les trois demi-arˆetes b1, b2, b3 comme suit :

Fig. 2.11 – Trisections de type I etII.

Les rang´ees et colonnes contenant b1, b2, b3 s´eparent le diagramme repr´esentant ¯v en douze blocs, comme sur la figure 2.11. Cinq de ces blocs sont n´ecessairement vides (les trois blocs inf´erieurs sont vides, car b2 est le minimum dans ¯v; les deux blocs situ´es en dessous `a droite et en dessous `a gauche de b3 sont vides par d´efinition de b3). Soit alors K le bloc apparaissant en dessous `a gauche de b₁ (comme en figure 2.11).

D´efinition 13. On dit que τ est une trisection de type IsiK est vide, et que τ est une

Dans les d´efinitions ci-dessus, nous avons tout fait pour que la proposition suivante soit vraie :

Proposition 11. L’application Φr´ealise une bijection entre l’ensemble Ug³(n) des cartes

`a une face de genre g portant trois sommets marqu´es, et l’ensemble Dg+1<sup>I</sup> (n) des cartes `a une face de genre g+ 1 portant une trisection de type Imarqu´ee.

2.4 - Trisections de typeI etII 35 D´emonstration. On sait d´ej`a que Φ est injective.

De plus, il est clair que l’image de Φ est incluse dans Dg+1^I (n). En effet, si l’on part d’une cartemavec trois sommets marqu´esv1, v2, v3, d’arˆetes minimalesa1 <ma2 <ma3, et que l’on pose (m, τ) = Φ(m, v1, v2, v3), alors il est clair, puisque les blocsA1, A2, A3, B2, B3

sont vides (avec les notations de la figure 2.10), qu’on a :a1 =b1, a2 =b2, a3 =b3, o`u les bi sont d´efinis comme ci-dessus. Par cons´equent, le bloc K de la figure 2.11 n’est autre que le bloc C3 de la figure 2.10. Puisque a3 = minm(v3), on sait que K est vide, et donc que τ est de type I.

R´eciproquement, soit (m, τ) un ´el´ement de D^Ig+1(n), et fixons b1, b2, b3 et K comme ci-dessus. Puisque b2 <m b1 <m b3 par construction, ces demi-arˆetes sont entrelac´ees : on sait donc que leur ouverture produit une carte `a une face m bien d´efinie, de genre g.

De plus, en comparant une fois encore les figures 2.10 et 2.11, on voit que l’ouverture produit trois sommetsv1, v2, v3 tels que chaquebi est le minimum devi. En effet, les blocs A1, A2, A3, B2, B3 sont vides par construction, et le bloc C3 = K est vide car τ est de typeI. Il est alors clair que Φ(m, v1, v2, v3) = (m, τ), et donc l’image de Φ est exactement D^Ig+1(n).

2.4.3 Trisections de type II

Bien sˆur, nous voudrions ˆetre capable de construire toutes les cartes de genre g + 1 munies d’une trisection : il nous faut donc trouver un moyen d’engendrer celles de type II. Cette fois, nous proc´edons de mani`ere inverse, en partant d’une trisection de typeII, et en tentant d’identifier les objets produits par une op´eration d’ouverture naturelle.

Soit (m, α,σ) une carte de genre¯ g+ 1, portant une trisection distingu´ee τ de type II. Soient b1, b2, b3, et K d´efinis comme au paragraphe 2.4.2 et figure 2.11. Soit m le r´esultat de l’ouverture de m par le triplet {b1, b2, b3}. En utilisant les notations de la figure 2.10, avec ai = bi, on obtient trois sommets, de diagrammes ∆1,∆2,∆3, tels que A1 = A2 = B2 = A3 = B3 = ∅. Cependant, contrairement `a ce qui arrivait dans la section pr´ec´edente, le bloc C3 = K n’est pas vide : a3 n’est donc pas le minimum du sommetv3. On a alors :

Lemme 12. τ est toujours une trisection dans la carte m.

D´emonstration. Puisque τ est une trisection de m, on a a₁ <m τ, et puisque B₃ est vide, cela implique que τ appartient au bloc D3. Par cons´equent, on voit que a3 <m τ (dans la carte m). De plus, il est clair que σ(τ) =a3 dans m puisque les deux colonnes correspondantes deviennent cons´ecutives apr`es l’ouverture. Or nous avons vu que la demi-arˆete a3 n’est pas le minimum autour dev3 dans m :τ est donc bien une trisection.

D´efinition 15. On note Γ(m, τ) := (m, v1, v2, τ) le quadruplet constitu´e de la carte m r´esultant de l’ouverture, des deux sommets v₁ et v₂, et de la trisection τ.

Il est clair que l’application Γ est injective surD^IIg (n). En effet, ´etant donn´e (M, v1, v2, τ), il est possible de reconstruire la carte men posant a1 := minm(v1), a2 = minm(v2),a3 = σ(τ), et en recollant le triplet de demi-arˆetes {a1, a2, a3}. R´eciproquement, d´efinissons : D´efinition 16. Soit V^g(n) l’ensemble des quadruplets (m, v1, v2, τ) tels que m est une carte `a une face de genre g `a n arˆetes, et v1, v2, τ sont respectivement deux sommets et

une trisection de mv´erifiant :

minm (v1)<mmin

m (v2)<mmin

m V(τ). (2.7)

Etant donn´e (m, v´ 1, v2, τ) ∈ V^g(n), soit m la carte obtenue par le recollement du triplet de demi-arˆetes {minm(v1),minm(v2), σ(τ)}. On d´efinit l’application Ψ par :

Ψ(m, v1, v2, τ) := (m, τ) L`a encore, nous avons tout fait pour obtenir :

Proposition 13. L’application Ψ d´efinit une bijection entre l’ensemble V^g(n) des cartes

`a une face de genre g portant un triplet marqu´e satisfaisant l’´equation (2.7), et l’ensemble D<sup>II</sup>g+1(n) des cartes `a une face de genre g+ 1 portant une trisection de type II marqu´ee.

D´emonstration. Dans la discussion pr´ec´edente, nous avons d´ej`a donn´e une application Γ :D^IIg+1(n)→ Vg(n), telle que Ψ◦Γ est l’identit´e sur D^IIg+1(n).

R´eciproquement, soit (m, v₁, v₂, τ) ∈ Vg(n), et soient a₁ = minv₁, a₂ = minv₂, et a3 =σ(τ). Par d´efinition, on sait quea2 <mminmV(τ), et donc dans la repr´esentation en diagramme des trois sommetsv1, v2, V(τ), les blocsA1, A2, A3, B2, B3 sont n´ecessairement vides. De plus, puisque τ est une trisection, a₃ n’est pas le minimum dans son sommet, et donc le bloc C3 n’est pas vide. Par cons´equent, en comparant les figures 2.10 et 2.11, et en remarquant une fois encore que K =C3, on voit qu’apr`es le recollement, τ est une trisection de type II dans m. Enfin, il est clair que Γ(m, τ) = (m, v₁, v₂, τ). Donc Γ◦Ψ est l’identit´e surV^g(n), ce qui conclut la d´emonstration.