de mˆeme genre. Dans un travail commun avec ces deux auteurs [37], nous avons utilis´e leur bijection pour retrouver le r´esultat de Bender et Canfield, et donner de l’exposant
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2(g−1) une premi`ere interpr´etation, en montrant que chacun des 2g cycles d’une carte
`a une face ´etiquet´ee de genre g contribue `a hauteur d’un exposant 54, donn´e par les pro-pri´et´es combinatoires de ces objets.
Dans ce chapitre, bas´e sur l’article [34], nous pr´esentons l’unification du traitement de [37] pour le genre sup´erieur, `a la g´en´eralisation de la bijection de Cori-Vauquelin-Schaeffer donn´ee par Bouttier, Di Francesco, et Guitter dans le cas planaire. Notre pre-mier travail sera donc de donner une bijection g´en´erale, reliant une grande famille de cartes `a degr´es contraints (les cartes bicolores), `a certaines cartes `a une face ´etiquet´ees appel´ees mobiles. D’un point de vue informel, cela suffit `a comprendre que toutes les cartes enracin´ees de genre g appartiennent `a une mˆeme classe d’universalit´e (celle des cartes `a une face portant des ´etiquettes contraintes par des r`egles de variation locales), mais il ne sera pas si simple d’effectuer pr´ecis´ement leur ´enum´eration.
Nous allons nous restreindre `a deux classes de cartes, les m-constellations, et les m-hypercartes. Ces cartes seront d´efinies plus loin, mais nous pouvons d´ej`a dire que pour m= 2, elles correspondent respectivement aux cartes biparties, et aux cartes dont toutes les faces ont un degr´e pair. Dans les deux cas, nous nous autoriserons `a contraindre le degr´e de leurs faces `a appartenir `a n’importe quel sous-ensemble fini de mN. Pour chacune de ces familles, nous allons calculer explicitement la s´erie g´en´eratrice correspondante, via des techniques reposant `a la fois sur des id´ees issues de [37] et sur des techniques de combina-toire des chemins sur r´eseau. Nous obtiendrons des r´esultats asymptotiques compl`etement explicites, et universels, dans la mesure o`u nous retrouverons bien l’exposant 52(g−1) et la constantetg pour toutes les familles de cartes. Un cas particulier de nos r´esultats (celui des 2-hypercartes) donne exactement les conjectures de Gao.
4.2 Principaux r´ esultats de ce chapitre
Une carte bicolore de genre g est une carte de genre g, portant un coloriage de ses faces en noir et blanc, tel que seules des faces de couleurs diff´erentes soient adjacentes (autrement dit, une carte dont le dual est biparti). Par convention, le coin racine d’une carte bicolore sera toujours `a l’int´erieur d’une face noire. Nous allons nous int´eresser `a deux cas particuliers de cartes bicolores, lesm-hypercartes et les m-constellations1 : D´efinition 24. Soit un entier m ≥ 2. Une m-constellation de genre g est une carte de genre g, portant un coloriage de ses faces en noir et blanc, et telle que :
(i). seules des faces de couleurs diff´erentes sont adjacentes ;
(ii). chaque face noire a degr´em, et chaque face blanche a un degr´e multiple de m; (iii). on peut assigner `a chaque sommet une couleur dans {1,2, . . . , m}, de telle sorte
qu’autour de chaque face noire, les ´etiquettes des sommets lues dans le sens horaire sont exactement 1,2, . . . , m.
1la terminologie « m-hypercarte» est nouvelle, mais les m-constellations sont des objets bien connus [63, 25].
Une carte qui satisfait les conditions iet ii est appel´ee unem-hypercarte.
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Fig. 4.1 – Une 3-constellation de genre 1.
La premi`ere motivation pour ´etudier les constellations est que, dans le langage des permutations, elles sont une g´en´eralisation assez naturelle de la notion de carte. En effet, si l’on ´etiquette les faces noires d’une m-constellation de 1 `a n, et que l’on note σi la permutation de J1, nK dont les cycles donnent l’ordre horaire des faces noires autour des sommets dont la couleur est i, alors le produit φ = σ1σ2. . . σm est la permutation correspondant aux faces blanches de la carte. Cette construction donne une bijection entre lesm-constellations de genreg`anfaces noires ´etiquet´ees, et lesm-uplets de permutations σ1, . . . , σm ∈ Sn qui engendrent un sous-groupe transitif de J1, nK, et dont les nombres de cycles sont reli´es par la formule d’Euler :
c(σ1) +c(σ2) +· · ·+c(σm) +c(σ1σ2. . . σm) = (m−1)n+ 2−2g.
Remarquons ´egalement que les constellations sont une g´en´eralisation naturelle des cartes biparties. En effet, la contraction des faces noires d’une 2-constellation donne une bijection entre les constellations et les cartes biparties. De la mˆeme fa¸con, les 2-hypercartes sont en bijection avec les cartes paires, c’est-`a-dire les cartes dont toutes les faces ont degr´e pair. Or, il est bien connu que dans le cas planaire, une carte est bipar-tie si et seulement si elle est paire. La mˆeme chose est vraie pour m plus grand : les m-hypercartes planaires sont exactement les m-constellations ([25, 27]). Cette propri´et´e n’est plus vraie en genre sup´erieur, et il est donc naturel de vouloir ´etudier et comparer les deux cas. Nous verrons que les nombres dem-constellations et dem-hypercartes sont reli´es par un facteur asymptotique 1/m2g, que nous interpr´eterons comme la probabilit´e que chacun des 2g cycles non contractibles ind´ependants de la surface de genreg ait une longueur congrue `a 0 modulom(qui est la condition pour qu’un processus de coloriage des sommets par exploration n’´echoue pas `a colorier unem-hypercarte selon la propri´et´eiii).
4.2 - Principaux r´esultats de ce chapitre 73 Dans le reste de ce chapitre, m≥2 sera un entier fix´e, et D⊂N>0 sera un ensemble fini et non vide des entiers strictement positifs. Dans le cas m = 2, on supposera de plus que D n’est pas r´eduit au singleton {1}. Une m-hypercarte de degr´es autoris´es mD est une m-hypercarte dont toutes les faces blanches ont un degr´e qui appartient `a mD. La mˆeme d´efinition vaut pour les constellations. Par exemple, une 2-constellation de degr´es autoris´es 2{2} est (modulo la contraction de ses faces noires en arˆetes) une quadrangulation bipartie. Enfin, la taille d’une m-hypercarte sera toujours son nombre de faces noires. Les deux principaux r´esultats de ce chapitre sont les th´eor`emes suivants : Th´eor`eme 4. Le nombre cg,m,D(n) de m-constellations enracin´ees de genre g, de degr´es autoris´es mD, et de taille n satisfait :
cg,m,D(n)∼tg
quand n tend vers l’infini le long des multiples de pgcd(D), o`u t(c)m,D est la plus petite racine positive du polynˆome :
et o`u tg est la constante de Bender et Canfield2, d´efinie dans [10].
Th´eor`eme 5. Le nombre hg,m,D(n) de m-hypercartes enracin´ees de genre g, de degr´es autoris´es mD et de taille n satisfait :
hg,m,D(n) ∼ m2gcg,m,D(n) quand n tend vers l’infini le long des multiples de pgcd(D).
Un inconv´enient de la m´ethode propos´ee dans ce chapitre est qu’elle ne permet pas de calculer tg (son avantage ´etant son universalit´e, puisque les deux th´eor`emes ci-dessus concernent de grandes familles de cartes). Les physiciens savent depuis longtemps cal-culer les nombres tg grˆace `a une ´equation diff´erentielle non lin´eaire satisfaite par leur s´erie g´en´eratrice, obtenue par int´egrales de matrices [63, p.201]. R´ecemment, les deux articles [54, 7] ont obtenu une ´equation ´equivalente par des m´ethodes de repr´esentations du groupe sym´etrique. Ici, on obtiendra tg comme une somme, index´ee par les sch´emas de genre g, d’une certaine quantit´e combinatoire. Cependant, le lecteur en apprendra un peu plus sur tg au chapitre 5, o`u nous en donnerons une interpr´etation probabiliste
2`a propos detg, voir aussi pages 117 et 142.
en termes d’arbres ´etiquet´es, en unifiant la bijection de ce chapitre avec celle du chapitre 2.
A notre connaissance, le seul cas pr´ec´edemment connu du th´eor`eme 5 ´etait celui des` quadrangulations (dont on sait qu’elles sont biparties avec probabilit´e tendant vers 1/4g, voir [9]). En regroupant les th´eor`emes 4 et 5, on obtient une formule asymptotique pour le nombre hg,D,m(n), que Gao avait d´ej`a d´emontr´ee dans le cas o`u m = 2 et D est un singleton, et conjectur´ee pour m= 2 et D g´en´eral dans l’article [49]. Tous les autres cas sont, `a notre connaissance, nouveaux.