Recollements de polygones

Les cartes, que nous avons d´efinies de mani`ere purement topologique, sont en fait des objets de nature combinatoire. Nous allons d´ecrire deux familles d’objets combinatoires, les recollements de polygones, et les cartes combinatoires, dont nous admettrons qu’elles sont en bijection avec les cartes topologiques. Dans les chapitres suivants, tous ces ob-jets seront indistinctement appel´es cartes.Nous renvoyons aux ouvrages [71, 75] pour les d´emonstrations, qui ne sont pas si simples, et qui reposent sur des consid´erations topolo-giques sans v´eritable lien avec notre travail. En effet, une fois l’´equivalence combinatoire-topologique pr´esent´ee, nous n’aurons plus vraiment besoin de la notion de plongement, si ce n’est comme support visuel.

Commen¸cons avec une famille finie de polygones P1, P2, . . . , Pk dont la somme des degr´es est paire (disons 2n). Pour simplifier, nous allons consid´erer que les arˆetes de nos polygones sont ´etiquet´ees par les nombres de 1 `a 2n (de n’importe quelle mani`ere). Un

1 3 2

Fig. 1.3 – (a) Une famille de polygones, dont les arˆetes sont ´etiquet´ees de 1 `a 10. La per-mutation correspondante est φ= (1,5,6)(3,4,10,8)(2,7,9). (b) Recollement des arˆetes 2 et 3.

appariement deJ1,2nK(en anglais, unmatching) est une involution deJ1,2nKqui n’a pas de point fixe, c’est-`a-dire une partition de cet ensemble en paires. ´Etant donn´e un apparie-ment, nous pouvons facilement construire une surface S compacte, orient´ee, sans bords, en recollant chacune des paires d’arˆetes appari´ees, selon l’unique mani`ere qui pr´eserve l’orientation (voir les figures 1.3(b) et 1.4). Remarquons que S n’est pas n´ecessairement connexe. L’image des arˆetes des polygones de d´epart sur S forme clairement un graphe plong´e sur S, et ce plongement est cellulaire puisque ses faces sont exactement nos poly-gones de d´epart. Ainsi, sur chaque composante connexe deS, l’objet obtenu est une carte topologique valide.

Fig. 1.4 – Formation d’une surface topologique par identification paire `a paire des arˆetes de la famille de polygones de la figure pr´ec´edente, via l’involution (8,4)(3,7)(5,9)(1,10)(2,6).

Intuitivement, il est assez clair que toutes les plongements cellulaires d’un graphe G dans une surfaceSpeuvent s’obtenir de cette fa¸con. En effet, si l’on d´ecoupe Sle long des arˆetes deG, on obtient une famille finie de faces qui sont hom´eomorphes `a des polygones.

Pour reconstruire la surface, il suffit de recoller deux `a deux les cˆot´es de ces polygones, pour reformer les arˆetes du graphe. Cependant, donner une d´emonstration pr´ecise n’est pas si simple, et nous admettrons le th´eor`eme suivant :

Th´eor`eme([75]). Toute carte topologique peut ˆetre obtenue par un recollement de poly-gones.

Il est commode de coder les recollements de polygones au moyen de permutations.

Etant donn´ee une famille de polygones, dont les 2n´ arˆetes sont ´etiquet´ees, nous notonsφla permutation deJ1,2nKqui associe `a l’arˆeteil’arˆete qui la suit dans le sens horaire autour du polygone qui la contient. Autrement dit, chaque cycle de φ repr´esente un polygone de la famille, et donne l’ordre d’apparition de ses arˆetes, en sens horaire, comme sur la figure 1.3(a). Fixons ensuite une involution sans point fixe α de J1,2nK, et effectuons le recollement de polygones correspondant. On peut remarquer les faits suivants :

1.1 - Graphes, surfaces, et cartes 5 – Chaque arˆete de la carte obtenue est form´ee de la r´eunion dedeux arˆetesietα(i) des polygones de d´epart. Afin d’´eviter toute confusion, nous r´eserverons dor´enavant le motarˆete aux arˆetes de la carte ; les arˆetes des polygones de d´epart seront appel´ees des demi-arˆetes.

– Afin de mieux visualiser les demi-arˆetes, nous pouvons repr´esenter chaque arˆete de la carte par un «ruban», form´e des deux demi-arˆetes correspondantes, comme sur la figure 1.5(a). On voit alors que les cycles de la permutation σ := φα sont en bijection avec les sommets de la carte, comme le montrent les figures 1.5(b) et (c).

Remarquons que chaque demi-arˆete est ainsi canoniquement associ´ee `a un sommet de la carte : celui correspondant au cycle deσ qui la contient. Ce sommet est celui qui la pr´ec`ede dans le sens horaire autour du polygone dont la demi-arˆete est issue.

Dans la suite, nous dirons que la demi-arˆete appartient `a ce sommet.

– La surface form´ee par le recollement de polygones est connexe si et seulement si le sous-groupe de S_2n engendr´e parα,φ (et σ) agit transitivement surJ1,2nK.

i

σ(i)

σ φ α

σ

σ σ σ σ 1

3 2

4

5 7 6

8

9

10

Fig. 1.5 – (a) Repr´esentation des arˆetes en rubans. (b) L’application σ = φα. (c) Un cycle de σ.

Remarquons qu’au lieu d’´etiqueter les demi-arˆetes de nos polygones par les ´el´ements de J1,2nK, nous pourrions consid´erer que les permutations α, φ et σ agissent directement sur l’ensemble H de ces demi-arˆetes. Cela conduit `a la d´efinition :

D´efinition 3. Une carte combinatoire est un quadruplet m = (H, σ, α, φ), o`u H est un ensemble fini, et o`u α, σ et φ sont trois permutations deH telles que :

– α est une involution sans point fixe ; – σ =φα;

– le groupe engendr´e par α, σ et φ agit transitivement sur H.

Les cycles des permutations α, σ, et φ sont appel´es les arˆetes, les sommets, et les faces dem. Le genre de la surface form´ee par le recollement de polygones associ´e est appel´ele genre de m.

Avant d’aller plus loin, nous pouvons citer la c´el`ebre formule d’Euler, qui permet de voir le genre comme une quantit´e purement combinatoire :

Formule d’Euler (voir [71]). Les nombres s de sommets, n d’arˆetes, f de faces, et le genre g d’une carte sont reli´es par la formule :

s+f =n+ 2−2g.

Afin de caract´eriser une carte combinatoire, il suffit de fournir l’information relative `a α etσ (ouα etφ). Ainsi, il sera commode de repr´esenter un carte de mani`ere graphique, sous la forme d’un graphe dont les arˆetes sont des rubans, et o`u l’on respecte l’ordre des demi-arˆetes autour de chaque sommet donn´e par la permutation σ, mais sans dessiner la surface sous-jacente : la figure 1.6(a) donne un exemple d’une telle repr´esentation, que nous appelons larepr´esentation en rubans d’une carte. Dans la repr´esentation en rubans, seul importe l’ordre dans lequel les demi-arˆetes apparaissent autour de chaque sommet : il ne faut prˆeter aucune attention aux croisements ´eventuels, qui sont des artefacts dˆus `a la repr´esentation planaire. Par exemple, dans la figure 1.6(a), l’arˆete (5,9) semble passer au-dessus de l’arˆete (2,6), mais il aurait ´et´e ´equivalent de faire l’inverse, ou mˆeme de les faire se «croiser» plusieurs fois.

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Fig. 1.6 – (a) Repr´esentation de la carte pr´ec´edenteen rubans : il n’est pas n´ecessaire de dessiner la surface. (b) Repr´esentation de la mˆeme carte, en brins. (c) Les applicationsσ etφ, dans la repr´esentation en brins.