l’algo-rithme suivant :
1. On pose m0 :=m et i:= 1.
2. Si τ est de type II dans mi, on pose (mi+1, v2i−1, v2i) := Ψ−1(mi, τ). On pose alors i:=i+ 1 et l’on retourne `a l’´etape 2.
Sinon, τ est de type I dans mi et l’on se rend `a l’´etape 3.
3. Soit (mi+1, v2i−1, v2i, v2i+1) := Φ−1(mi, τ). On pose alors Ξ(m, τ) := (mi+1, v1, v2, . . . , v2i+1) et on arrˆete l’algorithme.
Alors l’application
Ξ : Dg(n)−→
g−1
]
p=0
Up2g−2p+1(n).
est une bijection, et est la bijection r´eciproque de Λ.
D´emonstration. Tout d’abord, l’application Ξ est bien d´efinie. En effet, par d´efinition d’une trisection de type II, on sait par induction qu’`a chaque entr´ee dans les ´etapes 2 et 3, τ est bien une trisection de la carte mi. De plus, puisque le genre des cartes mi d´ecroˆıt strictement aveci, on est sˆur d’atteindre l’´etape 3, et donc l’algorithme s’arrˆete.
Ensuite, il est clair que l’application Λ est injective, puisque les applications Ψ et Φ le sont.
Enfin, pour montrer `a la fois que Ξ est injective et que c’est l’application r´eciproque de Λ, il suffit de montrer que les sommets vi produits par l’algorithme d´efinissant Ξ satisfont v1 <m v2 <m · · · <m v2q+1. En effet, il sera alors clair par construction que Λ◦Ξ = Ξ◦Λ =Id.
Or, on d´eduit de la remarque 4 et d’une induction sur i que juste apr`es le i-`eme passage dans l’´etape 2, on a v1 <mi+1 v2 <mi+1 · · · <mi+1 v2i. Enfin, la mˆeme remarque montre qu’apr`es le passage dans l’´etape 3, on a v1 <mi+1 v2 <mi+1 · · ·<mi+1 v2i+1, ce qui conclut la d´emonstration.
2.6 Quelques cons´ equences
2.6.1 Une identit´ e combinatoire
Par la relation d’Euler, une carte `a une face de genrep`an arˆetes a toujoursn+ 1−2p sommets. De plus, par le lemme des trisections (Lemme 8), un carte `a une face de genre g a exactement 2g trisections. Le premier corollaire du th´eor`eme 1 est donc :
Corollaire 7(Une nouvelle identit´e combinatoire). Le nombre ǫg(n)de cartes `a une face enracin´ees de genre g `a n arˆetes satisfait :
2g·ǫg(n) =
n+ 3−2g 3
ǫg−1(n) +
n+ 5−2g 5
ǫg−2(n) +· · ·+
n+ 1 2g+ 1
ǫ0(n).
Corollaire 8. Le nombre ǫg(n) s’´ecrit ǫg(n) = Rg(n)Cat(n), o`u Rg(n) est le polynˆome en n d´efini par la relation de r´ecurrence :
R0(n) = 1, et Rg(n) = 1 2g
g−1
X
p=0
n+ 1−2p 2g−2p+ 1
Rp(n). (2.8)
Remarquons qu’il est tr`es facile de calculer les polynˆomes Rg (mˆeme `a la main).
Pour les premi`eres valeurs de g, on obtient les formules suivantes, d´ej`a connues par des m´ethodes non bijectives [95, 56] :
g 0 1 2 3
Rg(n) 1 (n+1)n(n12 −1) (n+1)n(n−1)(n1440−2)(n−3)(5n−2) (n+1)n(n−1)(n−2)(n−3628803)(n−4)(n−5)(35n2−77n+12)
2.6.2 Un algorithme de g´ en´ eration
Une cons´equence directe du th´eor`eme 1 est qu’il donne un algorithme lin´eaire (en la taille) permettant d’engendrer des cartes `a une face de genre fix´e. Fixons un entierg >1, et consid´erons l’algorithme semi-r´ecursif2 suivant :
Algorithme 2.
Entr´ee : un nombre entiern.
R´esultat : une carte `a une face de genreg `a n arˆetes, choisie selon la loi uniforme.
N´ecessite : le pr´ecalcul des polynˆomes Rp, pour p≤g.
1. Si g = 0, engendrer al´eatoirement un arbre enracin´e `a n arˆetes, par exemple par l’algorithme de R´emy [80], et le renvoyer ; sinon, continuer ;
2. tirer un nombre p∈J0, g−1K, avec probabilit´e :
n+ 1−2p 2g−2p+ 1
Rp(n) 2gRg(n);
3. tirer uniform´ement au hasard une carte `a une face m′ de genre p `an arˆetes, via un appel r´ecursif `a l’algorithme ;
4. choisir uniform´ement 2g−2p+ 1 sommets distincts v1, . . . , v2g−2p+1 dans m′;
5. construire la carte `a une facemde genregdonn´ee par (m, τ) = Λ(m′, v1, . . . , v2g−2p+1) ; 6. renvoyer m.
Proposition 16. L’algorithme 2 engendre une carte `a une face de genre g `a n arˆetes selon la loi uniforme. `A g fix´e, la complexit´e de cet algorithme est lin´eaire en n.
D´emonstration. Le fait que cet algorithme engendre bien une carte `a une face de genre g `a n arˆetes selon la loi uniforme est une cons´equence imm´ediate du th´eor`eme 1 et du corollaire 7. La complexit´e des ´etapes 1 et 4 ´etant lin´eaire, on conclut que l’algorithme est lin´eaire par une r´ecurrence imm´ediate surg.
2nous voulons dire par l`a que l’algorithme est r´ecursif eng, puisqu’il construit la carte `a partir des arbres en augmentant progressivement le genre, mais qu’il n’est pas r´ecursif enn. Cela ´etant, il n’est pas tr`es difficile de«d´erouler la r´ecursivit´e» pour rendre l’algorithme it´eratif.
2.6 - Quelques cons´equences 41 Remarque 5. Nous avons pr´esent´e ici un algorithme de g´en´eration al´eatoire, mais il est bien sˆur possible d’utiliser le Th´eor`eme 1 pour engendrer exhaustivement toutes les cartes
`a une face de genre g `a n arˆetes. Pour cela, il suffit d’engendrer tous les arbres plans `a n arˆetes, puis d’utiliser le th´eor`eme 1 pour engendrer successivement toutes les cartes de genre 1, puis 2, etc... jusqu’`ag. Remarquons que par le lemme des trisections, on obtient ainsi chaque carte de genre g au plus 2g×2(g−1)× · · · ×2 = 2gg! fois.
2.6.3 Asymptotique
Il est facile de voir par induction, `a partir de l’´equation (2.8), que le polynˆome Rg(n) est de degr´e 3g, et que le terme dominant dans l’´equation (2.8) est celui correspondant
`ap=g−1. Autrement dit, presque toutes les cartes `a une face de genreg munies d’une trisection sont de typeI. Cela signifie que presque toutes les cartes `a une face de genreg avec une trisection marqu´ee peuvent ˆetre obtenues de mani`ere unique en recollant trois sommets dans une carte de genre g−1, ce qui conduit `a :
2g·ǫg(n)∼ n3
6 ǫg−1(n) quand n→ ∞.
En se rappelant que les nombres de Catalan satisfont Cat(n) ∼ √1πn−324n, on comprend mieux maintenant la formule de Bender, Canfield et Robinson :
Corollaire 9 ([8]). Pour tout g, on a quand n tend vers l’infini : ǫg(n)∼ 1
√π12gg!n3g−324n.
Remarque 6. Il n’est pas ´etonnant que presque toutes les cartes `a une face avec une trisection marqu´ee soient de type I. En effet, on sait par l’approche par sch´emas (pa-ragraphe 2.1.3), que presque toutes les cartes `a une face ont un sch´ema dont tous les sommets sont de degr´e 3. Or, il est clair que ces cartes ne peuvent avoir de trisections de typeII(puisque les trois sommets r´esultant de l’ouverture d’une trisection d’une telle carte ne peuvent faire partie du cœur de la carte de genre inf´erieur cr´e´ee par l’ouverture, et donc ne portent pas de trisection). Cette observation est utilis´ee implicitement dans l’article [35], o`u nous pr´esentions une construction moins ´elabor´ee, qui ne permettait pas d’obtenir les nombresǫg(n), mais qui ´etait suffisante pour obtenir la formule asymptotique du corollaire 9 (ainsi que les d´eveloppements du chapitre 5).
2.6.4 Une expression de R
gLe corollaire 7 relie le nombre ǫg(n) aux nombres correspondants pour les genres inf´erieurs. En it´erant cette relation, on exprime directementǫg(n) en fonction des nombres de Catalan, ce qui donne une expression close de Rg :
Proposition 17. Le polynˆome Rg(n) admet la forme explicite suivante :
Rg(n) = X
0=g0<g1<···<gr=g
Yr
i=1
1 2gi
n+ 1−2gi−1
2(gi−gi−1) + 1
. (2.9)
De mani`ere plus combinatoire, cette expression s’interpr`ete comme la «trace » de l’algorithme r´ecursif de g´en´eration pr´esent´e au paragraphe 2.6.2. Les nombres 0 = g0 <
g1 <· · ·< gr =g sont les genres des cartes interm´ediaires qui ont ´et´e engendr´ees par les appels successifs `a l’algorithme. `A chaque ´etape, il faut choisir 2(gi−gi−1) + 1 sommets dans une carte de genre gi−1, ce qui donne le produit de binomiaux de la formule. Les facteurs 2g1
i viennent du lemme des trisections.
En plus de donner une interpr´etation `a l’existence des polynˆomes Rg(n), notre bijec-tion permet d’interpr´eter de mani`ere combinatoire certaines de leurs propri´et´es, ce qui r´epond `a certaines questions de Zagier [63, p. 160]. La premi`ere est l’interpr´etation de leur degr´e, 3g, qui est le nombre maximal de sommets distincts que l’on peut choisir dans un arbre de Catalan pour fabriquer une carte `a une face de genre g. La seconde repose sur l’observation suivante : quelle que soit la s´equence de genres interm´ediaires 0 = g0 < g1 < · · · < gr = g que l’on choisit, on doit toujours choisir au moins 2g + 1 sommets distincts dans l’arbre de d´epart (ce cas minimal correspondant `a r = 1). Cela implique la propri´et´e suivante :
Corollaire 10 (Zagier). Rg(n) est divisible par (n+ 1). . .(n+ 1−2g).
Remarque 7. Nous ne savons pas interpr´eter pour l’instant le fait que 2gRg(n) soit un nombre entier (Zagier, [63, p.160]). Avec notre construction, on voit que 2gg!Rg(n) est entier, mais il nous manque une«sym´etrie»permettant de conclure `a une divisibilit´e de ce nombre par g!.
Remarque 8. Bien que la formule (2.9) ressemble beaucoup `a la formule de Lehman et Walsh (´Equation 2.2), nous ne savons pas faire le lien entre les deux pour l’instant.