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O` u l’on fait la mˆeme chose plusieurs fois

Dans le document The DART-Europe E-theses Portal (Page 45-48)

D’apr`es le lemme des trisections (Lemme 8), l’´enum´eration des cartes `a une face de genre g + 1 est essentiellement ´equivalente `a celle des cartes `a une faces de genre g+ 1 munies d’une trisection distingu´ee. Nous voudrions donc trouver un moyen d’exprimer la cardinalit´e de l’ensemble Dg+1(n) en termes de quantit´es relatives `a des genres inf´erieurs, afin d’´etablir une relation de r´ecurrence. Or si, par ce qui pr´ec`ede, il est simple d’ob-tenir la cardinalit´e de Dg+1I (n) (qui est simplement celle de Ug3(n)), il n’est pas facile a priori de compter le nombre d’´el´ements de Vg(n), en raison de la condition donn´ee par l’´equation (2.7). Cela demande un travail suppl´ementaire : nous allons it´erer l’op´eration d’ouverture, pour ne nous ramener qu’`a des trisections de type I.

2.5.1 Cas simple : le genre 1

Nous commen¸cons par le cas le plus simple, celui du genre 1. Puisqu’en genre 0, il n’y a pas de trisections, l’ensemble V0(n) est vide pour tout n, et donc par la proposi-tion 13, l’ensembleD1II(n) est vide. Par cons´equent,D1(n) = D1I(n), et on obtient par la proposition 11 :

Corollaire 3. L’ensemble des cartes `a une face de genre 1 munies d’une trisection marqu´ee est en bijection avec l’ensemble des arbres plans portant trois sommets marqu´es.

2.5 - O`u l’on fait la mˆeme chose plusieurs fois 37 Or, d’apr`es le lemme des trisections (Lemme 8), chaque carte `a une face de genre 1 a exactement 2 trisections. Un arbre plan `a n arˆetes ayant toujours n + 1 sommets, on obtient :

Corollaire 4. Le nombre ǫ1(n) de cartes `a une face de genre 1 `a n arˆetes satisfait : 2·ǫ1(n) =

n+ 1 3

Cat(n)

ce qui donne une interpr´etation on ne peut plus claire de la formule donnant ǫ1(n).

2.5.2 Plus dur : le genre 2

On s’int´eresse maintenant au cas du genre 2. Soit m une carte `a une face de genre 2, avec une trisection marqu´ee τ. Nous allons r´eduire le genre de cette carte par une s´erie d’ouvertures, de telle sorte que les objets que nous obtiendrons `a la fin seront, cette fois, faciles `a compter. Si τ est de type I, nous savons que nous pouvons appliquer `a (m, τ) l’application Φ1, pour obtenir une carte `a une face de genre 1 avec trois sommets marqu´es.

Nous allons donc nous int´eresser au cas o`uτ est de typeII. Dans ce cas, nous pouvons appliquer `a (m, τ) l’application Ψ1, pour nous retrouver avec une carte `a une face m de genre 1, avec deux sommets marqu´es v1, v2 tels que (m, v1, v2, τ)∈ V1(n), c’est-`a-dire :

minm (v1)<m min

m (v2)<m min

m V(τ).

La carte m ´etant une carte `a une face de genre 1, etτ ´etant une trisection de m, elle est n´ecessairement de typeI: (m, τ)∈ DI1(n). Nous pouvons donc utiliser l’application Φ1, pour obtenir une carte `a une face m′′ de genre 0, avec trois sommets marqu´es v3, v4, v5

tels que :

minm′′ (v3)<m′′ min

m′′ (v4)<m′′ min

m′′ (v5).

Remarquons que lors de l’op´eration d’ouverture conduisant de m `am′′, nous n’avons pas touch´e aux sommets v1 et v2 : ces deux sommets sont donc toujours pr´esents dans la carte m′′. De plus, par la remarque 4, le fait que minm(v1)<m minm(v2)<m minmV(τ) dansmimplique que minm′′(v1)<m′′ minm′′(v2)<m′′ minm′′(v3) dansm′′. Nous avons donc construit un arbre planm′′ portantcinq sommets marqu´es tels que :

minm′′ (v1)<m′′ min

m′′ (v2)<m′′ min

m′′ (v3)<m′′ min

m′′ (v4)<m′′ min

m′′ (v5) c’est-`a-dire, de mani`ere ´equivalente, un ´el´ement de U05(n).

R´eciproquement, ´etant donn´e un ´el´ement m′′ de U05(n), dont les sommets marqu´es v1, . . . , v5 sont ordonn´es comme ci-dessus, il est toujours possible de recoller les sommets v3, v4, v5 par l’application Φ pour obtenir une carte `a une facem de genre 1, portant une trisectionτ distingu´ee et telle que minm(v1)<m minm(v2)<m minmV(τ). Ensuite, nous pouvons appliquer Ψ `a (m, v1, v2, τ) pour retrouver une carte `a une face m de genre 2, o`uτ est une trisection de type II. Nous avons donc montr´e :

Proposition 14. L’ensemble DII2 (n) des cartes `a une face de genre 2 munies d’une trisection marqu´ee de type II est en bijection avec l’ensemble U05(n) des arbres plans portant cinq sommets marqu´es.

Corollaire 5. L’ensemble D2(n) des cartes `a une face de genre 2 avec une trisection marqu´ee est en bijection avec U13(n)⊎ U05(n).

Dans tous les cas (que τ soit de type I ou II), nous nous sommes donc ramen´es `a des objets de genre inf´erieurs «faciles `a compter». En effet, la cardinalit´e de U05(n) est clairement n+15

Cat(n), et puisqu’une carte `a une face de genre 1 `a n arˆetes a toujours n −1 sommets, la cardinalit´e de U13(n) est n31

ǫ1(n). Puisqu’une carte de genre 2 a toujours 2×2 = 4 trisections (Lemme 8), on obtient finalement :

Corollaire 6. Le nombre ǫ2(n) de cartes `a une face de genre 2 `a n arˆetes satisfait la relation :

4·ǫ2(n) =

n−1 3

ǫ1(n) +

n+ 1 5

Cat(n).

2.5.3 Cas g´ en´ eral

Dans le cas g´en´eral, nous allons appliquer la mˆeme strat´egie que pour le genre 2.

Lorsque que l’on rencontre une trisection de type II, on effectue son ouverture, et l’on recommence jusqu’`a trouver une trisection de type I. On effectue alors une derni`ere ouverture, et tout ce qu’il reste est une carte `a une face de genre inf´erieur, avec un certain nombre de sommets marqu´es. On commencera par d´efinir l’application inverse.

Soient deux entiers p ≥ 0 et q ≥1, et soit (m, v) = (m, v1, . . . , v2q+1) un ´el´ement de Up2q+1(n), c’est-`a-dire une carte `a une face de genre p portant 2q+ 1 sommets marqu´es.

Quitte `a r´earranger les sommets, on peut supposer que v1 <m v2 <m · · · <m v2q+1. On consid`ere l’algorithme suivant :

Algorithme 1.

1. On recolle les trois derniers sommetsv2q1, v2q, v2q+1 via l’application Φ : on obtient une nouvelle cartem1 de genre p+ 1, avec une trisection distingu´ee τ de type I.

2. pour i de 1 `a q−1 :

Soit (v2q2i1, v2q2i, τ) le triplet form´e des deux derniers sommets non encore uti-lis´es par l’algorithme, et de la trisectionτ. On applique Ψ `a ce triplet, pour obtenir une nouvelle cartemi+1de genrep+i+1, avec une trisection distingu´eeτ de typeII.

fin pour.

3. On renvoie la paire (mq, τ).

D´efinition 17. On note Λ(m, v) := (mq, τ) l’´el´ement deDp+q(n) renvoy´e par cet proc´edure.

Remarquons que la trisection τ de la carte mq est de typeI siq= 1, et de type IIsinon.

Le principal r´esultat de ce chapitre est le th´eor`eme suivant : Th´eor`eme 1. L’application Λ d´efinit une bijection

Λ :

g1

]

p=0

Up2g2p+1(n)−→ Dg(n).

En d’autres termes, toutes les cartes `a une face de genre g avec une trisection dis-tingu´ee peuvent ˆetre obtenues de mani`ere unique en partant d’une carte `a une face de genre inf´erieur avec un nombre impair de sommets marqu´es, puis en appliquant une fois l’op´eration Φ, et un certain nombre de fois l’op´eration Ψ.

2.6 - Quelques cons´equences 39

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