3.3 D´emonstrations
3.3.2 D´emonstration du th´eor`eme 2
Fixons une carte m = (H, σ, α) et une orientation gauche (I, O) de m. On notera Ψ1 = Ψ1(m,(I, O)) et Ψ2 = Ψ2(m,(I, O)).
Lemme 31. La carte Ψ1 est connexe.
D´emonstration. Graphiquement, il est clair que le proc´ed´e de d´ecoupage des sommets ne rompt jamais un chemin gauche. Puisque dans une orientation gauche, toute demi-arˆete est rejointe par un chemin gauche partant de la racine, cette propri´et´e reste vraie dans Ψ1, et en particulier Ψ1 est connexe.
Lemme 32. La carte Ψ1 est un arbre. De plus, (I, O) est l’orientation «racine vers feuilles» de Ψ1.
D´emonstration. Soit n le nombre d’arˆetes de m. Alors, Ψ1 a n arˆetes. De plus, par d´efinition du proc´ed´e de d´ecoupage, les sommets de Ψ1 sont en bijection avec les demi-arˆetes de I′, et donc Ψ1 a n+ 1 sommets. Si l’on note f le nombre de faces de Ψ1, et g son genre, on a donc par la formule d’Euler :
n+ 1 +f =n+ 2−2g,
ce qui donnef+ 2g = 1. Comme f ≥1 etg ≥0, on en d´eduit que (f, g) = (1,0), i.e. que Ψ1 est un arbre.
Or, comme on l’a remarqu´e dans la d´emonstration du lemme pr´ec´edent, le proc´ed´e de d´ecoupage des sommets ne rompt jamais un chemin gauche. En particulier, dans Ψ1
muni de l’orientation (I, O), tout sommet peut ˆetre atteint par un chemin orient´e depuis la racine, ce qui montre que (I, O) est l’orientation «racine vers feuilles» de Ψ1.
Nous allons maintenant d´emontrer que Ψ2 est une carte `a une face bipartie. On note φ1 =τ α et φ2 =πα′ les permutations-faces de Ψ1 et Ψ2. On sait maintenant que φ1 est cyclique. On notera ´egalement φ′1 la permutation de H′ d´efinie par φ′1 = τ′α′, o`u l’on consid`ere que τ′ est une permutation deH′ qui stabilise o.
Lemme 33. Soit u=ασ−1(r). Alors φ′1 est une permutation cyclique deH′, obtenue en ajoutant les demi-arˆetes i et o dans cet ordre, juste apr`es u dans le cycle φ1.
D´emonstration. Puisque (I, O) est une orientation gauche, il existeh telle quer =β(h), ce qui implique par d´efinition deβ que σ−1(r)∈O, et donc queu∈I. Puisque σ′α(u) = i par d´efinition de σ′, on voit alors que φ′1(u) = τ′α(u) = i. On a de plus φ′1(i) = τ′(i) = o. Enfin, comme α(u) ∈ O on a d’un part σ|′−I′1(α(u)) = σ′−|I′1(i), et d’autre part σ′σ|′−I′1(α(u)) ∈ O. Cela montre que φ1(u) = τ α(u) = σ′σ|′−I′1(i), c’est-`a-dire que φ1(u) = φ′1(o).
Plus concr`etement, on peut interpr´eter la carte (H′, τ′, α′), de face φ′1 comme l’arbre obtenu en recollant l’arˆete (i, o) au sommet racine de l’arbre Ψ1.
Lemme 34(voir figure 3.10). Soito1 ∈O′ une demi-arˆete sortante, et soit o2 =φ′1|O′(o1) la premi`ere demi-arˆete sortante apparaissant apr`es o1 dans le cycle φ′1.
Alors si l’on note i1 =α′(o1) et i2 =α′(o2), on a : φ22(i2) = i1.
arˆetes de Ψ1
arˆetes de Ψ2
o1 o2
φ′1|O
i1 i2
φ22 i2
i1
o2
o1
φ′1 φ22 σ′−1(i1)
j
Fig. 3.10 – Les deux cas de la d´emonstration du lemme 34.
D´emonstration. On consid`ere deux cas.
cas 1 : on suppose que σ′−1(i1)∈ I′. Dans ce cas on a τ′(i1) =i1, d’o`u φ′1(o1) =i1. Par cons´equent,o2 =φ′1l(i1), pour le plus petit l tel queφ′1l(i1) soit sortante. Or, remarquons queφ′1 etφ′ co¨ıncident sur les demi-arˆetes entrantes : on a donc aussio2 =φ′l(i1), etlest encore le plus petit entier telle que cette quantit´e soit sortante. Or,φ′−1(i1) = α′σ′−1(i1)∈ O′par hypoth`ese, doncφ′|O′[α′σ′−1(i1)] = o2. En revenant `a la d´efinition deφ2, on obtient : φ2(i2) = φ′|O′−1
(o2) = α′σ′−1(i1). Enfin, on a φ2[α′σ′−1(i1)] = π◦π−•1σ′−1(i1) = i1 par d´efinition deπ◦ et π•, d’o`u l’on d´eduit que φ22(i2) =i1.
cas 2 : on suppose que σ′−1(i1) ∈ O′. Dans ce cas on pose j = (σ′|I′)−1(i1), et l’on sait que φ′1(o1) = σ′(j) ∈ O′, d’o`u o2 = σ′(j). Or, on a φ′α′(j) = σ′(j) = o2 ∈ O′, d’o`u φ′−|O1′(o2) = α′(j), et donc φ2(i2) =φ′−|O1′α′(i2) =α′(j). Ensuite,φ2(α′(j)) =σ|′I′(j) puisque j ∈I′, doncφ2α′(j) = i1, et finalementφ22(i2) =i1.
3.3 - D´emonstrations 63 Lemme 35. La carte Ψ2 est connexe et n’a qu’une seule face. Un coloriage propre de ses sommets est obtenu en coloriant en blanc les sommets qui ne sont incidents qu’`a des demi-arˆetes entrantes, et en noir ceux qui ne sont incidents qu’`a des demi-arˆetes sortantes.
D´emonstration. Par le lemme pr´ec´edent et le fait queφ′1 est cyclique, tous les ´el´ements de I′ appartiennent au mˆeme cycle de φ2 : appelons le c. Pour tout h∈O′, on a φ2(h)∈ I′ puisque π stabiliseI′ etO′, et donch est aussi un ´el´ement du cycle c. Ainsi, cest le seul cycle de φ2, et la carte Ψ2 est connexe et n’a qu’une face.
Enfin, le fait que π stabiliseI′ etO′ implique que chaque cycle deπ est soit form´e de demi-arˆetes entrantes seulement, soit de demi-arˆetes sortantes seulement, ce qui d´emontre la deuxi`eme assertion.
Nous allons maintenant d´efinir une application Ω, dont nous montrerons qu’elle est l’inverse de Ψ. Commen¸cons par donner une id´ee visuelle de l’action de Ω. Fixons un arbre plan `a n arˆetes m1 et une carte `a une face bipartie m2 de genre g `a n+ 1 arˆetes.
Nous repr´esentons m2 de mani`ere topologique, dessin´ee sur un tore `a g anses, et nous proc´edons ensuite `a la construction suivante :
1. nous collons ensemble les deux racines de m1 etm2 comme sur la figure 3.11 (1) ; 2. nous parcourons simultan´ement le bord dem1et celui dem2, et chaque fois que nous
d´ecouvrons une nouvelle arˆete de m1, nous collons son extr´emit´e avec un nouveau coin blanc du bord de m2, comme sur la figure 3.11 (2–5).
+ Ω
1 2
3
4 5
m1 m2 Ω(m1,m2)
Fig. 3.11 – Le «film» de l’application Ω.
Pour d´efinir Ω plus formellement, nous avons besoin d’ˆetre capable de consid´erer m1 et m2 sur le mˆeme ensemble de demi-arˆetes. C’est l’objet du lemme suivant :
Lemme 36. Soit m1 un arbre plan `a n arˆetes, et m2 = (H′, π, α′) une carte `a une face bipartie `a n+ 1 arˆetes. Soit i la racine de m2, o = α′(i), et H = H′ \ {i, o}. On note H′ =I′⊎O′ la bipartition de H′ induite par la bipartition des sommets de m2 telle que I′ contienne i. On pose aussi I =I′\ {i} et O=o′\ {o}.
Alors, quitte `a changer l’ensemble de demi-arˆetes de m1, on peut ´ecrire m1 = (H, τ, α) o`u :
1. α=α′|H
2. (I, O) est l’orientation «racine vers feuilles» de m1
3. Si on note τ′ la permutation de H′ obtenue en ajoutant i juste apr`es la racine de m1 dans le cycle de τ la contenant, et laissant o invariant, et si l’on note φ′1 =τ′α′ et φ2 = πα′, alors pour toute demi-arˆete h ∈ O′, on a : φ22α′φ′1|O′(h) = α′(h) (en d’autre termes, la propri´et´e du lemme 34 est v´erifi´ee).
On peut alors donner la d´efinition formelle de l’application Ω :
D´efinition 23. Soient m1 un arbre plan `a n arˆetes et m2 une carte `a une face bipartie `a n+ 1 arˆetes, donn´es sous la forme du lemme 36. On d´efinit la permutation σ′ deH′ par
σ′(h) =
τ′(h) si h∈O′ τ′π(h) si h∈I′. On pose alors σ =σ|′H, et on d´efinit l’application Ω par :
Ω(m1,m2) := ((H, σ, α),(I, O))
D´emonstration du lemme. On suppose que m1 est donn´ee sous la forme m1 = ( ¯H,τ ,¯ α),¯ et on note ¯H = ¯I⊎O¯ son orientation«racine vers feuilles». On construit ¯τ′ `a partir de
¯
τ comme dans l’´enonc´e du lemme, et on note ¯φ′1 = ¯τ′α¯′. Alors si l’on note ¯I′ := ¯I⊎ {i}et O¯′ := ¯O⊎{o}, la permutationα′φ¯′1|O¯′α′est une permutation cyclique de ¯I′. On notera alors α′φ¯′1|O¯′α′ = (jn, . . . , j1, i), et on notera ´egalement φ22|I′ = (i, i1, . . . , in). Soit maintenantκ l’unique application ¯I′ → I′ telle que κ(jk) = ik pour tout k et κ(i) = i. On ´etend κ `a une application ¯H⊎ {i, o} →H′ en posant κ(¯h) = ακα(¯¯ h) pour ¯h ∈O¯′. Enfin, on pose τ′ =κ¯τ′κ−1.
Alors, par construction, la carte (H, τ, α) v´erifie les propri´et´es 1-2-3 de l’´enonc´e du lemme. Il suffit donc de v´erifier que cette carte est isomorphe `a m1. Puisque τ =κ¯τ κ−1 par d´efinition, il suffit de montrer que α = κακ¯ −1. Or pour une demi-arˆete sortante h ∈ O, on κακ¯ −1(h) = κα¯α¯−1κ−1α(h) = α(h). De plus, pour une arˆete entrante ik ∈ I, on a κακ¯ −1(ik) = ακα¯α(j¯ k) = α(ik). On a donc α = κ¯ακ−1, et κ (ou plus pr´ecis´ement, sa restriction ¯H→H) donne un isomorphisme entre les deux cartes.
Proposition 37. L’application Ω◦Ψ est l’identit´e sur les orientations gauches.
D´emonstration. Soit m= (H, σ, α) une carte et (I, O) une orientation gauche de m. On note (m1,m2) = Ψ(m,(I, O)), avec m1 = (H, τ, α) etm2 = (H′, π, α′). On note ´egalement ((H,σ,˜ α),˜ I,˜ O) = Ω(m˜ 1,m2). On utilise la mˆeme notation que pr´ec´edemment pour la permutationσ′, et on note ˜σ′ la permutation deH′ donn´ee dans la d´efinition 23.
Alors, on d´eduit du lemme 35 que I = ˜I et O = ˜O. De plus, par construction, ˜α est ´egale `a la permutation-arˆetes de m1, de sorte que ˜α = α. Ensuite, par d´efinition,
3.3 - D´emonstrations 65 τ′ =σ′π◦−1 et σ′ co¨ıncident sur les demi-arˆetes sortantes. Enfin, on a τ′π =σ′π•−1, donc σ′ et τ′π co¨ıncident sur les demi-arˆetes entrantes. Ainsi, σ′ = ˜σ′ et la proposition est d´emontr´ee.
Proposition 38. Ωest une application bien d´efinie de l’ensemble Pn des paires form´ees d’un arbre plan `an arˆetes et d’une carte `a une face bipartie `an+1arˆetes, vers l’ensemble des orientations gauches `a n arˆetes. De plus, Ψ◦Ω est l’identit´e sur Pn.
D´emonstration. Fixons (m1,m2) ∈ Pn et (m,(I, O)) = Ω(m1,m2), et montrons d’abord que (m,(I, O)) est bien une orientation gauche. D’abord, le fait que αsoit une involution deH qui ´echangeI etO se d´eduit du fait que m2 est bipartie. Ensuite, notons β l’appli-cation arri`ere de la carte orient´ee (m,(I, O)). Le fait que τ etσ co¨ıncident sur les arˆetes sortantes implique que β est aussi l’application arri`ere de l’arbre orient´e (m1,(I, O)). Or, il est clair que l’orientation racine-vers-feuilles d’un arbre est une orientation gauche.
Ainsi, pour tout h, il existe kh tel que βkh(h) = r, et (m,(I, O)) est une orientation gauche.
Montrons maintenant que Ψ◦Ω est l’identit´e. On notem1 = (H, τ, α),m2 = (H′, π, α′), et on d´efinit σ′ et m = ((H, σ, α),(I, O)) comme dans la d´efinition 23. On pose ˜τ′ = σ′σ′|I′−1
et ˜π=σ|′I′φ′|O′−1
. La seule chose `a d´emontrer est que τ′ = ˜τ′, et π= ˜π.
Or, τ′ et ˜τ′ co¨ıncident sur les demi-arˆetes sortantes, puisque pourh∈O′ on a ˜τ′(h) = σ′(h), qui est ´egal `aτ′(h) par d´efinition deσ′.
Ensuite, fixons j ∈ I′, et posons h = σ′|I′(j). Par d´efinition de σ′|I′, on a σ′k(j) = h pour un certain k, avec σ′l(j) ∈ O′ pour l < k. Puisque j ∈ I′, on a σ′(j) = τ′π(j), et puisque σ′ co¨ıncide avec τ′ sur les demi-arˆetes sortantes, on a h=τ′k(π(j)). Mais par la propri´et´e 2 de la d´efinition 23, chaque cycle de τ′ a exactement une demi-arˆete entrante, et donc h=π(j). On a donc π(j) = σ|′I′(j), et doncπ et ˜π co¨ıncident sur les demi-arˆetes entrantes.
Soit maintenanth∈I′ une demi-arˆete entrante. Par d´efinition deσ′, et par le fait que π stabilise O′, on aτ′(h) = σ′π−1(h). Par ce qui pr´ec`ede, on sait que π−1(h) = σ′|I′−1
(h), et doncτ′(h) = σ′σ|′I′−1
(h) = ˜τ′(h). Ainsi,τ′et ˜τ′ co¨ıncident sur les demi-arˆetes entrantes.
Enfin, soit h ∈ O′ une demi-arˆete sortante, et montrons que π(h) = ˜π(h). D’abord, par la propri´et´e 3 de la d´efinition 23, on a φ22α′(h) = α′φ′1|O′−1
(h). En se rappelant que φ2 = πα′, on obtient πα′π(h) = α′φ′1|O′−1(h), et donc π(h) = α′π−1α′φ′1|O′−1(h). Soit alors u = α′π−1α′φ′1|O′−1
(h). Par d´efinition de φ′1|O′, on a φ′1kα′πα′(u) = h pour le plus petitk tel que cette quantit´e appartienne `aO′. Or, puisqueφ′1 =τ′α′, on aφ′1α′πα′(u) = τ′α′α′πα′(u) = τ′πα′(u). De plus, puisque τ′ et σ′π−1 co¨ıncident sur les demi-arˆetes entrantes, cette derni`ere quantit´e est ´egale `a σ′α′(u). Par cons´equent, h =φ′1k−1σ′α′(u), etk est le plus petit entier tel que cette quantit´e soit dansO′. Or, pour toute demi-arˆete entrante j ∈ I′, on a φ′1(j) = τ′α′(j) = σ′α′(j) puisque α′(j) ∈ O′. Puisque φ′ = σ′α′, on obtient donc que h =φ′k(u), pour le plus petit k tel que cette quantit´e soit dans O′. De mani`ere ´equivalente, u = φ′|O′−1
(h), ce qui donne π(h) = φ′|O′−1
(h), et donc π et ˜π co¨ıncident sur les demi-arˆetes sortantes.
Nous avons donc montr´e que π = ˜π et τ′ = ˜τ′ dans tous les cas, ce qui d´emontre la proposition.
Les deux propositions ci-dessus terminent la d´emonstration de la proposition 24, et donc du Th´eor`eme 2.