Nous allons maintenant construire un g´en´erateur pour les cartes de genre g. Nous nous restreignons aux cartes enracin´ees g´en´erales, qui par une c´el`ebre bijection de Tutte, se ram`enent aux quadrangulations biparties. Il suffira donc de construire un g´en´erateur
6.2 - Un g´en´erateur de Boltzmann pour les cartes de genre sup´erieur 129 pour ces derni`eres cartes. En vertu de la discussion qui pr´ec`ede, tout sera automatique, `a partir des calculs du chapitre 4. Cela ´etant, extraire le cas des quadrangulations biparties du chapitre 4 demanderait un peu de travail au lecteur : nous allons donc donner expli-citement toutes les s´eries g´en´eratrices, et toutes les ´etapes du g´en´erateur.
carte `a une face ´etiquet´ee
d´ecomposition en briques ´el´ementaires
Fig. 6.2 – La d´ecomposition du chapitre 4, dans le cas particulier des quadrangula-tions biparties. Il est facile de construire un g´en´erateur de Boltzmann pour chacune des
«briques ´el´ementaires» de cette d´ecomposition.
Dans le cas des quadrangulations biparties, les mobiles sont des cartes `a une face
´etiquet´ees, comme dans le chapitre 5. La figure 6.2 montre les diff´erentes « briques» intervenant dans la d´ecomposition de ces objets. Le sch´ema ´etiquet´e d’une carte `a une face ´etiquet´ee remplace le sch´ema complet du chapitre 4 : il s’agit simplement d’une paire (s, λ), o`u s est le sch´ema de la carte `a une face, et λ est l’application qui donne les
´etiquettes des sommets du sch´ema dans la carte, normalis´ees pour former une intervalle de la forme J0, MK. Chaque arˆete du sch´ema est remplac´ee par une chaˆıne de sommets
´etiquet´es : l’incr´ement de cette chaˆıne est d´efini comme la diff´erence entre son sommet en-trant et son sommet sortant, dans l’orientation canonique. L’union de toutes ces chaˆınes forme le cœur de la carte. Enfin, `a chaque coin du cœur est accroch´e un arbre plan ´etiquet´e.
Le param`etre de taille que l’on choisit est le nombre de faces de la quadrangulation bipartie, qui est aussi le nombre d’arˆetes de la carte `a une face associ´ee, et celui de la carte g´en´erale correspondante. Le rayon de la s´erie g´en´eratrice des cartes de genre fix´e
´etant ´egal `a 121, nous fixons maintenant un param`etre r´eel z ∈]0,121[.
G´en´eration d’arbre ´etiquet´es
Les arbres ´etiquet´es que nous consid´erons ici ont un sommet racine d’´etiquette 0, et des ´etiquettes sur les sommets qui varient de−1, 0, ou 1 sur chaque arˆete, sans contrainte de positivit´e. On peut donc facilement construire un g´en´erateur de Boltzmann pour ces objets, selon la r`egle :
T ={•}+{−1,0,1} × T2
ou le terminal • repr´esente l’arbre `a un seul sommet (de taille nulle), et les terminaux {−1,0,1} repr´esentent chacun une arˆete, de taille 1. La s´erie g´en´eratrice correspondante v´erifie l’´equation T(z) = 1 + 3zT(z)2, qui permet en particulier d’en calculer une valeur approch´ee `a n’importe quelle pr´ecision. Nous notons GT(z) le g´en´erateur de Boltzmann de param`etre z, pour la classe T des arbres plans ´etiquet´es.
G´en´eration des chaˆınes
Mi = B (c)
M M
M . . .
}
i0ifoisB= + + M
B B +
−M B (b)
M= + M + M M (a)
Fig. 6.3 – D´ecompositions classiques des marches `a pas {−1,0,1}.
Les chaˆınes de sommets ´etiquet´ees sont en bijection avec les marches sur Z com-men¸cant en 0, et n’ayant que des pas−1, 0, ou 1. La hauteur finale de la marche corres-pond `a l’incr´ement de la chaˆıne. Nous notonsBl’ensemble des telles marches qui finissent en 0, et M la s´erie des marches finissant en 0 et qui restent toujours positives. Les fi-gures 6.3 (a) et (b) montrent que les classes combinatoires MetB v´erifient les ´equations de structure suivantes :
M = {•}+{−} × M+{−}2 × M2 B = {•}+B ×
{−}+ 2· {−}2× M
o`u le symbole terminal{−} d´esigne une arˆete de la chaˆıne. En assignant `a ce symbole le param`etre t >0, on obtient pour les fonctions de partition les ´equations :
M(t) = 1 +tM(t) +t2M(t)2 B(t) = 1 +tB(t)(1 + 2tM(t)).
Nous notons GM(t) et GB(t) les deux g´en´erateurs de Boltzmann ainsi construits.
La figure 6.3 (c) montre la d´ecomposition de dernier passage d’une chaˆıne d’incr´ement i > 0 : une telle chaˆıne est form´ee d’un ´el´ement de B (pr´ec´edant son dernier passage en 0) puis de iexcursions commen¸cant chacune apr`es le dernier passage en chaque entier de l’intervalle J0, i−1K. Elle conduit `a l’´equation suivante pour la classe Mi des marches d’incr´ement i :
Mi = B ×
{−} × Mi
.
6.2 - Un g´en´erateur de Boltzmann pour les cartes de genre sup´erieur 131 L`a encore, cela d´etermine la s´erie g´en´eratrice Mi(t) = B(t)[tM(t)]i, et conduit `a un g´en´erateur de Boltzmann GMi(t) pour les marches d’incr´ement i.
La s´erie des cartes de genre g
En reprenant la d´ecomposition du chapitre 4, on obtient la s´erie des cartes de genre g en sommant sur tous les sch´emas ´etiquet´es (s, λ), sur tous les ´etiquetages possibles des sommets du sch´ema par des entiers compatibles avec λ, puis en distinguant un coin racine uniform´ement. Rappelons que si (s, λ) est un sch´ema ´etiquet´e, et j et e sont respectivement une ´etiquette apparaissant dans l’image de λ et une arˆete de s, on note Ae,j = ✶λ(e−)<j≤λ(e+). Nous noterons aussi d(j) = P
eAe,j le «nombre d’arˆetes dont les indices des extr´emit´es recouvrent l’indice j ». La s´erie g´en´eratrice des quadrangulations biparties de genre g enracin´ees et point´ees s’´ecrit alors :
2z· d dz
X
(s,λ)
ps,λ(z) o`u le «poids»d’un sch´ema ´etiquet´e est d´efini par :
ps,λ= 1
k(B−1)λ=Bλ6=
YM
j=1
Ud(j) 1−Ud(j)
o`uk d´esigne le nombre d’arˆetes des, o`uλ a pour imageJ0, MK, o`uλ= (resp.λ6=) d´esigne le nombre d’arˆetes desd’incr´ement 0 (resp. 6= 0), et o`u les quantit´esB etU sont d´efinies parB =B(zT(z)2) etU =zT(z)2M(zT(z)2). Rappelons que chaque facteur 1Ud(j)
−Ud(j) a ´et´e obtenu au chapitre 4 `a partir de la somme sur toutes les valeurs possibles des incr´ements
´el´ementaires δ ∈ (N>0)M par l’´evaluation de la somme P
δj≥1Ud(j)δj. Cela montre en particulier que sous la distribution de Boltzmann sur les cartes, chaque δj a la loi d’une variable g´eom´etrique de param`etre Ud(j) `a laquelle on a ajout´e 1, et que les (δj) sont ind´ependants les uns des autres.
Description compl`ete du g´en´erateur de cartes
Algorithme 4 (G´en´erateur de Boltzmann pour les cartes de genre g.).
1. Pr´ecalcul : construction d’un dictionnaire. Construire la liste exhaustive de tous les sch´emas de genre g, par exemple au moyen de la bijection du chapitre 2.
Num´eroter arbitrairement ces sch´emas de 1 `a Ng, puis stocker dans une table la fonction de r´epartition F(i) =Pi
j=0psj,λj(z).
2. Tirage d’un sch´ema ´etiquet´e. Tirer un sch´ema ´etiquet´e proportionnellement `a son poids. Pour cela, tirer une variable al´eatoireX uniforme sur le segment [0,1], et renvoyer le sch´ema dont l’indice est l’uniquei tel queF(i−1)≤X·F(Ng)< F(i).
3. Tirage des ´etiquettes du sch´ema.TirerM variables g´eom´etriques ind´ependantes G1, . . . , GM, de param`etres respectifsUd(1), Ud(2), . . . , Ud(M). Donner alors `a chaque sommetv de s l’´etiquettel(v) =Pλ(v)
i=1(Gi+ 1).
4. Tirage des chaˆınes. Pour chaque arˆete e de s, tirer une chaˆıne de sommets
´etiquet´es d’incr´ement l(e+)−l(e−), au moyen du g´en´erateur GMl(e+)−l(e−)(zT(z)2).
5. Tirage des « parties planaires » Pour chaque coin de la carte construite `a l’´etape 4, tirer un arbre plan ´etiquet´e au moyen du g´en´erateur GT(z). Le coller dans le coin correspondant, apr`es avoir translat´e ses ´etiquettes pour que celle du sommet racine de l’arbre corresponde `a celle du sommet auquel il va ˆetre recoll´e.
6. Choix de la racine. Distinguer uniform´ement l’un des coins de la carte comme le coin racine.
7. Bijection de Marcus et Schaeffer.Appliquer la bijection de Marcus et Schaeffer pour retrouver une quadrangulation bipartie : pour cela, cr´eer un nouveau sommet, reli´e `a chaque coin d’´etiquette 1, puis relier chaque coin de la carte d’´etiquetteiau premier coin rencontr´e autour de la carte qui ait une ´etiquettei−1.
8. Bijection de Tutte. Pour retrouver une carte g´en´erale, relier les deux coins de chaque face de la quadrangulation bipartie dont l’´etiquette est paire par une arˆete, puis ne garder que les arˆetes ajout´ees `a cette derni`ere ´etape.
Le th´eor`eme suivant est une cons´equence des d´ecompositions pr´esent´ees au chapitre 4 : Th´eor`eme 9. L’algorithme 4 est un g´en´erateur de Bolzmann de param`etre z pour la classe des cartes enracin´ees de genre g, avec pour param`etre le nombre d’arˆetes.
La figure 6.4 donne un r´esum´e du fonctionnement du g´en´erateur.
Discussion
Notre g´en´erateur de Boltzmann se scinde en deux parties ind´ependantes : d’une part, la g´en´eration du sch´ema, et d’autre part, la reconstruction de la carte `a une face et les bijections. La deuxi`eme partie a tous les avantages : elle est simple `a programmer, et a un coˆut amortiO(1), puisque chaque appel r´ecursif `a chaque g´en´erateur de Boltzmann mis en jeu engendre au moins un terminal. La premi`ere partie est au contraire probl´ematique.
En effet, le nombre de sch´emas de genre g est au moins ´egal au nombre de sch´emas dominants, qui par le corollaire 13 explose comme g6g. En pratique, il ne semble donc pas raisonnable de vouloir utiliser cet algorithme au del`a du genre 2. ´Enon¸cons tout de mˆeme, pour son int´erˆet th´eorique, le fait suivant :
Proposition 69. A genre` g fix´e, notre g´en´erateur de Boltzmann a une complexit´e lin´eaire en la taille de sa sortie. En ajustant le param`etre du g´en´erateur comme au paragraphe 6.1, et en utilisant une m´ethode de rejet, on obtient un algorithme de g´en´eration uniforme sur les cartes de genre g et taille n, de complexit´e moyenne O(n2).