2.7 Variantes
3.1.1 Cartes et sous-cartes
Soit m une carte. Nous avons vu dans l’introduction qu’il y a plusieurs mani`eres de
«voir» m : soit comme un graphe plong´e sur une surface orientable, soit de mani`ere plus combinatoire comme un graphe dont les arˆetes sont form´ees de brins dont un ordre cyclique autour de chaque sommet est impos´e (Figure 3.1 (a) et (b)). Dans ce chapitre nous jonglerons entre les deux repr´esentations : lorsqu’il s’agira d’effectuer des op´erations de«d´ecoupage»ou de «recollement»comme au chapitre pr´ec´edent, nous pr´ef´ererons la seconde vision ; mais lorsque nous parlerons de cartes duales, nous adopterons souvent la vision topologique, au moins comme un support visuel guidant l’intuition. Dans les deux cas, nous adopterons la convention de l’introduction pour l’enracinement de la carte : chaque carte comportera un coin distingu´e, appel´e racine, et repr´esent´e graphiquement par une petite fl`eche pointant vers un sommet.
Cela dit, du point de vue formel, nous allons `a nouveau nous placer dans le for-malisme des cartes combinatoires, comme au paragraphe 1.1.2. Fixons donc une carte m= (H, σ, α), o`u H est l’ensemble des demi-arˆetes de m, et o`u les permutations σ et α repr´esentent respectivement les sommets et les arˆetes de m. On note φ =σα la permuta-tion codant les faces de m, et V l’ensemble des sommets de m.
Soit maintenant S ⊂H un sous-ensemble de demi-arˆetes qui soit stable par α (autre-ment dit, un sous-ensemble d’arˆetes). On noteV|S l’ensemble des sommets dem qui sont
(a) (b) (c)
Fig.3.1 – (a) Une carte de genre 2, dans sa repr´esentation topologique ; (b) la mˆeme carte, en repr´esentation combinatoire ; (c) la sous-carte de genre 1 induite par le sous-ensemble d’arˆetes dessin´e en gras sur les cartes pr´ec´edentes.
incidents `a au moins un ´el´ement deS. Autour de chaque sommetv deV|S, l’ordre cyclique des ´el´ements deH induit naturellement un ordre cyclique des ´el´ements deS (obtenu sim-plement par restriction). Le graphe (V|S, S) est donc naturellement muni d’une structure de carte : cette carte est appel´ela sous-carte de minduite parS, et not´eem|S. De mani`ere graphique,m|S s’obtient `a partir de la repr´esentation en brins dem en effa¸cant les arˆetes qui ne sont pas dans S (remarquons au passage que m|S n’est pas forc´ement connexe).
Pour d´eterminer la racine de la sous-carte m|S, nous nous contentons de ne pas effacer du dessin original la fl`eche donnant la racine de m.
En termes de permutations, on peut dire la mˆeme chose comme suit. Si π est une permutation d’un ensemble X, et Y ⊂ X est un sous-ensemble de X, on d´efinit la restriction deπ `aY comme la permutationπ|Y deY dont les cycles s’obtiennent `a partir de ceux de π en effa¸cant les ´el´ements qui ne sont pas dans Y. Plus formellement, pour y ∈ Y, on pose π|Y(y) := πky(y), o`u ky ≥ 1 est le plus petit entier non nul tel que cette quantit´e soit dans Y . Alors, en termes de cartes combinatoires, la carte m|S est donn´ee par m|S = (S, σ|S, α|S), et sa racine est σi(r), o`u r est la racine de m et i est le plus petit entier tel que cette quantit´e soit dansS. La figure 3.1(c) donne un exemple de sous-carte induite par un sous-ensemble d’arˆetes. On dira qu’une demi-arˆete est interne si elle appartient `a S, et qu’elle estexterne sinon.
On dira que la sous-carte m|S est couvrante si d’une part, elle est connexe, et si d’autre part, chaque sommet de m est incident `a au moins une arˆete de S (c’est-`a-dire queV|S =V). Par exemple, choisirS ´egal `aH, ou bien `a l’ensemble des demi-arˆetes d’un arbre couvrant donne une carte couvrante. La sous-carte de la figure 3.1 est couvrante.
Il est important de remarquer que la carte couvrante m|S n’est pas n´ecessairement de mˆeme genre que m. En effet, si l’on se place dans la repr´esentation topologique d’une carte, alors la restriction du plongement d´efinissant m au graphe (V|S, S) ne d´efinit pas n´ecessairement une carte valide, car les faces ne sont plus forc´ement simplement connexes.
Il faudrait pour retrouver une carte valide s’autoriser des op´erations de «chirurgie»sur la surface : c’est pour ´eviter cela que nous pr´ef´erons utiliser la description combinatoire des cartes, en particulier pour les d´emonstrations.
On s’int´eressera dans ce chapitre `a un cas particulier de sous-carte couvrante : D´efinition 19. Unecarte couverte est une paire (m, S), o`um est une carte et S est un sous-ensemble des demi-arˆetes dem, stable par α, tel que :
3.1 - Les objets 49 – m|S est une sous-carte couvrante (i.e. connexe et qui visite tous les sommets dem) ; – la carte m|S n’a qu’une seule face.
(a) (b)
Fig. 3.2 – (a) Une carte de genre 1 munie d’une sous-carte couvrante (en gras) ; cette sous-carte n’a qu’un seul bord (en trait-tiret), et r´ealise donc une carte couverte valide.
(b) La mˆeme carte, munie d’une sous-carte couvrante `a trois bords : ce n’est pas une carte couverte.
Il est utile de comprendre `a quoi ressemble une carte couverte dans la repr´esentation topologique. La figure 3.2 donne la repr´esentation topologique de deux cartes m et m′ portant chacune un sous-ensemble de demi-arˆetes distingu´e, not´es S et S′ (repr´esent´es en gras). Dans les deux cas, la carte induite est couvrante, au sens o`u elle visite tous les sommets. Nous avons repr´esent´e sur la figure lesbords de chacune des sous-cartes m|S et m′|S′ : rappelons qu’un bord d’une carte s’obtient en longeant les arˆetes de cette carte, en gardant les arˆetes `a sa gauche. Ici, de mˆeme, les traits pointill´es repr´esentent les bords des deux cartes m|S et m′|S′. Remarquons n´eanmoins que nous avons dessin´e ces bords sur la surface de d´epart, sur laquelle m|S et m′|S′ ne sont pas n´ecessairement des cartes valides (nous sommes donc en train de m´elanger la repr´esentation topologique avec celle en graphes rubans). Alors, une carte couverte valide se caract´erise par le fait qu’elle n’a qu’un seul bord.
Un carte couvrante (m, S) telle que la carte m|S est de genre 0 (autrement dit, une carte m munie d’un arbre couvrant) est appel´ee une carte bois´ee. Le grand int´erˆet qu’a la notion de carte couverte, par rapport `a celle de carte bois´ee, est qu’elle est stable par dualit´e. En effet, Mullin avait remarqu´e dans le cas planaire que le dual d’un arbre couvrant est toujours un arbre couvrant [76], mais cette propri´et´e s’effondre en genre sup´erieur. `A l’inverse, grˆace au fait que l’on n’impose pas le genre de la sous-carte, on retrouve cette propri´et´e pour les cartes couvertes.
Pr´ecis´ement, notons m∗ = (H, φ, α) la carte duale de m, comme au paragraphe 1.1.4.
Au sous-ensemble S de H, on fait correspondre son compl´ementaire S := H \S. La sous-carte duale dem|S est alors d´efinie comme la sous-carte m∗
|S, c’est-`a-dire comme la sous-carte de la carte duale m∗ induite par les arˆetes duales des arˆetes qui ne sont pas
dansS. Graphiquement, on obtient la cartem∗
|S `a partir de la repr´esentation topologique de m en ajoutant un sommet dans chaque face de m, puis en ne gardant que les arˆetes duales d’arˆetes mqui ne sont pas dans S : on obtient ainsi une repr´esentation graphique o`u les deux cartes m|S et m∗
|S semble ˆetre «emboˆıt´ees» (voir la figure 3.3(a) pour un exemple planaire). La stabilit´e par dualit´e s’´enonce comme ceci :
Proposition 19. Soit une carte m= (H, σ, α), et soit S ⊂H un sous-ensemble de demi-arˆetes stable par α. Alors (m, S)est une carte couverte si et seulement si (m∗, S) est une carte couverte.
bord dem∗|S∗ bord dem|S
(a) (b)
Fig. 3.3 – (a) Une carte planaire, munie d’un arbre couvrant (en trait gras plein), et son arbre couvrant dual (en trait gras pointill´e). Les deux arbres semblent ˆetre«emboˆıt´es». (b) Autour de chaque coin de la sous-carte couvrante m|S, on voit que son bord co¨ıncide avec celui de sa duale m∗
|S, ce qui explique que l’une n’a qu’un bord si et seulement si l’autre n’en a qu’un.
Nous donnerons plus loin (paragraphe 3.3) une d´emonstration formelle de ce r´esultat.
On peut n´eanmoins l’interpr´eter visuellement en termes de bords. En effet, on voit sur la figure 3.3(b) que les bords d’une sous-carte m|S co¨ıncident avec ceux de sa sous-carte dualem∗
|S : il suffit pour cela de remarquer qu’ils co¨ıncident localement, autour de chaque coin de la carte m|S (rappelons que l’on tourne toujours dans des sens diff´erents autour d’une carte et de sa duale, comme expliqu´e dans l’introduction ; on longe donc le bord de m|S avec les arˆetes `a gauche, mais celui de sa duale avec les arˆetes `a droite). Ainsi,m|S n’a qu’un seul bord si et seulement si m∗
|S n’a qu’un seul bord, ce qui donne une explication de la proposition ci-dessus. On peut ´egalement remarquer la propri´et´e suivante :
Proposition 20. Soit (m, S) une carte couverte, de carte couverte duale (m∗, S). Alors les nombres de sommets, arˆetes et faces, et le genre de m|S et m∗
|S sont reli´es par : v(m) = v(m|S), f(m) = v(m∗|S), e(m) = e(m|S) +e(m∗|S), et g(m) = g(m|S) +g(m∗|S).
(3.3) D´emonstration. La relationv(m) =v(m|S) vient du fait quem|S est couvrante, etf(m) = v(m∗
|S) est la propri´et´e duale. La relatione(m|S)+e(m∗
|S) = e(m) est ´evidente et la relation g(m) =g(m|S) +g(m∗
|S) se d´eduit des pr´ec´edentes par le fait quef(m|S) = f(m∗
|S) = 1, et la relation d’Euler appliqu´ee aux cartes m, m|S et m∗
|S.
3.1 - Les objets 51 La derni`ere proposition, qui dit que le genre est additif, permet de mieux comprendre pourquoi les cartes bois´ees ne sont pas stables par dualit´e : le dual d’une carte bois´ee de genre g est une carte couverte de genre g dont la sous-carte est elle-mˆeme de genre g.
Plus g´en´eralement, une carte couverte (m, S) de genre g est form´ee d’une carte m|S de genre g1, et d’une carte m∗
|S de genre g2, telles que g2 =g−g1.