Chapitre 2 : cartes ` a une face
Nous ´etudions les cartes `a une face de genregfix´e, ´egalement appel´eesg-arbres, cartes unicellulaires, ou polygon gluings. Ces cartes jouent un rˆole pr´epond´erant dans tout ce m´emoire, o`u nous montrerons qu’elles sont les objets fondamentaux de la combinatoire des cartes de genreg. Dans ce chapitre, nous donnons la premi`erem´ethode bijective per-mettant d’´enum´erer ces cartes.
Nous donnons une proc´edure permettant de construire une carte `a une face de genre g `a partir d’une carte de genre inf´erieur, en recollant ensemble un nombre impair de sommets. Chaque carte `a une face de genre g peut ˆetre obtenue d’exactement 2g fa¸cons par cette proc´edure, ce qui conduit `a une nouvelle identit´e combinatoire reliant le nombre ǫg(n) de cartes `a une face de genre g `a n arˆetes aux nombres correspondants pour les genres inf´erieurs (Corollaire 7 p. 39) :
2g·ǫg(n) =
n+ 3−2g 3
ǫg−1(n) +
n+ 5−2g 5
ǫg−2(n) +· · ·+
n+ 1 2g+ 1
ǫ0(n).
En it´erant notre bijection jusqu’au genre 0, on montre quetoutes les cartes `a une face de genreg peuvent s’obtenir de mani`ere canonique par recollements successifs de sommets`a partir d’un arbre plan. En particulier, nous donnons une interpr´etation combinatoire au fait que le nombre ǫg(n) soit le produit d’un polynˆome et d’un nombre de Catalan :
ǫg(n) =Rg(n)Cat(n).
Ce r´esultat, dˆu `a Lehman et Walsh [95], et ind´ependamment `a Harer et Zagier [56], n’avait jusqu’ici ´et´e d´emontr´e que par des m´ethodes non constructives. Outre leur exis-tence, nous interpr´etons de mani`ere combinatoire certaines propri´et´es des polynˆomes Rg(n), r´epondant `a plusieurs questions de Zagier (paragraphe 2.6.4 page 41). De plus, notre identit´e permet de calculer ces polynˆomes beaucoup plus simplement que les autres formules connues, en particulier que la r´ecurrence d’Harer et Zagier.
Notre construction est robuste et s’adapte sans mal `a plusieurs classes de cartes `a une face, comme les cartes `a une facebiparties, ou les cartes dont les degr´es des sommets sont fix´es. Nous illustrons ce dernier point en effectuant l’´enum´eration bijective des cartes `a une facepr´ecubiques (dont tous les sommets sont de degr´e 1 ou 3). Enfin, notre construc-tion donne le premier algorithme (par ailleurs de complexit´e lin´eaire) pour engendrer ces objets. Une adaptation de cet algorithme au cas ´etiquet´e sera pr´esent´ee au chapitre 6.
Chapitre 3 : cartes couvertes et orientations gauches
Nous pr´esentons un travail commun avec Olivier Bernardi [19, 20], qui g´en´eralise un travail de cet auteur pour le cas planaire. Nous faisons le lien, au moyen de bijections
1.4 - Organisation de ce document, et aper¸cu des r´esultats pr´esent´es 15 explicites, entre trois notions combinatoires portant sur les cartes de genre g : les cartes couvertes, les orientations gauches, et les cartes `a une face biparties.
Les cartes couvertes sont des cartes de genre g munies d’une sous-carte couvrante `a une seule face, de genre ´eventuellement inf´erieur. Les exemples les plus simples de cartes couvertes sont les cartes bois´ees (cartes munies d’un arbre couvrant) qui ont d´ej`a ´et´e
´etudi´ees [76, 96, 8]. Nous verrons que la notion de carte couverte est pr´ef´erable `a celle de carte bois´ee, car elle a l’avantage important d’ˆetre stable par dualit´e. En particulier, en genre non nul, les cartes couvertes ont de remarquables propri´et´es ´enum´eratives.
Nous montrons d’abord que les cartes couvertes sont en bijection avec une nou-velle classe d’orientations, les orientations gauches. L’introduction de ces orientations est int´eressante en soi, car elles semblent ˆetre la premi`ere g´en´eralisation donn´ee `a la no-tion planaire d’orientation minimale qui joue un rˆole pr´epond´erant dans de nombreux champs de la combinatoire des cartes planaires [79, 17].
Ensuite, en utilisant les mˆemes r`egles locales que dans le cas planaire [18], nous mon-trons que toute orientation gauche s’obtient de mani`ere unique par le recollement d’un arbre plan, et d’une carte `a une face bipartie. En particulier, cela permet de compter facilement le nombre d’orientations gauches, i.e. de cartes couvertes, `an arˆetes de genre fix´e. En comparant ce r´esultat avec celui obtenu par une m´ethode na¨ıve (qui dit simple-ment qu’une carte couverte s’obtient en recollant la sous-carte couvrante `a sa sous-carte duale), on obtient une nouvelle identit´e combinatoire, reliant les nombres de cartes `a une face biparties et g´en´erales. Cette identit´e fait le lien entre deux formules c´el`ebres, celle d’Harer-Zagier et celle de Jackson-Adrianov, en donnant une d´erivation combinatoire de l’une `a partir de l’autre.
Chapitre 4 : constellations et hypercartes
Nous effectuons l’´enum´eration asymptotique de deux classes de cartes de genre g, les m-constellations et les m-hypercartes. Pour m = 2, elles correspondent respectivement aux cartes biparties et aux cartes dont toutes les faces ont degr´e pair. Dans les deux cas, nous fixons un ensemble fini de degr´es autoris´es pour les faces de ces cartes.
Nous obtenons des formules asymptotiques explicites pour les nombres comptant ces cartes, qui n’´etaient connues que dans certains cas particuliers. Ces formules sont univer-selles, dans le sens o`u elles ne d´ependent de la famille consid´er´ee que par des«param`etres multiplicatifs». En particulier, on montre l’universalit´e de l’exposant de comptagen5(g−1)2 et de la «constante de Bender et Canfield» tg, d´efinie dans [10]. Un cas particulier de nos r´esultats d´emontre des conjectures de Gao [49].
Une nouveaut´e de ce chapitre est l’introduction du type d’une m-hypercarte, qui est un ´el´ement del’espace des types, unZ/mZ-espace vectoriel de dimension 2g. Par exemple, pour une 2-hypercarte de genreg, le type code la«congruence modulo 2»des longueurs de 2g cycles fondamentaux de la surface. Nous montrons que quand la taille de la carte
tend vers l’infini, le type est asymptotiquement uniform´ement distribu´e dans l’espace des types. Par exemple, la probabilit´e d’avoir un type nul tend vers 1/4g, ce qui montre qu’une carte dont toutes les faces sont paires est bipartie avec probabilit´e tendant vers 1/4g. Des r´esultats analogues sont obtenus pour les m-hypercartes et les m-constellations.
Les r´esultats de ce chapitre reposent sur deux outils. Tout d’abord, nous g´en´eralisons au genre sup´erieur la bijection planaire de Bouttier, Di Francesco, et Guitter [27], et relions ainsi les cartes de genre g `a des objets appel´es g-mobiles, qui sont des cartes `a une face de genre g, portant plusieurs types de sommets, et dont les sommets portent des ´etiquettes enti`eres qui sont soumises `a des r`egles de variation locales. Pour effectuer l’´enum´eration de ces objets, nous utilisons des techniques de s´eries g´en´eratrices. Lorsque l’on d´ecompose un mobile, on obtient des «branches»de sommets multitypes ´etiquet´es, qui peuvent se voir comme des chemins sur r´eseau dont les pas sont eux-mˆemes des che-mins sur r´eseau. Le plus gros travail de ce chapitre est le calcul des s´eries g´en´eratrices correspondantes au moyen de techniques de combinatoire des chemins. Nous arrivons `a des expressions alg´ebriques suffisamment explicites pour effectuer une analyse de singu-larit´es, et pour en d´eduire les r´esultats ´enum´eratifs voulus.
Chapitre 5 : profil m´ etrique limite des grandes quadrangulations
Dans ce chapitre, nous consid´erons des cartes al´eatoires de genre g fix´e, choisies selon la mesure uniforme sur les cartes de taillen. Cela donne un mod`ele de «surface al´eatoire discr`ete»de genreg. Pour des raisons techniques, nous nous restreignons `a une classe de cartes particuli`ere : celle des quadrangulations biparties.
Nous ´etudions le comportement de la distance de graphe sur ces cartes. La distance maximale `a un sommet point´e au hasard dans une carte de taille n ´etant de l’ordre de n1/4, il est naturel de renormaliser les distances par n−1/4. Nous ´etudions alors le profil renormalis´e, qui est la mesure al´eatoire donnant la distribution des distances renorma-lis´ees des sommets `a un sommet point´e au hasard dans la carte. Notre r´esultat principal est la convergence du profil vers une mesure al´eatoire enti`erement d´ecrite en termes de la mesure al´eatoire ISE [3], dont Chassaing et Schaeffer ont montr´e qu’elle est la limite du profil dans le cas planaire. Nous montrons que le profil limite des cartes de genre g est une mesure al´eatoireµg, qui est en quelque sorte la mesure ISE«pond´er´ee»de mani`ere
`a privil´egier les profils bien resserr´es au d´etriment des profils trop ´etendus.
Du point de vue combinatoire, le point cl´e est l’association de la bijection de Marcus et Schaeffer, qui relie les cartes de genreg `a des cartes `a une face de genreg´etiquet´ees, et de notre bijection du chapitre 2, qui permet de ramener ces cartes `a desarbres plans. On montre ainsi que (presque toutes) les quadrangulations biparties de genre g s’obtiennent
`a partir d’un arbre plan ´etiquet´e en recollant ensemble g triplets de sommets de mˆeme
´etiquette. La propri´et´e fondamentale de la bijection ´etant que les´etiquettes de l’arbre cor-respondent aux distances dans la carte, cela donne une approche combinatoire `a l’´etude du profil. De plus, la d´ependance en le genre se traduit par le fait que les arbres ´etiquet´es correspondant aux quadrangulations de genre g ne sont pas choisis selon la mesure
uni-1.4 - Organisation de ce document, et aper¸cu des r´esultats pr´esent´es 17 forme, mais proportionnellement au nombre de g-uplets de triplets de sommets de mˆeme
´etiquette qu’ils contiennent. C’est en examinant la limite continue de cette pond´eration que l’on exprime la mesure µg en termes de la mesure ISE. Du point de vue probabiliste, notre principal outil est un th´eor`eme de Bousquet-M´elou et Janson [24], montrant une convergence forte du profil des arbres ´etiquet´es vers la mesure ISE.
Au passage, nous obtenons une nouvelle expression de la constante tg de Bender et Canfield, exprim´ee comme une fonctionnelle continue de la mesure ISE : en notantfISE(x) la densit´e (al´eatoire) de la mesure ISE sur R, on obtient l’expression :
tg = 2 25g/2g!√
πE
Z ∞
−∞
fISE(x)3dx g
(1.2) ce qui donne une connexion ´etonnante entre l’´enum´eration des cartes de genre g et des objets purement probabilistes.
Chapitre 6 : g´ en´ eration al´ eatoire
Nous donnons plusieurs algorithmes de g´en´eration al´eatoire de cartes de genre g. Le premier est un g´en´erateur de Boltzmann, bas´e sur la bijection de Marcus et Schaeffer. `A genre fix´e, ce g´en´erateur est lin´eaire en taille approch´ee, et quadratique en taille exacte.
Aucun algorithme n’´etait pr´ec´edemment connu pour ce probl`eme.
Le premier algorithme ´etant assez difficile `a utiliser en pratique, en raison de la n´ecessit´e de cr´eer un gros dictionnaire de cartes minimales, nous en donnons un deuxi`eme, rapide mais approch´e, qui utilise la bijection du chapitre 2. Nous proc´edons par g´en´eration al´eatoire d’arbres ´etiquet´es, que nous pond´erons par une fonctionnelle li´ee `a leur profil.
Cependant, effectuer cette pond´eration de mani`ere exacte conduirait `a une complexit´e non-lin´eaire, et pour ´eviter cela nous effectuons unrejet des cartes dont le profil est trop
´etendu. Ainsi, pour toutǫ, nous donnons un g´en´erateur al´eatoire, uniforme sur une pro-portion (1−ǫ) des cartes de taillen, et dont la complexit´e est lin´eaire enn. Cet algorithme est tr`es simple `a implanter en pratique. Nous donnons des images de simulations obte-nues au moyen de cet algorithme, o`u nous repr´esentons de mani`ere tridimensionnelle des cartes al´eatoires de genre 0, 1, et 2. Pour effectuer le plongement dans R3, nous utilisons des algorithmes«ad-hoc», imparfaits, mais qui permettent de se «faire une id´ee»de la g´eom´etrie des grandes cartes.