3.4.1 Cartes couvertes
La premi`ere cons´equence du th´eor`eme 2 est le r´esultat suivant :
Th´eor`eme 3. Le nombre Cv,f(n) de cartes couvertes `a n arˆetes, v sommets, et f faces est donn´e par :
Cv,f(n) = Cat(n)βv,f(n+ 1) (3.12)
o`u βv,f(n+ 1) est le nombre de cartes `a une face biparties `a n + 1 arˆetes, v sommets blancs et f sommets noirs.
Une version plus faible du th´eor`eme 3, o`u l’on contrˆole un param`etre de moins, s’´enonce comme suit :
Corollaire 14. Le nombre Cg(n) de cartes couvertes de genre g `a n arˆetes satisfait :
Cg(n) = Cat(n)βg(n+ 1) (3.13)
o`u βg(n+ 1) est le nombre de cartes `a une face biparties de genre g `a n arˆetes.
En utilisant les expressions connues de βg(n) pour les premiers genres (voir [55]), on obtient les expressions suivantes pour les nombres de cartes couvertes :
C0(n) = Cat(n) (2n+ 2)!
(n+ 2)!(n+ 2)!, C1(n) = Cat(n) (2n+ 1)!
6(n+ 1)!(n−2)!, C2(n) = Cat(n)(5n2+ 3n+ 4)(2n)!
1440(n−1)!(n−4)!.
Int´eressons-nous maintenant au cas du tore. Puisque les deux seules paires d’entiers naturels de somme 1 sont (0,1) et (1,0), il y a deux familles de cartes couvertes de genre 1 : les cartes bois´ees, et les duales des cartes bois´ees. La dualit´e ´etant une involution, on en d´eduit qu’exactement la moiti´e des cartes couvertes de genre 1 sont des cartes bois´ees.
On obtient ainsi une d´emonstration bijective d’une formule de Lehman et Walsh : Corollaire 15 ([96]). Le nombre de cartes bois´ees `a n arˆetes sur le tore est :
T1(n) = 1
2C1(n) = (2n)!(2n+ 1)!
12(n+ 1)!2n!(n−2)!.
3.4.2 Une identit´ e reliant la formule de Jackson ` a celle d’Harer et Zagier
Une cons´equence inattendue de notre bijection est qu’elle donne une nouvelle identit´e combinatoire, o`u les nombres de cartes couvertes n’apparaissent pas, et qui ne concerne que les cartes `a une face. En effet, rappelons que grˆace `a l’approche directe par recollement bord `a bord, nous avons obtenu une expression deCv,f(n) en termes des nombres de cartes
`a une face (´equation (3.6)). En comparant cette expression avec celle du th´eor`eme 3, on obtient une identit´e reliant les nombres de cartes `a une face biparties aux nombres de cartes `a une face g´en´erales :
3.4 - Corollaires ´enum´eratifs 67 Corollaire 16 (Une nouvelle identit´e combinatoire). Les nombres comptant les cartes `a une face g´en´erales et biparties sont reli´es par la formule :
βv,f(n+ 1) = X
n1+n2=n
n!(n+ 1)!
(2n1)!(2n2)!ǫv(n1)ǫf(n2). (3.14) En termes de s´eries g´en´eratrices, la formule de Jackson [58]
X
se d´eduit de celle d’Harer et Zagier [56] : X
Remarque : Il existe une variante de la formule de Jackson due `a Adrianov [1]. L’ar-ticle [85] donne une d´emonstration de l’´equivalence des formules de Jackson et d’Adrianov.
D´emonstration. L’´equation (3.14) s’obtient imm´ediatement en comparant les ´equations (3.6) et (3.12). Montrons comment retrouver l’´equation (3.15) `a partir de (3.16). On a :
X
o`u la deuxi`eme et la quatri`eme ´egalit´es ne sont que des r´earrangements de termes. Or, on a i−1,j−1,n1−ni+1,n2−j+1 ce qui d´emontre la formule de Jackson (´equation (3.15)).
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C ARTES BICOLORES ET CONSTELLATIONS
4.1 Introduction : universalit´ e des exposants de comptage
Contrairement au chapitre 2, o`u nous nous sommes restreints `a des cartes `a une seule face, et au chapitre 3, o`u nous avons ´etudi´e des cartes munies d’une structure suppl´ementaire (une sous-carte couvrante), nous allons ´etudier dans ce chapitre des cartes qui seront simplement enracin´ees. Plus pr´ecis´ement, nous allons consid´erer plusieurs fa-milles de cartes enracin´ees (en fait, une infinit´e), et effectuer leur ´enum´eration asympto-tique, via la combinaison d’une approche bijective et de techniques de s´eries g´en´eratrices.
Nous verrons que les r´esultats obtenus pour les diff´erentes familles ont tous une forme commune, et d´ependent peu de la famille consid´er´ee : les propri´et´es de ce type sont connues sous le nom de r´esultats d’universalit´e.
Dans le cas planaire, le premier `a ´enum´erer les cartes enracin´ees fut W. Tutte, dans l’article fondateurA census of planar maps [92]. Les remarquables formules obtenues par Tutte impliquent en particulier que le nombre de cartes planaires enracin´ees `a n arˆetes est ´equivalent `a : 2
√πn−5/212nquand ntend vers l’infini. Plus tard, bien d’autres familles de cartes enracin´ees ont ´et´e consid´er´ees par Tutte et ses successeurs (triangulations,
cartes `a degr´es de faces prescrits, cartes avec des contraintes de connexit´e plus fortes, voir [12, 53, 51, 50]). L’universalit´e du comportement asymptotique des cartes planaires se traduit par le fait que dans chacune de ces familles, le nombre de cartes enracin´ees de taille n croˆıt comme :
A·Bn·n−5/2
pour des constantes A, B >0 d´ependant de la famille consid´er´ee. Ainsi, l’exposant −5/2 est une caract´eristiqueuniverselle de la classe des cartes planaires, et est, en un sens, plus important que la constante de croissance B, qui n’est qu’un param`etre de normalisation d´ependant des particularit´es «locales» de la famille ´etudi´ee.
Dans le cas du genre sup´erieur, les premiers `a avoir effectu´e l’´enum´eration des cartes enracin´ees sont Bender et Canfield, dans l’article [10], qui fut prolong´e par de nombreux autres travaux [11, 8, 13]. Bender et Canfield ont montr´e, par une m´ethode de calcul sur des s´eries g´en´eratrices `a plusieurs variables, que le nombre de cartes enracin´ees de genre g `a n arˆetes est ´equivalent `a :
tg·12n·n52(g−1) (4.1)
pour une constantetg >0. Ainsi, l’exposant de comptage des cartes de genregest lin´eaire en le genre, de pente 52, un fait remarquable qui avec les m´ethodes de [10] ´etait difficile
`a interpr´eter de mani`ere combinatoire. Plus tard, Gao [49] a g´en´eralis´e les m´ethodes de Bender et Canfield au cas des 2k-angulations, c’est-`a-dire au cas des cartes enracin´ees dont toutes les faces ont un degr´e pair 2k fix´e. Il a montr´e l’existence de deux constantes Ak, Bk, telles que le nombre de telles cartes `an arˆetes croisse comme :
tg(Akn)52(g−1)Bkn.
Gao a donc exhib´e un ph´enom`ene d’universalit´e pour les cartes de genre g, avec un ex-posant de comptage 52(g−1), au moins pour les 2k-angulations. Remarquons aussi que la constante multiplicative tg, dont nous reparlerons au chapitre suivant, apparaˆıt dans la formule, et est donc elle aussi universelle. Dans le mˆeme article, Gao a conjectur´e des formules analogues pour les 2D-angulations, cartes dont les faces ont un degr´e apparte-nant `a un sous-ensemble fini 2D de 2N, sans parvenir `a les d´emontrer.
L’interpr´etation des exposants de comptage passe souvent par des m´ethodes bijec-tives, qui permettent d’interpr´eter les objets ´etudi´es en fonction d’objets plus simples dont les exposants sont bien connus. Ainsi, Schaeffer a donn´e dans sa th`ese [84] une in-terpr´etation satisfaisante de l’exposant de comptage des cartes planaires, en montrant que de nombreuses familles de cartes enracin´ees peuvent se d´ecrire comme des classes de conjugaison d’arbres, ce qui conduit `a l’exposant −5/2 en retranchant 1 `a −3/2, qui est l’exposant universel pour les arbres [42, 62, 100]. Une des bijections de Schaeffer (remon-tant `a des travaux de Cori et Vauquelin [40]), fut g´en´eralis´ee par Bouttier, Di Francesco et Guitter [27], et permet d’´enum´erer de nombreuses familles de cartes, dont les degr´es des faces sont contraints.
La premi`ere bijection en genre sup´erieur fut donn´ee par Marcus et Schaeffer [70], qui ont g´en´eralis´e la bijection de Cori-Vauquelin-Schaeffer, et ont montr´e que les cartes
4.2 - Principaux r´esultats de ce chapitre 71