Le TPS est l’un des outils crucial du clinicien lui permettant de rendre conforme le traitement. Comme explicité précédemment, les techniques Monte Carlo sont les plus précises mais aussi les plus gourmandes en puissances de calcul. Actuellement, la communauté scientifique veut rendre possible l’utilisation des simulations Monte Carlo au sein des TPS en routines cliniques.
Genèse Les premiers concepts de méthode Monte Carlo sont attribués à Leclerc de Buffon en 1777, pionnier des problèmes de probabilités continues (problème de l’aiguille de Buffon). Laplace suggéra, un siècle plus tard, que cette procédure pouvait être employée pour détermi- ner la valeur de π. Par la suite, les pères fondateurs de la méthode Monte Carlo furent Ulam et Metropolis qui associèrent l’échantillonnage stochastique à Monte Carlo, célèbre quartier monégasque réputé pour ses jeux de hasard. Le véritable développement des méthodes Monte Carlo s’est effectué sous l’impulsion d’Ulam et Neumann dans le cadre du projet Manhat- tan [131].
Cette technique désigne toutes les méthodes visant à calculer une valeur numérique en utilisant des procédés aléatoires, probabilistes. Elles ont maintenant été portées sur ordinateur pour la résolution de problèmes variés, allant de la physique des particules à la finance ou encore la météorologie. Elles nécessitent une grande puissance de calculs telles des fermes de calculs, et elles furent largement adaptées au calcul distribué lors de la dernière décennie.
0.5.1 Fonction de répartition
La fonction de répartition, aussi nommée fonction de distribution cumulative ou encore fonc- tion de distribution, est la donnée clé pour l’établissement de toutes méthodes numériques Monte Carlo. La fonction de répartition FX(x) d’une variable aléatoire X représente la pro- babilité cumulée que X ≤ x :
FX(x) = p(X≤ x) = Z x
−∞
fX(x)dx, (6)
avec fX(x) représentant la fonction densité de probabilité de X. On note que fX(x) =
dFX(x)
dx . (7)
0.5.2 Échantillonnage
On appelle échantillonnage la méthode qui consiste à tirer aléatoirement dans les fonctions de répartitions qui décrivent le problème, afin de générer adéquatement les événements. On dispose de deux méthodes d’échantillonnages : la méthode directe ou la méthode par rejet [132]. Soit F (x) une fonction de répartition où x représente la quantité à échantillonner qui suit cette loi, par définition F (x) ∈ [0, 1].
Méthode d’échantillonnage directe Si F est inversible, alors on génère aléatoirement un nombre η ∈ [0; 1] uniformément distribué et on détermine x par résolution de x = F−1(η).
Méthode d’échantillonnage par rejet Si F n’est pas inversible, mais que G(x) l’est avec ∀ x ∈ DF, ∃ C ∈ <+∗ tel que CG(x) > F (x), avec DF représentant le domaine de définition de la fonction F, la méthode se résume en trois étapes pour la détermination de x :
- Échantillonner la variable aléatoire x de CG(x) par la méthode directe, - Tirer aléatoirement η ∈ [0, 1] uniformément distribué,
- Si η < F (x)
CG(x), accepter x, sinon revenir à la première étape.
L’efficacité de cette méthode est moindre par rapport à celle de la méthode directe.
0.5.3 Sections efficaces et libre parcours moyen
Les sections efficaces correspondent à des fonctions densités de probabilités et elles sont donc prépondérantes au traitement probabiliste (Monte Carlo) du transport de particules. Ce sont des grandeurs physiques mesurées et issues de théories classique ou quantique.
La section efficace microscopique σm d’interaction d’une particule correspond au rapport entre la probabilité d’interaction avec une seule entité du milieu cible (P ) par la fluence particulaire φ
bombardant l’entité cible (atome, noyau, nucléon ou électron) [36] : σm = P φ en m 2 ou en barn (1 b = 10−28 m2), (8) avec φ = dN da, (9)
où dN représente le nombre de particules incidentes à travers la section transverse d’une sphère da, de sorte que da soit perpendiculaire à la direction de la radiation [36].
À partir de σm est définie la section efficace macroscopique σM :
σM = ncible· σm en m−1, (10)
où ncible est le nombre de constituants élémentaires par unité de volume dans le milieu cible. ncible dépend de l’entité du milieu cible à dénombrer du milieu i :
natomei = NAρwi Ai
et nelectroni = Zi· natomei , (11) avec NA le nombre d’Avogadro, Ai et Zi respectivement le nombre de masse et le numéro atomique, wi la fraction massique de l’atome i et ρ la masse volumique du milieu cible. Pour le transport Monte Carlo, la section efficace microscopique totale par atome (i) d’un procédé d’interaction noté σm(Z
i, E)est usuellement utilisée :
σm(Zi, E) = Zi· σm en m2, (12) où E représente l’énergie cinétique de la particule incidente. De manière analogue macrosco- piquement il vient :
σM(E) =X i
natomei · σm(Zi, E) en m−1, (13) avec σM(E)la section efficace macroscopique de l’interaction dans le milieu considéré [133]. Enfin la section efficace totale σ correspond à la somme des sections efficaces macroscopiques pour tous les types d’interactions différents et indépendants [36,133] :
σ(E) =X j
σjM(E) en m−1, (14)
Libre parcours moyen Le libre parcours moyen λ correspond à la distance moyenne par- courue par la particule entre deux interactions. Il vaut [133] :
λ(E) = σ−1(E) en m. (15)
Pour les protons, le libre parcours moyen dépend des sections efficaces d’interactions électro- magnétiques et nucléaires.
Sections efficaces différentielles La description complète d’un procédé d’interaction né- cessite la connaissance des distributions de probabilité en énergie et en direction de toutes les particules résultantes de l’interaction, nommées sections efficaces différentielles [36]. Si, lors de l’interaction, la particule est simplement déviée sans perte d’énergie, la section effi- cace différentielle par rapport à l’angle solide Ω décrira la probabilité de déviation suivant les directions :
dσ
dΩ. (16)
Dans le cadre additionnel de transfert d’énergie, la section efficace double différentielle en énergie et en direction décrira le transfert d’énergie suivant Ω :
d2σ
dE· dΩ. (17)
Les sections efficaces différentielles correspondent à des fonctions densité de probabilités qu’il convient de normaliser. Le transport Monte Carlo de particules nécessite l’échantillonnage des fonctions de répartitions résultantes.
0.5.4 Échantillonnage du transport de protons
Le transport exposé ici est applicable à toutes les particules et il peut inclure toutes les inter- actions ponctuelles (électromagnétiques et nucléaires). Ce transport s’adresse aux interactions simulées explicitement et non à celles simulées de manières condensées nécessitant l’intégration des sections efficaces le long du pas de déplacement. Le transport est mis en œuvre pour les protons dans ce travail.
Point d’interaction ponctuelle Le taux de protons ayant interagi au travers d’une épais- seur x de matériau décroît exponentiellement suivant :
P (nλ) = 1− e−nλ avec nλ= x
λ et λ le libre parcours moyen. (18) P est la fonction de répartition du transport de protons jusqu’à la prochaine interaction. Elle est facilement échantillonnée par inversion et il vient pour tout nombre aléatoire η uniformé- ment distribué dans [0,1] :
s =−λ · ln(η), (19)
avec s le pas de déplacement du proton jusqu’à la prochaine interaction ponctuelle ; s est aussi nommé pas ou step length en anglais.
Sélection de l’interaction Le choix de l’interaction dépend de la fonction densité de pro- babilité f : f (x) = j X k=1 wk· δ(x − k), wk= σM k (E) σ(E) , (20)
avec δ représentant la fonction Dirac, j le nombre de procédés d’interactions indépendants, σM
k (E) est la section efficace macroscopique de l’interaction k (Équation 13) et σ(E) est la section efficace totale (Équation14). La fonction de répartition de f est sa primitive F valant :
F (x) = j X k=1
wk· H(x − k), (21)
avec H la fonction de Heaviside. F est une fonction escalier dont la réciproque n’est pas une fonction mais le ki`eme indice correspondant à l’interaction. Soit η ∈ [0, 1] un nombre aléatoire uniformément distribué alors :
si η ∈ [F (k − 1), F (k)[ alors choix de l’interaction k ∀ k ∈ [1, j[ avec F (0) = 0, si η ∈ [F (j − 1), 1] alors choix de l’interaction j, (22) Modélisation de l’interaction Les interactions des protons avec la matière sont de types :
- électromagnétiques inélastiques §1, §2 et §3, - électromagnétiques élastiques §3,
- nucléaires élastiques §4, - nucléaires non-élastiques §4.
Les travaux de ce doctorat ont conduit à une avancée scientifique dans la prise en compte des interactions électromagnétiques inélastiques dans les algorithmes de transport Monte Carlo pour les particules chargées. Leurs intégrations Monte Carlo appliquées aux protons sont explicitées aux chapitres cités précédemment.