Le pouvoir d’arrêt massique d’un matériel pour une particule chargée est le quotient de dE par ρdx, où dE est l’énergie perdue par la particule chargée traversant une épaisseur infinitésimale dx de matière [191] : S ρ =− 1 ρ dE dx. (1.1)
Son unité est donnée en cm2M eV
g . Notons, de plus, que dEdx définit le pouvoir d’arrêt linéique. Le pouvoir d’arrêt massique d’un milieu composé de plusieurs éléments chimiques est déterminé à l’aide de leurs fractions massiques ωj et de leurs pouvoirs d’arrêt massique respectifs
S ρ j : S ρ = X j ωj S ρ j . (1.2)
1.4.1 Pouvoir d’arrêt nucléaire
Le pouvoir d’arrêt nucléaire correspond à la perte d’énergie du proton, induite par les inter- actions coulombiennes élastiques ou semi-élastiques avec les noyaux de la matière, en tenant compte de l’effet d’écran que réalisent les électrons de cet atome [191]. Cette perte d’énergie est bien souvent mineure (voir figure 1.4) par rapport au pouvoir d’arrêt collisionnel décrit au §1.4.3. Le pouvoir d’arrêt nucléaire est usuellement obtenu par le calcul de la section efficace relative aux diffusions élastiques et à l’énergie de recul transférée au noyau [191].
Depuis peu, des études s’intéressent à l’utilisation du pouvoir d’arrêt nucléaire pour implémen- ter un algorithme de diffusion coulombienne multiple (DCM) [187, 192]. Le pouvoir d’arrêt nucléaire linéique est exprimé par :
T = dθ 2
dx, (1.3)
avec dθ2 la variation moyenne de la variance des angles issus de la DCM.
Généralement, les algorithmes de transport de particules chargées par techniques Monte Carlo prennent en compte cet effet de manière condensée par la diffusion coulombienne multiple [8,
193]. Néanmoins, pour une modélisation des impacts des radiations sur l’ADN et sur les molécules du cytoplasme, il peut être nécessaire de considérer la diffusion à l’échelle de la molécule comme le réalise Geant4-DNA [194,195]. La micro et la nano dosimétrie ne sont pas étudiées dans ce travail qui s’attarde à la macro et la méso dosimétrie.
1.4.2 Pouvoir d’arrêt radiatif
Comme mentionné au §1.3et comme en témoignent les figures 1.4et1.3, seuls les électrons et les positrons sont suffisamment légers pour générer du rayonnement de freinage en quantité significative.
Figure 1.3 – Pouvoir d’arrêt massique total, collisionnel et radiatif des électrons dans l’eau, extrait de Berger et al. [196].
Figure 1.4 – Pouvoir d’arrêt massique total, collisionnel et nucléaire des protons dans l’eau, extrait de Berger et al. [196].
Le taux de production varie à l’inverse du carré de la masse de la particule considérée : S ρ rad = σ0NAZ 2 A E + m0c 2 B r, (1.4)
avec σ0 = 1371
e2 mec2
= 5.80 × 10−28cm2/atome, E est l’énergie cinétique de la particule en MeV, Br est une grandeur sans dimension dépendant du numéro atomique Z et de E. Les valeurs approximatives sont [189] :
- Br= 163 pour T << 0.5 MeV, - Br= 6 pour T = 1 MeV, - Br= 12pour T = 10 MeV, - Br= 15pour T = 100 MeV.
1.4.3 Pouvoir d’arrêt collisionnel
Le formalisme associé au pourvoir d’arrêt collisionnel fut d’abord développé par Bethe en 1933 avec un développement perturbatif au premier ordre en mécanique quantique et sous l’approximation de Born [197]. Des développements additionnels ont été réalisés par Barkas et Bloch afin de tenir compte des limites de cette approximation au terme du premier ordre [198,
199]. Ces termes d’ordres supérieurs deviennent significatifs pour des ions de faible vitesse [191]. Le pouvoir d’arrêt collisionnel s’exprime :
S ρ col = N Z Z Temax H T0 dσ dT0 col dT0, (1.5) où, - dσ
dT0 est la section efficace différentielle pour les collisions inélastiques résultant d’une énergie transférée T0,
- N est le nombre d’atomes par gramme,
- T0 est l’énergie transférée à l’électron de l’atome, - H = Tmax e I 2mec2β2 2
est l’énergie minimale d’éjection d’un électron, avec I le potentiel d’excitation moyen du matériau, mec2 l’énergie de masse de l’électron, β = vc où v est la vitesse de la particule et c celle de la lumière dans le vide,
- Tmax e découle de l’équation 1.6: Temax= 2mec 2 γ2− 1 1 + 2γme M + me M 2; (1.6)
avec M la masse du projectile chargé. Tmax
e = T2 pour l’électron et elle est prise à Temax = T pour un positron [200]. γ représente le facteur de Lorentz et on a notamment les relations suivantes :
τ = T
M c2,
γ = τ + 1, (1.7)
β2γ2 = γ2− 1, avec T étant l’énergie cinétique du projectile chargé.
Potentiel moyen d’excitation
Le potentiel moyen d’excitation I est aussi nommé énergie moyenne d’excitation. Cette quan- tité dépend seulement des propriétés du milieu. Elle est bien souvent déduite de données expérimentales par la mesure des pouvoirs d’arrêt ou par l’interaction des photons avec la matière [191]. La première méthode est moins précise car elle nécessite la détermination si- multanée des termes correctifs de Barkas et de Bloch. En revanche, avec les données expéri- mentales issues de l’interaction photon matière, on détermine avec une plus grande précision la valeur de I. Néanmoins, le nombre de matériaux pour lesquels ces données sont accessibles est limité [191].
Pour les gaz, le potentiel moyen d’excitation est obtenu à l’aide de l’expression [191,201,202] : ln I = R∞ 0 df dEln (E) dE R∞ 0 df dEdE , (1.8) où df
dE est la loi de densité de probabilité du dipôle oscillateur des transitions du système atomique par unité d’énergie d’excitation E. Cette grandeur est proportionnelle à la section efficace de photo-absorption [191,201].
Pour les matériaux en phase condensée, on a la formule analogue [191,201] : ln I = 2 πω2 p Z ∞ 0 ωIm −1 (ω) ln h 2πω dω. (1.9)
On a (ω) qui est le nombre complexe correspondant à la permittivité du diélectrique, ω la pulsation et h
2πωp est l’énergie plasma en eV : h 2πωp = s h2e2n e meπ = 28.816pρZ/A, (1.10)
avec e la charge élémentaire et ne la densité électronique.
Les équations 1.8 et 1.9 témoignent du fait que le potentiel d’ionisation correspond à la moyenne géométrique de tous les potentiels d’ionisations et d’excitations d’un atome consti- tuant le milieu absorbant [189].
Pour les milieux composés de différents éléments chimiques, les données expérimentales sont souvent manquantes pour pouvoir extraire le potentiel moyen d’excitation du milieu. Néan- moins, la règle d’additivité de Bragg est une alternative simple qui permet de déduire sa valeur en se basant sur les potentiels d’ionisations des éléments chimiques constituant le mi- lieu [191,201] : ln I = P jωjAZjjln Ij P jωj Zj Aj . (1.11)
Ici, ωj correspond à la fraction massique de l’élément j, Zj est son numéro atomique, Aj son nombre de masse et Ij son potentiel moyen d’excitation.