1.5.1 Pouvoir d’arrêt collisionnel pour les électrons et les positrons
Pour les électrons et les positrons, le pouvoir d’arrêt collisionnel provient respectivement des sections efficaces de Møller et de Bhabha. il s’exprime [200] :
dE dx col = 2πre2mec2ne 1 β2 ln τ2(τ + 2) 2 (I/mec2)2 + F±(τ )− δ , (1.12) où : - re= e 2
4π0mec2 est le rayon de l’électron, - ne est la densité électronique du milieu, - β = v
c avec v la vitesse de la particule et c celle de la lumière dans le vide, - τ = T
mec2 avec T l’énergie cinétique de la particule,
- F−(τ )et F+(τ )pour les électrons et les positrons respectivement [200] :
F−(τ ) = 1− β2 1 + τ2/8− (2τ + 1) ln 2 , (1.13) F+(τ ) = 2 ln 2−β 2 12 23 + 14 τ + 2+ 10 (τ + 2)2 + 4 (τ + 2)3 , (1.14)
- δ prend en considération les effets de la polarisation.
Il est préférable de considérer le terme correctif relatif aux effets de polarisation en radiothé- rapie externe par faisceaux d’électrons, puisqu’il devient significatif à partir de 1 MeV [200]. Certains ouvrages incluent la correction du modèle en couches pour ces leptons [189]. Néan- moins, le rapport de l’ICRU 37 [200] préconise de ne pas tenir compte de cette correction pour les électrons et les positrons, car elle a été développée suivant l’hypothèse que le projectile est assimilable à un potentiel perturbatif dont le centre de masse se déplace à vitesse constante. Cette hypothèse est satisfaite pour les protons, mais elle est moins vraie pour les électrons. D’une manière générale, l’équation1.12est valide tant que l’énergie des leptons est supérieure à 10 keV d’après les estimations de l’ICRU [200].
1.5.2 Pouvoir d’arrêt collisionnel pour les ions
Avec la correction du modèle en couches, de l’effet de la polarisation et les corrections d’ordres supérieurs en Z, on obtient le pouvoir d’arrêt collisionnel pour les ions :
dE dx col = 2πre2mene Z2 β2 " ln 2me γ 2− 1 Tmax e I2 ! − 2β2+ CL # , (1.15)
De plus , CLreprésente le terme des corrections : CL= 2 ZL1+ Z2L2− C Z − δ, (1.16) où,
- L1 et L2 sont les corrections de Barkas et de Bloch, - C est la correction du modèle en couche,
- δ est la correction des effets de polarisation.
Ainsi, le pouvoir d’arrêt collisionnel dépend du numéro atomique du matériau, de la nature de la particule, de sa vitesse, et du potentiel d’ionisation qui fournit les fortes variations avec le numéro atomique du matériau. En revanche, le pouvoir d’arrêt collisionnel est indépendant de la masse de la particule.
1.5.3 Termes correctifs de l’équation de Bethe et Bloch
Correction des effets de polarisation
Les atomes proches de la trace de la particule deviennent polarisés ; ce qui a pour effet de diminuer l’effet du champ de force coulombien et les effets correspondants sur les collisions molles. La fonction δ dépend de la composition et de la densité du milieu, ainsi que du para- mètre χ = log10(βγ) = ln(γ−1)4.606 [189]. Ce phénomène devient important à haute énergie, mais il peut être bien souvent négligé aux énergies de la protonthérapie. En effet, cette correction devient importante quand l’énergie cinétique de la particule est du même ordre de grandeur que son énergie de masse [191]. En ce qui concerne les protons, l’impact est de l’ordre de 1% sur le pouvoir d’arrêt collisionnel à partir de 500 MeV [191]. Pour des énergies inférieures, la correction du modèle en couches est prépondérante [200].
Pour obtenir la correction des effets de polarisation d’un milieu constitué de différents éléments chimiques, la règle de Bragg peut être utilisée en première approximation [189] :
δ = P jωjZjAjδj P jωjZjAj . (1.17)
Ici, ωj correspond à la fraction massique de l’élément j, Zj est son numéro atomique, Aj son nombre de masse et δj sa correction de polarisation.
Dans Geant4, la correction de polarisation est paramétrique en fonction de χ [133]. Elle est indépendante de la nature de la particule, mais elle dépend de l’état du milieu, condensé ou gazeux, ainsi que de son potentiel moyen d’excitation.
Correction des effets du modèle en couches
L’équation 1.5 de Bethe et Bloch a été développée sous l’approximation de Born, estimant que la vitesse du projectile chargé est supérieure à celle des électrons du cortège atomique.
Quand la vitesse de la particule cesse d’être beaucoup plus élevée que celle des électrons des cortèges électroniques atomiques du milieu, le pouvoir d’arrêt collisionnel est sur-estimé et on se trouve dans les limites de validité de l’hypothèse de Born. Les électrons de la couche K sont les plus affectés, car leur vitesse est supérieure à celle des couches plus profondes. La grandeur C
Z corrige cet effet et elle est indépendante de la nature de la particule. Cette correction augmente à basse énergie, avec les ions plus massifs et avec la densité électronique du matériau [133]. La correction des effets du modèle en couches est donnée par [133,191,200]
C =X j Cj(θj, ηj) avec j = K, L, M, N..., θj = Jj j et ηj = β αZj 2 (1.18)
où Jj est l’énergie d’ionisation de la couche j, j est son énergie d’ionisation de Bohr, et Zj est sa charge effective. Les termes correctifs pour les couches K et L (CK et CL) sont déterminés analytiquement, théoriquement à l’aide des fonctions d’ondes non-relativistes de l’atome d’hydrogène [200]. L’erreur associée à cette estimation est mineure pour la couche K, mais elle est un peu plus importante pour la couche L [200]. Pour les couches j appartenant aux couches M, N et O-P on a :
Cj = VjCL(θj, HjηL) avec Hj = Jj JL et Vj = ηj ηL , (1.19)
avec Vj qui correspond à un facteur de mise à l’échelle proportionnel au nombre d’électrons présents sur la couche.
Correction de Barkas
En 1956, Barkas et al. remarquèrent que les pions positifs possèdent une portée moindre dans la matière que les pions négatifs à vitesse égale [198]. La correction de Barkas permet de prendre en considération cette différence de parcours à vitesse égale entre deux particules de charge opposée. Elle est donc proportionnelle au cube de la charge du projectile [191]. La forme originelle de l’équation de Bethe ne prend pas en considération cet effet, puisqu’elle utilise un développement perturbatif au premier ordre [191]. En 1972, Ashley et al. élaborèrent la première théorie : L1(β) = γFA bx−12 Z12x32 avec x = β 2 Zα2. (1.20)
Le facteur γ vaut approximativement √2 et provient du modèle de gaz d’électrons libres ; b est un paramètre d’impact minimum de mise à l’échelle, tabulé dans [133, 191] ; les valeurs de FA sont également tabulées [203,204]. En 1990, Bichsel a extrait les corrections de Barkas des pouvoirs d’arrêt mesurés expérimentalement et il a trouvé que, pour les atomes de numéro atomique élevé, la correction s’exprimait mieux par la formule empirique :
L1(β) = g1β−2g2, (1.21)
La correction de Barkas devient significative (plusieurs pourcents) pour des propagations dans des milieux de Z élevé et à basse énergie pour des particules de charge opposée, ayant la même vitesse en se propageant dans un milieu identique.
Correction de Bloch
La théorie du pouvoir d’arrêt de Bloch a été réalisée sans l’approximation de Born au premier ordre. Elle consiste en l’insertion du terme Z2L
2 au sein de la formule de Bethe [191,199] : Z2L2(β) =−y2 ∞ X n=1 n n2+ y2−1 avec y = Zα β. (1.22)
Ici α = 1/137.036 est la constante de structure fine. Dans la limite de y petit on a [191] : Z2L2(β) =−y2 1.20206− y2 1.042− 0.8549y2+ 0.343y4 , (1.23) et on peut même le négliger [200]. Pour y grand il devient :
Z2L2(β) =−0.577 − ln y, (1.24)
permettant la jonction avec la théorie classique de Bohr (1913) [191,200].
Conclusion La conséquence des corrections de Barkas et de Bloch résulte du fait que le ratio des pouvoirs d’arrêt des particules alphas et des protons n’est pas exactement de 4 ; il est en réalité plus grand [191]. Pour les protons, les corrections de polarisation, de Barkas et de Bloch sont une faible proportion du pouvoir d’arrêt [200]. La correction du modèle en couches est en revanche significative à basse énergie, en dessous de quelques MeV [200].