Étant donné l’énoncé « x est m! Pik », la solution retenue consiste à déterminer de façon
simple et systématique la fonction d’appartenance de la propriété m! Pik en fonction de celle
de Pik par une opération simple de translation et de contraction (ou dilatation suivant les con-
ditions). Deux notions doivent alors être précisées, à savoir : 1. la direction de la translation ;
2. l’amplitude de la modification qui va dépendre : de l’amplitude de la translation et de l’amplitude de la contraction.
4.1. Propriétés d’un opérateur
Avant de détailler l’application d’un modificateur, nous posons deux définitions concer- nant, pour un ensemble donné d’opérateurs, les caractéristiques d’un opérateur par rapport aux autres.
Définition I.3.1 : La distance (ou éloignement) d! " d’un opérateur o! par rapport à l’opérateur o" dans un ensemble d’opérateurs E est définie par : d!" = #! - "#.
Définition I.3.2 : Deux opérateurs o! et o" sont symétriques par rapport à l’opérateur o( dans un ensemble d’opérateurs E si (! = " = () ou (! ) " et d!( = d"().
4.2. Direction de la translation
La direction de la translation dépend du signe de la propriété (comportement de la fonction
Définition I.3.3 : Le signe de Pik (+1, -1 ou 0) est celui de la direction suivie par les fonc-
tions d’appartenance de m! Pik où m! $ MP et ! allant de 1 à P par rapport à la variable du
domaine.
Définition I.3.4 : Une propriété Pik est dite positive si son signe est +1. Elle est dite néga-
tive si son signe est -1 et neutre si le signe est 0.
Exemple : Pour le concept concernant la longueur de la configuration, nous avons : « important » * +1 (positive), « faible » * -1 (négative) et « moyen » * 0 (neutre).
Définition I.3.5 : Le signe d’un modificateur m!, noté signe(m!), est défini dans MP comme-suit : signe(ma) = 0 si ma = Ø, signe(m!) = +1 si ! > a et signe(m!) = -1 si ! < a.
Définition I.3.6 : On peut maintenant définir la direction de translation d’une propriété m! Pik par rapport à Pik, notée Direction(Pik) et calculée selon les règles classiques de l’arithmétique : Direction(m! Pik) = signe(m!) * signe(Pik) $ {-1, 0, +1}.
Exemples :
• « x est très important » : Direction(très important) = signe(très) * signe(important) = +1 * +1 = +1 ;
• « x est très faible » : Direction(très faible) = signe(très) * signe(faible) = +1 * -1 = -1. Remarques :
• Le signe de la propriété élémentaire est celui de la direction de translation. Autrement dit, le signe de « très important » est +1.
• Ces définitions sont fidèles aux travaux linguistiques sur les catégories sémantiques pré- sentées au chapitre I.1.
4.3. Amplitude de la modification
Après la direction de la modification, nous allons déterminer l’amplitude de la modifica- tion de la propriété élémentaire m! Pik par rapport à Pik. Elle comprend une amplitude de translation et une amplitude de contraction ou de dilatation. Ces modificateurs dépendent d’une caractéristique du concept (plutôt des propriétés qui sont associées) que nous nomme- rons la symétrie linguistique.
4.3.1 Symétrie linguistique
Définition I.3.7 : La symétrie linguistique d’une propriété est déterminée par son compor- tement vis à vis de l’application de deux modificateurs symétriques par rapport à « Ø » dans
Il existe deux symétries linguistiques pour une propriété :
• la symétrie (comme la propriété du concept de placement « à gauche », Figure 15a) ; • l’asymétrie (comme la propriété du concept de taille « grand », Figure 15b).
Très à gauche Très peu à gauche Très peu grand Petit Très grand A droite a) b)
Figure 15. Symétrie et asymétrie des propriétés
Définition I.3.8 : Une propriété symétrique (Figure 16) est une propriété dont les amplitu- des de contraction et de translation sont identiques pour deux modificateurs dont la position
est symétrique par rapport à « Ø » dans MP.
0 1 Extrêmement peu Très peu Assez peu Assez Très Extrêmement
Figure 16. Modificateurs appliqués de la propriété de base symétrique « faible »
Définition I.3.9 : Une propriété asymétrique (Figure 17) est une propriété dont les ampli- tudes de contraction et de translation ne sont pas identiques pour deux modificateurs dont la
position est symétrique par rapport à « Ø » dans MP.
0 1 Extrêmement peu Très peu Assez peu Assez Très Extrêmement
Remarques :
• En particulier, pour celui placé avant le modificateur vide, on opère une dilatation. De plus, la translation est beaucoup plus importante que pour celui placé après (Cf. Figure 17).
• [DeP96a] propose seulement des solutions symétriques alors que [DeP97b] propose des solutions asymétriques. En fait, nous venons de montrer qu’il est possible de rencontrer les deux situations. Notons qu’ici, et contrairement à [DeP97b], l’asymétrie est due à la sémantique de la propriété utilisée et non aux modificateurs.
4.3.2 Détermination des amplitudes
Définition I.3.10 : L’amplitude de translation de la propriété élémentaire m! Pik par rap- port à Pik vaut 0 pour m! = mø = Ø et croît avec la distance d!ø de m! par rapport à Ø dans MP.
Sa valeur dépend aussi de la sémantique de la propriété Pik (en particulier de sa symétrie).
Définition I.3.11 : L’amplitude de la contraction ou de la dilatation de la propriété élé-
mentaire m! Pik par rapport à Pik est nulle pour m! = mø = Ø et croît en fonction de la distance
d!ø de m! par rapport à Ø dans MP. Lorsque la propriété est symétrique, il y a contraction. Par
contre, quand elle est asymétrique, il y a dilatation d’un côté et contraction de l’autre. De plus,
cette amplitude est proportionnelle à la taille du support de Pik.
Remarques :
• En général, la dilatation a lieu pour les modificateurs m! négatifs et la contraction pour
les positifs.
• Contrairement à [Chau94b] pour qui les propriétés neutres ne subissent aucune modifi- cation de la part des opérateurs, nous considérons qu’elles subissent malgré tout une contraction. En effet « très moyen » indique des valeurs plus proches de la valeur cen- trale que « moyen » si, bien sûr, cette dernière est considérée comme modifiable.
4.4. Bilan sur le traitement d’une propriété élémentaire
Nous avons vu que le modificateur m! et la propriété de base Pik interviennent aussi bien
dans la direction de translation que dans l’amplitude de la modification. Afin de représenter ces participations, nous avons introduit un coefficient de modification, un coefficient de
translation élémentaire et un coefficient d’asymétrie.
Définition I.3.12 : Le coefficient de modification k! d’un modificateur m! est un entier re-
latif tel que : signe(k!) = signe(m!), k!=0 pour m!=Ø et #k!# est proportionnelle de la dis-
En pratique, pour M7={extrêmement peu, très peu, assez peu, Ø, assez, très, extrêmement},
nous avons choisi K(M7) ={-6, -2, -1, 0, 1, 2, 6}. Ces valeurs semblent assez conformes aux
sémantiques relatives des différents modificateurs (définitions I.3.5, I.3.10, I.3.11 et I.3.12).
Elles permettent une distribution satisfaisante des propriétés m! Pik sur le domaine.
Définition I.3.13 : Le coefficient de translation élémentaire +ik d’une propriété Pik est un réel tel que : signe(+ik) = signe(Pik), +ik=0 pour une propriété neutre et #+ik#est liée à la séman- tique de la propriété.
Définition I.3.14 : Le coefficient d’asymétrie linguistique ,ik d’une propriété Pik est un réel tel que :
• ,ik = 0 si la propriété est symétrique ;
• ,ik ) 0 si la propriété est asymétrique avec signe(,ik) indiquant la direction sur laquelle
s’applique ce coefficient par rapport au signe de la propriété de base ;
• #,ik#est liée à la sémantique de la propriété.
Ce coefficient d’asymétrie linguistique s’applique avec le coefficient de modification seu- lement lorsqu’il est différent de 0.
Concernant les valeurs #+ik# et #,ik#, l’annexe 3 propose des règles pour aider à leur dé-
termination en fonction des caractéristiques attendues de la propriété et un exemple de calcul pour quelques cas de propriétés de base.
Sachant que Pik = {Di, <!ik,aik,bik,"ik>, Lik, Rik, +ik, ,ik}, pour « x est m! Pik », on a : • la direction de translation : signe(k!) * signe(+ik) (définition I.3.6) ;
• l’amplitude de translation : #k!*,ik*+ik# ou #k!*+ik#(définition I.3.10) ;
• l’amplitude de la contraction : #k!#* (bik-aik)*10% sur le noyau et#k!#*10% sur la par-
tie floue (définition I.3.11) ;
• l’amplitude de la dilatation : ,ik*k!*(bik-aik)*10%sur le noyau et ,ik*k!*10% sur la partie floue (définition I.3.11).
Remarque : Nous appelons partie floue de Pik l’ensemble défini à partir du noyau et du
support telle que PartieFloue(Pik)=Support(Pik)-Noyau(Pik) soit {d $ Di : 0 < µPik(d) < 1}. Nous avons donc : m! Pik = {[Bm,BM]u, <!’ik, a’ik, b’ik, "’ik>, Lik, Rik, +ik, ,ik} Avec : si (+ik ) 0) et (,ik ) 0) et (Signe(k!) = Signe(,ik))
{fortes translation et dilatation} alors
sinon
{translation classique et contraction } !’ik = !ik*(1 + ,ik*k! * 10%) ; "’ik = "ik*(1 + ,ik*k! * 10%) ; a’ik = aik + k!*#,ik#*+ik - ,ik k! *10%( bik - aik)/2 ; b’ik = bik + k!*#,ik#*+ik + ,ik k! *10%( bik - aik)/2 ; !’ik = !ik * (1 - #k!#* 10%) ; "’ik = "ik * (1 - #k!#* 10%) ; a’ik = aik + k!*+ik + #k!# *10%( bik - aik)/2 ; b’ik = bik + k!*+ik - #k!# *10%( bik - aik)/2 ;
Remarques :
• Sur l’ensemble des exemples traités, cette transformation rend compte de façon satisfai- sante de la modification d’une propriété positive (« très important ») ou négative (Figure 18 : « très faible ») par une translation, de l’asymétrie linguistique des propriétés. Il traite aussi l’application d’un modificateur sur une propriété neutre comme « très moyen » où seule la contraction est présente.
• Le coefficient de 10% utilisé pour ces transformations a été choisi intuitivement en fonction des résultats obtenus.
0 1
normalement faible très faible
Figure 18. Application du modificateur « très » à la propriété de base « faible »
Exemple : La Figure 19 montre deux solutions possibles lorsqu’on applique successive- ment les descriptions suivantes :
(a) « Le nombre de verticales est faible » ;
(b) « La longueur de recouvrement est très importante » (alors que nous constatons qu’en (a) elle est « extrêmement importante ») + « Le nombre de verticales est faible ».
a) b)
Figure 19. Scènes vérifiant d’abord une (a) puis deux (b) propriétés élémentaires demandées par l’utilisateur
Rappels ([Paj94]) : Le degré de recouvrement en un point d’une ligne de projection est « égal au nombre de segments pour lesquels le point est inclus dans la projection ». La lon- gueur de recouvrement est « le nombre de degrés de recouvrement supérieurs ou égaux à 1 ».