De la Terre à la carte : principes généraux

Représenter la surface terrestre sur un plan n'est pas un tâche triviale. En eet, la terre présente une forme irrégulière, soumise de surcroit à des dynamiques importantes. Ainsi, la représentation d'une "gure de la Terre" dans un plan suppose d'entreprendre un cer-tain nombre de simplications. Nous allons présenter dans cette section les principales formes d'approximation de la surface terrestre utilisées par les cartographes, permettant le calcul des coordonnées des lieux des objets géographiques. Nous nous intéresserons plus particulièrement aux coordonnées planes, impliquant la mise en ÷uvre de projections

car-3.1. Projection cartographique Représentation de la surface terrestre

La détermination d'une gure représentative de la surface de la terre constitue l'une des tâches classiques de la discipline géodésique. Comme nous l'avons déjà précisé, la surface terrestre présente une forme irrégulière, et plusieurs modèles permettant de la représenter peuvent être utilisés (comme le Géoïde, l'Ellipsoïde ou encore le Topoïde), leur pertinence variant selon la discipline étudiée. L'un de ces modèles de représentation fait davantage oce de gure de la Terre que les autres, il s'agit du Géoïde.

Le geoïde Le géoïde correspond à une surface équipotentielle du champ de gravité ter-restre, c'est à dire où le potentiel de pesanteur est constant. An d'approximer au mieux la surface de la terre, le géoïde est déni selon un potentiel de gravité proche du niveau moyen des mers. Ce modèle de représentation ore l'avantage d'associer des propriétés physiques à une forme géométrique représentant la surface terrestre. Ainsi, le géoïde sert généralement de référence pour les mesures précises d'altitude, ainsi que dans de nombreuses applica-tions, comme l'hydrologie ou l'aéronautique. Cependant, le géoïde n'est pas une surface régulière (cf. gure 3.1), du fait de l'inégale répartition des masses à l'intérieur et à la surface de la terre. Ainsi, dans de nombreuses disciplines (comme la cartographie), une représentation mathématique permettant d'approximer la surface terrestre lui est souvent préférée, l'ellipsoïde de révolution.

Figure 3.1  Représentation exagérée du géoïde terrestre

L'ellipsoïde L'ellipsoïde de révolution est un modèle mathématique se présentant comme une sphère aplatie au niveau de ses pôles. Il est déni par la taille de son demi-grand axe et de son demi-petit axe (cf. gure 3.2). A l'inverse du géoïde, l'ellipsoïde présente une forme régulière, ce qui constitue une approximation conséquente de la surface terrestre, mais beaucoup plus facilement manipulable.

Figure 3.2  Un ellipsoïde déni par son demi-grand axe et son demi-petit axe Pour représenter la surface terrestre, un grand nombre d'ellipsoïdes sont en usage, comme les ellipsoïdes de Clarke 1880, Hayford 1909, ou encore IAG-GRS80 (cf. gure3.3). Le choix de l'ellipsoïde est généralement guidé de manière à ce que celui-ci approxime du mieux possible le géoïde terrestre. Par exemple en France, l'ellipsoïde Clarke 1880 a longtemps été utilisé, puisqu'il permettait de bien approximer localement le territoire métropolitain. Il a été remplacé en 2000 par l'ellipsoïde IAG-GRS80, an d'être compatible avec le système GPS. Enn, on diérencie les ellipsoïdes globaux, dénis an de représenter l'ensemble de la surface terrestre (comme l'IAG-GRS80), des ellipsoïdes locaux, dénis an de représenter au mieux une région d'intérêt.

Figure 3.3  Dimensions des ellipsoïdes Clarke 1880, Hayford 1909, et IAG-GRS80 Ainsi, le choix d'un ellipsoïde permettant d'approximer du mieux possible la surface ter-restre constitue un préalable indispensable au calcul des coordonnées, qui permettront la saisie de la géométrie des objets géographiques, ainsi que les mesures géométriques de

3.1. Projection cartographique Calcul de coordonnées

Pour pouvoir calculer les coordonnées des points constituant la géométrie des objets géo-graphiques, on utilise généralement des coordonnées dites planes (qui supposent que la surface de la terre soit localement plane, mais pas les objets localisés sur cette surface). Le calcul de coordonnées planes suppose d'associer un système de référence terrestre à l'ellipsoïde dans un premier temps, puis une projection cartographique dans une deuxième temps.

Système de référence Un système de référence terrestre est un repère cartésien tridi-mensionnel (O, x, y, z), déni par la position de son centre O et l'orientation de ses trois axes orthonormés Ox, Oy et Oz (cf. gure3.4). Chaque point est ici localisé par ses coor-données cartésiennes, c'est-à-dire un triplet de coorcoor-données (X,Y,Z). Historiquement, de nombreux systèmes de référence terrestres ont été crées en fonction des besoins locaux.

Figure 3.4  Calcul de coordonnées cartésiennes dans un système de référence terrestre Le datum géodésique est déni en associant un ellipsoïde au système de référence ter-restre. Pour les systèmes globaux (ou géocentriques), le datum géodésique est constitué des paramètres de l'ellipsoïde, de la position du centre de l'ellipsoïde par rapport au centre de masse de la terre, de l'orientation des axes de l'ellipsoïde, et du méridien d'origine. Pour les systèmes locaux, les mêmes paramètres sont utilisés, en y ajoutant le point fondamental, c'est-à-dire le point où l'ellipsoïde tangente le géoïde.

En France Métropolitaine, le système de référence géodésique ociel est le RGF93, basé sur l'ellipsoïde IAG-GRS80, avec comme méridien d'origine le méridien de Greenwich. Il a succédé en 2001 au système NTF (Nouvelle Triangulation de la France), basé sur l'ellip-soïde Clarke 1880-IGN, avec comme point fondamental la croix du Panthéon, et le méridien de Paris comme méridien d'origine.

L'association d'un ellipsoïde à un système de référence rend possible le calcul des coordon-nées géographiques de tout point de la surface terrestre. Les coordoncoordon-nées géographiques sont exprimées en valeurs angulaires par la latitude φ et la longitude λ, ainsi que par une hauteur ellipsoïdale h (cf. gure3.5).

Figure 3.5  Principe de calcul de coordonnées géographiques

An de passer à une représentation plane de la surface terrestre, et ainsi permettre le calcul des coordonnées planes, il convient d'associer au système de référence et à l'ellipsoïde une projection cartographique. En eet, il est mathématiquement beaucoup plus simple de calculer une distance sur un plan que sur une surface mathématique courbe, même si celle-ci est régulière. Nous allons donc exposer par la suite les princelle-cipes généraux qui régissent la projection de tout ou partie de l'ellipsoïde de révolution dans un plan. Les diérents types de projections cartographiques et leurs impacts y seront notamment exposés. Projection cartographique

La représentation de toute ou partie de la surface terrestre sur une carte nécessite l'adop-tion d'une transformal'adop-tion permettant de passer de l'ellipsoïde à un plan. D'un point de vue mathématique, il s'agit donc de déterminer un couple de fonction (f, g) permettant de passer des coordonnées géographiques (λ, φ) aux coordonnées planes (E, N), comme présenté dans l'équation3.1.

E = f (λ, φ), N = g(λ, φ) (3.1)

Diérentes projections cartographiques peuvent donc être utilisées an de représenter un même ellipsoïde sur un plan. Ces projections peuvent être classiées selon le type de dé-formations et selon le type de projection.

Types de déformations L'ellipsoïde n'est pas une surface développable. Cela signie que la projection de l'ellipsoïde sur une surface plane le déforme nécessairement (Snyder,

1987). D'un point de vue mathématique, il n'est donc pas possible de construire une projec-tion qui conserve à la fois les angles et les surfaces. Il est par contre possible de construire des projections :

 qui conservent les angles : les projections conformes,  qui conservent les surfaces : les projections équivalentes,

3.1. Projection cartographique

Pour visualiser ces déformations, l'indicateur de Tissot est généralement utilisé. Cet in-dicateur est construit à partir d'un cercle tracé sur la surface terrestre, dont on étudie l'homologue dans le plan suite à la projection. Dans le cas d'une projection équivalente, le cercle projeté est transformé en ellipse de même surface que le cercle initial. Dans le cas d'une projection conforme, le cercle projeté demeure un cercle, de surface diérente. Ce dernier cas de gure est illustré dans la gure3.6avec l'exemple de la projection cylindrique conforme de Mercator, à laquelle est associée un indicateur de Tissot.

Figure 3.6  Projection cylindrique conforme de Marcator et indicateur de Tissot, d'après

Sillard (2000)

Types de projections Pour pouvoir passer à une représentation plane, l'ellipsoïde doit être projeté sur une surface développable, c'est à dire une surface qui peut être étalée sans déformation dans le plan. Pour cela, on utilise généralement trois formes mathématiques courantes qui répondent à ce critère, à savoir le plan, le cylindre et le cône, ce qui donne lieu aux trois types principaux de projections suivants :

 les projections cylindriques, où l'ellipsoïde est projeté sur un cylindre (tangent en un cercle ou sécant en deux cercles),

 les projections coniques, où l'ellipsoïde est projeté sur un cône (tangent en un cercle ou sécant en deux cercles),

 les projections azimutales, où l'ellipsoïde est projeté sur un plan (tangent en un point ou sécant en un cercle).

Il existe également des projections qui ne peuvent être classées dans aucun de ces types. Celles-ci sont appelées projections uniques.

En France Métropolitaine, la projection ocielle est la projection conique conforme Lam-bert93 (cf. gure3.7). Elle est associée au système géodésique français RGF93 et est sécante à l'ellipsoïde IAG-GRS80 aux parallèles 44N et 49N. Pour minimiser localement les er-reurs impliquées par la projection Lambert93, les projections Lambert Coniques Conformes 9 zones ont également été créées. La projection Lambert93 a remplacé les projections co-niques conformes Lambert quatre zones (et la projection Lambert II étendu) associées au système de référence NTF, et sécantes à l'ellipsoïde Clarke 1880-IGN.

Figure 3.7  Projections Lambert 93 et Coniques Conformes 9 zones

Comme nous pouvons le voir, le choix de la projection utilisée an de représenter la surface de la Terre sur une carte génère des déformations qui impactent soit les angles, soit les surfaces, soit les deux. Dans tous les cas de gures, les projections ne préservent jamais les distances. Cette observation s'avère donc fondamentale dans le cadre de ce travail de thèse, d'autant plus qu'en France, les projections coniques conformes sont utilisées par convention. Ces projections ne préservent donc ni les mesures de longueur, ni les mesures de surface. Cependant ces projections conservent les angles, ce qui demeure très pratique, puisque de nombreux processus de saisie sont basés sur des mesures d'angles. Nous allons voir dans la section suivante comment estimer l'impact de la projection cartographique sur les mesures géométriques.