L'approximation polygonale et son impact

Nous allons présenter dans cette section le principe d'approximation polygonale, et sa par-ticularité dans le cadre des bases de données géographiques vectorielles. Nous évoquerons ensuite son impact sur les mesures géométriques de longueur et identierons des solutions permettant de l'estimer.

3.3.1.1 L'approximation polygonale des courbes : principe général

Dénition générale Garnesson et Giraudon(1992) dénissent l'approximation polygo-nale comme l'opération qui consiste à transformer une chaine de points connexes en une suite de segments de droite. L'approximation polygonale est une étape classique en vi-sion par ordinateur, si les caractéristiques géométriques des objets doivent être prises en compte. L'objectif d'une opération d'approximation polygonale est de réduire la quantité d'information (et donc le volume des chiers) an de ne conserver que le nécessaire pour la compréhension d'un phénomène ou son traitement. De nombreuses méthodes permettent de procéder à une opération d'approximation polygonale, comme l'algorithme Dunham

La gure3.30permet d'illustrer l'algorithme deWall et Danielsson(1984). Cet algorithme a pour objectif de créer une ligne polygonale à partir d'une courbe, en minimisant les aires inscrites entre elles.

Figure 3.30  Illustration de l'algorithme deWall et Danielsson (1984)

Particularité des objets géographiques Les objets géographiques vectoriels sont eux, par dénition, aectés par ce principe d'approximation polygonale. En eet, les primi-tives linéaires et surfaciques, sont, dans l'extrême majorité des cas, construites à partir de points reliés entre eux par des segments de droites. Toutefois, la géométrie des ob-jets géographiques vectoriels peut également être construite à partir de points reliés par des courbes plus complexes, comme des courbes de Bézier ou des splines (Bonin, 2002), qui permettraient de représenter de manière plus réaliste les entités courbes. Cependant ceci n'est généralement pas le cas pour diérentes raisons. Comme nous l'avons exposé, la modélisation géométrique des objets vectoriels est réalisée classiquement sous forme de lignes polygonales an de répondre à des exigences en termes de capacité de stockage, et de facilité de traitement. De plus, la majorité des logiciels SIG ne prend pas en compte la modélisation de la géométrie des objets vectoriels sous forme de courbes polynomiales, au contraire des logiciels de DAO. Ainsi, la géométrie des objets géographiques vectoriels est systématiquement aectée par l'approximation polygonale, qui, comme nous allons le voir, impacte les mesures géométriques, en particulier lorsque l'entité représentée est une courbe (cf. gure 3.31).

Figure 3.31  Une route courbe du monde réel représentée par une ligne polygonale dans une base de données, d'après Bonin (2002)

3.3. Approximation polygonale des courbes

Impact sur les mesures géométriques L'approximation polygonale de la géométrie des objets vectoriels ne pose pas de problèmes lorsque les entités du monde réel à représen-ter sont rectilignes, ou présentent une angularité bien marquée. Les mesures géométriques calculées seront généralement bien préservées. Par contre, lorsque les entités du monde réel à représenter sont courbes, l'approximation polygonale sous-estime systématiquement les longueurs calculées, puisque par dénition, la corde (le segment de droite) est plus courte que l'arc (la courbe du monde réel).

Ainsi, l'approximation polygonale impacte directement les mesures de longueur calculées à partir de la géométrie des objets vectoriels. Ceci peut également être le cas pour les mesures de surface, mais nous ne les aborderons pas dans cette section. L'élaboration d'un modèle d'estimation de l'imprécision des mesures géométriques suppose donc de mettre en ÷uvre des méthodes permettant de modéliser l'impact de l'approximation polygonale, lorsque les objets évalués représentent des entités courbes du monde réel.

3.3.1.2 Degré d'approximation polygonale

Dans les bases de données géographiques vectorielles, l'opération d'approximation poly-gonale des entités courbes intervient lors du processus de production de la géométrie des objets géographiques, soit en saisie initiale, soit en post-traitement. C'est généralement l'opérateur de saisie qui dénit lui-même le degré d'approximation polygonale lors de la saisie des objets (dans le cadre de relevés photogrammétriques ou lors de la digitalisation manuelle de cartes ou de plans). Cependant, certaines méthodes automatiques peuvent également être utilisées, comme l'algorithme de Douglas et Peucker(1973), utilisé an de simplier une géométrie (en éliminant des points de la ligne initiale) tout en conservant sa forme générale. L'application de cet algorithme suppose l'existence d'une géométrie à sim-plier, provenant de relevés existants. On notera que l'application excessive de l'algorithme de Douglas-Peucker peut faire perdre la forme initiale de l'objet à représenter, comme cela a été souligné dans de nombreuses contributions (voir par exempleVisvalingam et Whyatt

(1991) et Mustière(2001)).

Granularité et degré d'approximation polygonale Le degré d'approximation poly-gonale des objets géographiques est étroitement conditionné par le niveau de détail géomé-trique de la base de données. En eet, pour satisfaire des exigences en termes de représen-tation, de volume de stockage, ou encore de facilité de traitement, la géométrie des objets vectoriels subit de nombreuses simplications, et ceci est particulièrement le cas pour la modélisation géométrique des courbes.

En eet, le niveau de détail géométrique peut être qualié par la granularité des objets géographiques, c'est-à-dire la taille des plus petites formes géométriques présentes dans la base de données (Ruas,2002;Vauglin,2002). La granularité se manifeste sur les distances entre points successifs d'une géométrie. Ces distances inter-points ont généralement ten-dance à diminuer lorsque le niveau de détail de la base de données augmente. Dans le cas de la représentation d'entités courbes, la granularité conditionne directement le réalisme de la modélisation par une ligne polygonale, puisque plus la granularité est importante, plus la distance entre points successifs diminue, et plus la polyligne approxime la courbe (en partant du principe que chacun des points est correctement positionné sur la courbe).

La gure3.32illustre l'impact du degré d'approximation polygonale d'un virage représenté par la BDTOPO et la BDCARTO. Outre les problèmes d'exactitude de position, on voit bien avec cette illustration que la distance entre points successifs impacte directement le réalisme de la modélisation du virage, et par conséquent la longueur du tronçon de route.

Figure 3.32  Impact de la granularité sur la représentation d'un virage par la BDTOPO (en rouge) et la BDCARTO (en bleu)

La granularité des objets géographiques se révèle donc être un indicateur pertinent pour caractériser le degré d'approximation polygonale des entités courbes. Comme nous avons pu le voir, ce degré d'approximation polygonale inuence directement le réalisme de la représentation des courbes, mais également la justesse de la mesure de longueur.

3.3.1.3 Solutions envisagées pour estimer son impact

Plusieurs contributions ont proposé des méthodes permettant de modéliser les erreurs de positionnement impliquées par la représentation des entités courbes (voir par exemple

Tong et al.(2003) etTong et Shi(2010)). Il est cependant délicat, à partir d'une géométrie existante, d'estimer l'impact de l'approximation polygonale d'une courbe sur les mesures géométriques, étant donné que le degré d'approximation varie en fonction du niveau de détail recherché, et de la forme des objets. Nous proposons donc une méthode d'estimation qui prend en compte ces deux caractéristiques de la géométrie des objets évalués.

Principe général Pour estimer l'impact de l'approximation polygonale, notre démarche consiste à mettre en ÷uvre des méthodes permettant de reconstruire une géométrie courbe réaliste à partir d'objets approximés sous forme de ligne polygonale (cf. gure 3.33).

Figure 3.33  Une entité courbe du monde réel (en gris), représentée sous forme de ligne polygonale (en noir), sur laquelle est reconstruite une géométrie courbe réaliste (en rouge)

3.3. Approximation polygonale des courbes

Pour cela, des méthodes d'interpolation polynomiale, comme les courbes de Bézier ou les splines, peuvent être exploitées. En utilisant cette approche, il nous sera possible d'estimer l'erreur de mesure géométrique conditionnée par l'approximation polygonale.

Problèmes rencontrés La mise en ÷uvre de cette méthode d'évaluation se heurte à deux dicultés principales. La première réside dans la recherche de méthodes d'interpola-tion numériques facilement implémentables et paramétrables an de permettre la recons-truction de géométries courbes réalistes. La seconde diculté liée à la reconsrecons-truction de géométries courbes réalistes fait référence aux objets, voire aux portions d'objets auxquelles appliquer ces méthodes. En eet, tous les objets d'une base de données ne représentent pas des entités courbes du monde réel, et par conséquent ne supposent pas une reconstruction de géométrie courbe. Par exemple, une même route peut être constituée de zones de virages et de zones à caractère rectiligne. Pour réaliser une reconstruction réaliste, nous devons chercher à appliquer une méthode d'interpolation uniquement sur les zones de virages, et non sur les zones rectilignes.

Nous proposerons donc dans la section suivante des méthodes permettant de reconstruire des géométries courbes réalistes, ainsi que des méthodes de sélection des objets sur lesquels les appliquer (cf. gure3.34).

Figure 3.34  Principe d'estimation de l'impact de l'approximation polygonale des courbes Cette étude sur l'impact de l'approximation polygonale des courbes sur les mesures géomé-triques ne sera ici traitée que sur les primitives géomégéomé-triques linéaires, et par conséquent sur les mesures de longueur. Pour l'illustrer, nous utiliserons des géométries extraites de la classe d'objets des tronçons de route.

Synthèse Section La représentation des entités courbes du monde réel dans une base de données géographiques implique une opération d'approximation po-lygonale, qui a pour conséquence de sous-estimer systématiquement les longueurs mesurées. Le degré d'approximation polygonale varie notamment en fonction du niveau de détail de la base de données. An d'estimer l'impact de l'approxima-tion polygonale sur les mesures géométriques de longueur, nous proposons une méthode basée sur la reconstruction des géométries courbes, par le biais de