Modèles relatifs aux mesures géométriques

Chrisman et Yandell(1988) ont proposé un modèle statistique sur l'eet des erreurs de po-sitionnement des sommets d'une géométrie polygonale sur le calcul d'aire. Ce modèle part de l'hypothèse que les sommets sont soumis à des erreurs indépendantes et identiquement distribuées. Cependant aucune hypothèse n'est formulée sur la nature de la distribution des erreurs (normale ou log-normale par exemple). Le modèle statistique permet de for-muler une estimation de la variance de l'aire A d'un polygone (calculée avec l'équation1.2). La variance de l'aire A est déterminée dans l'équation 1.12.

σ²_A= 0.5nσ²_xσ²_y(1 − ρ²) + 0.25 n X i=1 σ2 y(x_i+1− x_i−1)²− σ2 x(y_i+1− y_i−1)² − 0.5 n X i=1

ρσxσy(yi+1− y_i−1)(xi+1− x_i−1)

(1.12)

où :

 n est le nombre de sommets du polygone  σ2

x et σ2

y sont respectivement les variances en x et en y de l'erreur de localisation des sommets du polygone

 ρ est le coecient de corrélation des erreurs entre les coordonnées x et y

Prisley et al.(1989) ont également développé une expression de la moyenne et de la variance sur l'erreur de calcul d'aire d'un polygone.

Grith(1989) a lui aussi discuté du problème des erreurs de digitalisation sur les calculs d'aire et de longueur, en les exprimant sous forme matricielle, et en soulignant quelques pistes de recherches futures.

Kiiveri(1997) a également proposé un modèle général d'imprécision sur le positionnement, mais propose aussi une expression de l'imprécision en termes de mesures de longueur, de périmètre et d'aire.

Goodchild et al. (1999) ont également proposé un modèle basé sur des simulations, dédié aux utilisateurs de données géographiques an qu'ils puissent eux-même évaluer la variance de l'aire des polygones en fonction de l'imprécision de positionnement des sommets com-posant leur géométrie.

Plus récemment,Goodchild(2004) a proposé un cadre général d'analyse sur les erreurs de mesure dans les SIG, décomposé en quatres parties :

 modèles et lois de propagation d'erreurs de position,  intersections de points avec des polygones,

 intersections entre polygones,  mesures de longueur et de surface.

La modélisation de l'imprécision sur les mesures de longueur et d'aire est plus largement détaillée dansLeung et al. (2004).

1.3. Evaluation de l'imprécision géométrique des données géographiques

De Bruin et al.(2008) ont proposé un modèle permettant d'estimer l'imprécision des me-sures d'aire de parcelles agricoles saisies par GPS, an d'évaluer le manque à gagner des agriculteurs par rapport à des mesures d'aire réalisées sur des parcelles cadastrales sur cartes. Cette étude utilise également le logiciel "Data Uncertainty Engine" an de simuler les erreurs de localisation des limites de parcelles.

Enn,Julien (2008) a proposé un modèle théorique d'estimation de l'imprécision des me-sures géométriques de longueur et de surface, en modélisant l'erreur de localisation de chaque point de la géométrie par une loi normale indépendante en x et y, et en prenant en compte l'angularité entre segments successifs.

Pour exprimer l'imprécision des mesures de longueur σ(L), à partir d'une erreur moyenne quadratique q, le modèle proposé par Julien (2008) prend en compte les angles inscrits entre segments successifs θi, conformément à l'équation1.13.

σ(L) = s 1 + 2 ^X 2≤i≤n−1 sin2θ_i− θ_i−1 2 ^{∗ q} (1.13)

Ce modèle a été appliqué à l'étude de l'imprécision des longueurs d'objets routiers dans

Girres et Julien(2010).

Ainsi, comme nous avons pu voir dans cette section, les modèles d'imprécision géométrique traitant des mesures de longueur et de surface sont beaucoup plus rares que leurs homo-logues permettant d'estimer l'imprécision de positionnement, pour lesquels ils dépendent généralement, comme le montrent les contributions deKiiveri(1997) ouGoodchild(2004). Le principal point commun entre ces modèles est qu'ils se basent sur des erreurs de posi-tionnement des sommets, qui suit généralement une distribution gaussienne indépendante en x et en y. L'utilisation de simulations d'erreurs ore une possibilité robuste et aisée à mettre en ÷uvre an d'évaluer l'imprécision des mesures de surface ou de longueur réa-lisées en aval. Cependant des approches par tests peuvent également être très utiles, en particulier lorsque diérents processus générateurs d'erreurs interviennent sur la géométrie des objets, rendant dicile le paramétrage du bruit dans une approche par simulations. Cependant, malgré tout l'intérêt que présentent ces diérents modèles, nous allons voir par la suite qu'ils ne sont pas véritablement adaptés pour estimer les imprécisions des mesures géométriques de longueur ou de surface, en particulier dans un contexte opérationnel.

Synthèse Section Nous avons vu dans cette section que de nombreux modèles d'évaluation de l'imprécision géométrique ont été développés ces dernières années en recherche. Cependant, la grande majorité des modèles proposés s'attache à évaluer l'imprécision relative au positionnement des objets géographiques. Les contributions proposant des modèles d'estimation de l'imprécision des mesures géométriques sont, à l'inverse, beaucoup moins nombreuses.

Conclusion de la section

Cette section a permis de réaliser un état de l'art des principales mesures et modèles dé-veloppés an de qualier l'imprécision géométrique des objets vectoriels.

Concernant les mesures, nous avons vu que pour chaque type de primitives graphiques (ponctuelles, linéaires et surfaciques), de nombreux indicateurs sont disponibles, principa-lement basés sur des comparaisons avec des données de référence. Cependant, dans le cadre règlementaire français, la qualication de l'imprécision géométrique des objets vectoriels demeure basée sur un contrôle ponctuel.

Concernant les diérents modèles d'imprécision géométrique développés ces dernières an-nées en recherche, nous avons vu qu'ils cherchaient majoritairement à modéliser l'impréci-sion géométrique en termes de positionnement mais beaucoup plus rarement l'imprécil'impréci-sion des mesures de longueur et de surface. Malgré cela, nous avons pu voir que deux approches se diérencient : l'approche par simulations et l'approche par tests. Bien que l'approche par simulations s'avère être la plus populaire ces dernières années, l'approche par tests peut se montrer très intéressante lorsque la complexité des erreurs ne peut pas se limiter à des simulations en intégrant un bruit aléatoire.

1.3. Evaluation de l'imprécision géométrique des données géographiques

Conclusion du chapitre

Ce premier chapitre a permis de réaliser un état de l'art non-exhaustif sur l'évaluation de l'imprécision géométrique des données géographiques vectorielles.

Nous avons tout d'abord montré que les données géographiques vectorielles constituent une représentation simpliée et imparfaite du monde réel, et avons cherché à en expliquer les causes. Deux processus majeurs ont été identiés pour expliquer ces causes d'imperfections : le processus d'abstraction du monde réel et le processus de production des données. Le processus d'abstraction a pour objectif de réduire la complexité du monde réel, tout en satisfaisant des objectifs en termes d'utilisation des données, de niveau de détail des objets, ou encore de volume d'information. Les spécications permettent de formaliser ce processus d'abstraction, qui conditionne étroitement le processus de production mobilisé pour saisir la géométrie des objets. Nous avons ensuite montré que chaque processus de production a pour eet de générer des erreurs, plus ou moins grandes, qui impactent la géométrie des objets, et par conséquence, les mesures géométriques calculées.

Nous avons vu par la suite que l'imperfection des données géographiques peut générer une incertitude quant aux décisions prises par un utilisateur sollicitant ces données. An de réduire cette incertitude, il est nécessaire d'évaluer et de communiquer la qualité des données géographiques. Après avoir présenté les diérents éléments permettant de qualier la qualité des données géographiques, ce travail de thèse s'est focalisé sur l'évaluation de l'imprécision géométrique des données.

Nous avons vu que de nombreuses mesures et de modèles développés ces dernières an-nées, tant dans le domaine de la recherche que dans le cadre règlementaire, permettent de qualier l'imprécision géométrique des données géographiques. Cependant, nous avons montré que ces modèles et mesures cherchent majoritairement à quantier l'imprécision géométrique en termes de positionnement des objets, plutôt qu'en termes de mesures géo-métriques.

Ce dernier constat nous incite à explorer davantage la question de l'estimation de l'impré-cision des mesures géométriques, étant donné que de nombreuses applications, sollicitées dans le cadre de prises de décision, sont basées sur des mesures géométriques de longueur et de surface.

Chapitre 2

Proposition : un modèle d'estimation

de l'imprécision des mesures

géométriques

Introduction

Nous avons vu dans le chapitre précédent que les bases de données géographiques sont in-évitablement entachées d'imperfections. Ces imperfections résultent de diérents processus impactant notamment la géométrie des objets vectoriels. Nous en avons identié deux : le processus d'abstraction du mondé réel et le processus de production des données. Dans la pratique l'impact de ces deux processus s'accumule, générant des imprécisions géométriques sur les objets restitués, qui se répercutent sur les mesures géométriques de longueur ou de surface.

An de réduire l'incertitude des décisions prises lors de l'utilisation de données phiques, des indicateurs permettant de qualier la qualité d'une base de données géogra-phiques peuvent être produits. En ce qui concerne la dimension géométrique des objets vectoriels, ces indicateurs se focalisent uniquement sur l'exactitude de position des objets, mais jamais sur l'imprécision des mesures géométriques. Or, de nombreux usages de l'infor-mation géographique sollicitent aujourd'hui des mesures géométriques de longueur ou de surface, sans jamais que ne soit communiquée quelque information sur l'imprécision de la mesure calculée. En fait cela peut se comprendre, car comme nous allons le voir, produire un indicateur sur l'imprécision des mesures géométriques est une tâche complexe, étant donné que de nombreux processus impactent ces mesures.

Cette section va nous permettre de dénir les principes généraux d'un modèle d'estimation de l'imprécision des mesures géométriques calculées à partir d'objets de base de données géographiques vectorielles. Une synthèse des besoins et moyens actuels sera proposée dans un premier temps, justiant le développement d'outils plus adaptés aux besoins des utilisa-teurs. La proposition générale d'un modèle d'estimation sera donc exposée dans un second temps, en dénissant tout d'abord les objectifs principaux du modèle, son fonctionnement envisagé, ainsi que les principes régissant son développement.

2.1 Besoins et moyens actuels d'évaluation de l'imprécision

géométrique

Les utilisateurs de données géographiques doivent composer avec leurs imperfections, et en maitriser les conséquences. A cet égard, diérents outils (métadonnées, mesures et modèles) sont proposés an d'évaluer et de communiquer la qualité de ces données géographiques, en particulier sur leur dimension géométrique. Nous allons voir dans cette synthèse que les outils proposés aux utilisateurs ne permettent pas de réduire entièrement l'incertitude liée à l'usage de données géographiques, notamment concernant les mesures géométriques de longueur et de surface. An de renseigner l'utilisateur de manière pertinente, il convient tout d'abord d'identier ses besoins potentiels. Ainsi, nous essaierons d'identier les besoins des utilisateurs de données géographiques en termes d'imprécision géométrique, ce qui nous permettra de mieux comprendre les limites des moyens actuels d'évaluation. Egalement, bien que de nombreux modèles aient été développés en recherche ces dernières années sur ce sujet, nous verrons qu'ils ne traitent que partiellement du problème d'estimation de l'imprécision des mesures géométriques. Dans ce contexte, ceci nous amènera nalement à dénir le positionnement de ce travail de thèse.