Corrélation des erreurs entre points successifs

De nombreux auteurs considèrent que la simulation d'erreurs sur une géométrie doit inté-grer une corrélation entre points successifs (Heuvelink et al.,2007;De Bruin,2008). Pour mieux le comprendre, nous allons tout d'abord présenter les raisons justiant l'intégration d'une corrélation de l'erreur entre points successifs lors du bruitage d'une géométrie, puis proposerons une méthode permettant de prendre en compte cette contrainte dans notre modèle de simulation de l'erreur de pointé.

Hypothèse Pour justier la prise en compte de la corrélation des erreurs durant la sai-sie d'une géométrie, nous pouvons nous appuyer sur un exemple simple : imaginons un opérateur numérisant une route. Si une erreur est intégrée aux extrémités de la polyligne, c'est-à-dire aux carrefours, nous partons de l'hypothèse que l'opérateur va chercher à com-penser cette erreur petit à petit sur l'ensemble de la géométrie, plutôt que d'une seule fois. En eet, la saisie est un processus dynamique (et rapide) supposant que si l'opérateur vise légèrement à côté, il cherchera à corriger l'erreur sans s'arrêter ou baisser son rythme de saisie. On peut donc considérer à travers cet exemple que l'erreur de positionnement des extrémités du tracé de la route est propagée sur l'ensemble des points de la géométrie, et qu'il existe donc une corrélation de l'erreur entre chacun des points. Cette hypothèse suppose donc que la saisie soit opérée d'un point de départ à un point d'arrivée, ce qui est cohérent avec la saisie des objets linéaires.

An de modéliser la corrélation des erreurs entre points successifs, deux approches ont été envisagées : l'utilisation d'un lissage gaussien, et la translation des sommets en fonction

Lissage gaussien des objets bruités

La première approche envisagée pour corréler les erreurs entre points successifs repose sur l'application d'un lissage gaussien sur les géométries bruitées.

Le lissage gaussien (déjà présenté en section 3.3.2.3) est un algorithme qui a pour but d'éliminer les détails sans importances d'une polyligne. Cet algorithme fonctionne selon le principe d'une fenêtre glissante sur l'ensemble de la polyligne. Chaque point de la polyligne est déplacé vers le barycentre calculé avec les autres points de la polyligne localisés dans la fenêtre, en fonction de la distance curviligne les séparant (et en suivant une loi gaussienne). La force du lissage gaussien est déterminée selon un paramètre σ, qui correspond à l'écart-type de la loi gaussienne utilisée.

Application sur les géométries bruitées L'application d'un lissage gaussien en aval du bruitage d'une géométrie peut être envisagée an d'intégrer une corrélation des erreurs entre points successifs d'une géométrie. En appliquant ce lissage, l'erreur de position en chaque point est recalculée en fonction de l'erreur appliquée sur les points voisins, ce qui permet de corréler ces erreurs.

Figure 4.14  Eet du lissage gaussien sur des tronçons de route bruités de la BDCARTO Cependant, l'inconvénient de cet algorithme est qu'il a pour principal eet de "moyenner" la position des points de la géométrie lissée, en fonction de celle des points voisins. Ceci se traduit par une diminution systématique des longueurs calculées, comme le montre la gure 4.14, où la polyligne lissée suite au bruitage a tendance à "prendre la corde" dans les virages.

Cette observation rend l'utilisation du lissage gaussien problématique dans le cadre de la mise en ÷uvre du modèle de simulation de l'erreur de pointé, puisque les mesures géométriques calculées en aval risquent fortement d'être sous-estimées, ce qui n'est pas envisageable. Ainsi, pour prendre en compte la corrélation des erreurs entre points successifs d'une géométrie, nous proposons donc de nous orienter vers une autre approche, basée sur

4.1. Erreur de pointé

Translation pondérée par les erreurs aux extrémités

Une autre approche, inspirée des travaux de Bonin (2002) et Fouqué (1999) a donc été préférée pour modéliser la corrélation entre points successifs d'une géométrie. En reprenant l'exemple d'un réseau routier, cette approche se décline en deux étapes :

1. les n÷uds du réseau (les carrefours) sont bruités indépendamment selon une loi nor-male N(0,σ). Chacun des deux points A et C situés aux extrémités subissent donc un déplacement suivant un vecteur −^→v et −^→u, pondéré par degré du n÷ud.

2. les points intermédiaires B des polylignes composant le réseau sont translatés selon un vecteur −^→w, calculé par une somme pondérée des vecteurs −^→v et −^→u. La pondération est le résultat du rapport entre la longueur de la polyligne allant d'un point intermédiaire à l'extrémité de la polyligne, par rapport à la longueur totale de la polyligne, comme expliqué dans l'équation 4.6.

−

→_{w = a ∗ −}→_{v + b ∗ −}→_u (4.6)

où a est le rapport entre la longueur de [AB] sur la longueur de [AC] où b est le rapport entre la longueur de [BC] sur la longueur de [AC]

Figure 4.15  Principe de translation d'un point B en fonction des erreurs aux extrémités A et C d'une polyligne

La gure4.15permet d'illustrer ce principe de corrélation des erreurs entre sommets suc-cessifs, en fonction de l'erreur aectant les extrémités de la polyligne.

On notera bien que le bruitage aléatoire n'est ici appliqué qu'aux extrémités de la poly-ligne, c'est-à-dire aux n÷uds du réseau. La translation de chacun des points intermédiaires de la géométrie est eectuée en amont du bruitage de la géométrie par le biais du modèle aléatoire présenté précédemment.

Cette méthode basée sur une translation des sommets préalable au bruitage aléatoire permet donc d'intégrer une contrainte de corrélation des erreurs entre points successifs dans notre approche. Nous allons maintenant décrire comment combiner l'ensemble de ces