Impact sur les mesures géométriques

La géométrie des objets vectoriels est généralement saisie dans un système de projection bien déni. Chaque point composant la géométrie de l'objet dispose donc de coordonnées planimétriques E et N calculées dans un plan. Ces coordonnées sont donc aectées des alté-rations impliquées par la projection de l'ellipsoïde sur un plan, impactant par conséquent les mesures géométriques calculées en aval. En eet, une mesure de longueur calculée à l'aide de la distance euclidienne dière de sa longueur calculée sur l'ellipsoïde (cf. gure 3.8). Dans la pratique, l'utilisateur ne s'en soucie guère, puisque localement l'impact de la pro-jection cartographique sur des mesures géométriques est généralement très faible, d'autant plus que le système de projection est choisi an de minimiser ces altérations. Cependant, à

3.1. Projection cartographique

Il convient donc de mettre en place les méthodes permettant d'estimer cet impact sur les mesures géométriques.

Figure 3.8  Principe de calcul de distances sur ellipsoïde entre deux points A et B La formalisation de l'impact de la projection cartographique sur les mesures géométriques proposée dans cette section est issue des travaux de Botton (2010), Bouteloup (2006) et

Rüeger(1996).

Impact sur les mesures de longueur

Altération linéaire La notion d'altération linéaire permet d'exprimer l'impact d'un système de projection sur une mesure de longueur calculée dans un plan. L'altération linéaire eL est calculée à l'aide du module linéaire mL qui correspond au rapport entre une distance DP calculée en projection et son homologue DE sur l'ellipsoïde, comme exposé dans les équations 3.2et3.3.

mL= ^DP

D_E (3.2)

e_L= m_L− 1 (3.3)

Les systèmes de projection sont généralement choisis an de minimiser l'altération linéaire, et ainsi permettre de réaliser des mesures de longueur les moins altérées possibles. Par exemple, la gure 3.9 présente l'altération linéaire en fonction de la latitude pour les diérentes projections Lambert. On voit que pour la projection Lambert93, l'altération linéaire est nulle sur les parallèles automécoïques (longitudes 44N et 49N), et importante aux extrémités Nord et Sud du territoire. Cependant, l'altération linéaire de la projection Lambert93 est systématiquement inférieure à celle de la projection Lambert II étendu, qui pouvait atteindre 5 mètres par kilomètre dans le sud de la Corse (c'est-à-dire à la longitude

Figure 3.9  Altération linéaire des projections Lambert I, II étendu, III, IV, et Lambert93 selon la latitude (source : IGN)

Distance sur ellipsoïde Etant donné que l'altération linéaire peut être connue en tous points d'un objet projeté, il est possible d'opérer à des calculs de longueur sur l'ellipsoïde de référence. Par exemple, pour un segment [AB], de point médian C, dont on connait les valeurs d'altération linéaire eA, eB et eC, l'altération linéaire moyenne eAB est tout d'abord calculée, conformément à l'équation3.4.

eAB = ^{eA+ 2eC+ eB}

4 (3.4)

La distance sur ellipsoïde DE du segment [AB] est calculée par application du module linéaire à la longueur dans le plan DP (cf. équation3.5).

DE = ^DP

(1 + e_AB) (3.5)

Bien que l'altération linéaire calculée à l'aide de cette méthode ne constitue qu'une moyenne des altérations linéaires de ses extrémités et de son centre, cette méthode permet malgré tout d'approximer une mesure de longueur sur l'ellipsoïde de référence, et ainsi d'estimer l'erreur de longueur impliquée par la projection cartographique. En reproduisant cette mé-thode de calcul sur l'ensemble des segments composant la géométrie d'une polyligne, il est possible de calculer sa mesure géométrique de longueur sur l'ellipsoïde.

3.1. Projection cartographique

Ainsi, pour une polyligne L composée des points L1, L2...Ln, nous proposons de calculer la longueur géométrique sur ellipsoïde DE(L)par le biais de l'équation3.6.

D_E(L) =

n

X

i=1

D_E(L_i) (3.6)

Distance à l'horizon Nous avons pour l'instant présenté une méthode permettant de calculer la longueur d'une polyligne à la surface de l'ellipsoïde. Cependant, lorsque l'al-titude des points composant la géométrie d'un objet vectoriel est connue, il n'est plus pertinent de calculer une longueur à la surface de l'ellipsoïde, mais plutôt à une hauteur au dessus de l'ellipsoïde. Cette distance est appelée distance à l'horizon ou distance ho-rizontale. Pour calculer cette distance, nous considérons ici que l'altitude zéro des points composant la géométrie de l'objet est équivalente à la surface de l'ellipsoïde. La gure3.8

illustre la diérence entre la distance sur ellipsoïde D0 calculée entre les points A et B, et la distance horizontale DH.

Pour calculer la distance horizontale, l'altitude du point A, du point B ou l'altitude moyenne entre les points A et B peuvent être utilisées. L'équation 3.7 formalise le cal-cul de la distance horizontale DH moyenne entre les points A et B, d'altitudes hAet hB à partir d'une distance sur ellipsoïde D0et d'une valeur R = 6.378 kilomètres, correspondant au rayon moyen de la Terre approximée à une sphère.

DH = D0∗ (1 +^{hA+ hB}

2R ⁾ (3.7)

Ainsi, lorsque l'altitude des points composant les segments L1, L2...Ln d'une polyligne L est connue, nous proposons de calculer sa distance horizontale DH(L), par le biais de l'équation3.8. D_H(L) = n X i=1 D_H(L_i) (3.8)

Nous venons de présenter comment procéder au calcul de longueur sur, et à une hauteur au dessus de l'ellipsoïde de référence, an d'estimer l'impact de la projection cartographique sur les mesures de longueur. Nous allons maintenant présenter comment estimer cet impact sur les mesures de surface.

Impact sur les mesures de surface

Altération surfacique L'altération surfacique est utilisée pour exprimer l'impact d'un système de projection sur une mesure de surface calculée dans un plan. L'altération sur-facique eS est calculée à l'aide du module aréolaire mS qui n'est autre que le carré du module linéaire mL, comme exprimé dans les équations 3.9et3.10.

m_S= m²_L (3.9)

e_S = 2 ∗ e_L+ e²_L (3.10)

L'exploitation de l'altération surfacique n'est utile que dans le cas des projections conformes (ou encore aphylactites), puisque dans le cas des projections équivalentes, les mesures de surface sont préservées. Cela signie que pour les projections équivalentes, en tous points :  l'altération linéaire est nulle,

 le module aréolaire est égal à 1.

Surface sur ellipsoïde Pour calculer une surface sur ellipsoïde, le principe est identique à celui présenté précédemment pour les mesures géométriques de longueur. Ainsi, pour un polygone de surface SP dans le plan, et dont on connait l'altération surfacique eSi

en chaque point de la géométrie, une valeur moyenne d'altération surfacique eS est tout d'abord calculée (cf. équation 3.11).

eS = ¹ n n X i=1 eSi (3.11)

Une autre méthode pour calculer l'altération surfacique moyenne du polygone consiste à récupérer la valeur d'altération surfacique de son point centroïde. Une fois l'altération surfacique moyenne du polygone calculée, il est ensuite possible de calculer sa surface sur ellipsoïde SE, par application du module surfacique (cf. équation 3.12).

SE = ^SP

(1 + eS) (3.12)

Tout comme dans le cadre du calcul des mesures de longueur sur ellipsoïde, le calcul des mesures de surface sur ellipsoïde se base sur une moyenne des altérations surfaciques de chacun des points constituant la géométrie du polygone. Bien que cette moyenne ne consti-tue qu'une approximation, elle s'avère également susante an de produire une estimation de l'erreur de mesure de surface impliquée par la projection cartographique. De la même manière, si l'altitude des points composant la géométrie d'un objet polygonal est connue, il est également possible de procéder à des mesures de surface au dessus de l'ellipsoïde.

3.1. Projection cartographique

Synthèse Section Nous avons montré dans cette section que la représentation de la surface terrestre sur un plan implique la réalisation d'approximations (en représentant la terre par un ellipsoïde) et de déformations (en projetant cet ellip-soïde sur un plan), qui impactent les mesures calculées à partir de la géométrie des objets vectoriels. Le principe de calcul des mesures géométriques de longueur et de surface sur l'ellipsoïde de référence ont été présentées, permettant ainsi d'estimer l'erreur impliquée par la projection cartographique.