CHAPITRE 3 : ANALYSE DES RÉSULTATS
3.2.3 Activité mathématique
3.1.4.3 Situations d’évaluations
Yannick planifie neuf situations d’évaluation. Elles sont présentées dans la figure 67 et sont notées SÉ1, SÉ2, SÉ3, SÉ4, SÉ5, SÉ6, SÉ7, SÉ8 et SÉ9.
150 La situation SÉ1 est donnée dans la figure 68.
Figure 67 : Situation d’évaluation sur le calcul d’un angle manquant dans un triangle dans la planification de Yannick
SÉ1 vise le calcul d’un angle manquant dans un triangle dont on connaît la mesure des deux
autres angles. Cette situation pourrait n’exiger aucune visualisation, car la connaissance des mesures des deux angles est suffisante pour déterminer la mesure manquante. Par ailleurs, SÉ1 pourrait exiger un raisonnement déductif basé sur l’application du théorème des angles
d’un triangle. Le raisonnement déductif semble donc être le registre principal de l’articulation visualisation-raisonnements. Par conséquent, la dimension épistémique des rapports aux savoirs peut être rattachée à la modalité 0. Par ailleurs, cette analyse met en évidence le fait que SÉ1 implique une application directe du théorème des angles d’un triangle. SÉ1 peut donc
être considérée comme un exercice. Par conséquent, Yannick pourrait être sous influence de la posture de l’ancien élève préoccupé par la réussite immédiate des élèves.
La situation SÉ2 est donnée dans la figure 69.
Figure 68 : Situation d’évaluation sur l’existence et la nature d’un triangle dans la planification de Yannick
SÉ2 vise la discussion de l’existence et la détermination de la nature d’un triangle dont on
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les mesures des angles suffisent pour discuter de l’existence de chaque triangle. Par ailleurs, SÉ2 pourrait exiger un raisonnement déductif basé sur l’application :
- soit de la réciproque du théorème des angles d’un triangle pour conclure à l’existence du triangle;
- soit de la contraposée du théorème des angles d’un triangle pour conclure à l’inexistence du triangle.
Le raisonnement déductif apparaît donc comme le registre principal de l’articulation visualisation-raisonnements. Par conséquent, la dimension épistémique des rapports aux savoirs peut être rattachée à la modalité 0. En outre, cette analyse montre que la situation SÉ2
ne se limite pas à une application directe du savoir visé par la situation SA1. Par conséquent,
il s’agit d’une situation-problème. Yannick semble donc adopter la posture de l’étudiant, car il se montre préoccupé par le fait de ne pas restreindre l’évaluation à une stricte application des savoirs visés par l’apprentissage.
La situation SÉ3 est donnée dans la figure 70.
Figure 69 : Situation d’évaluation visant la détermination des angles d’un triangle dans la planification de Yannick
Elle vise la détermination des mesures des angles d’un triangle. Cette situation pourrait exiger :
- une visualisation à travers :
1) la réalisation d’un dessin à partir des données de l’énoncé; 2) l’indication de la mesure de l’angle donnée sur le dessin - un raisonnement déductif impliquant :
1) la propriété des tangentes à un cercle pour déterminer l’angle 𝐴̂; 2) la propriété des angles supplémentaires pour déterminer l’angle 𝐵𝑂𝐶̂;
3) la caractérisation de l’appartenance des points B et C à un cercle de centre O pour démontrer que le triangle BOC est isocèle en C;
4) le théorème des angles d’un triangle appliqué au triangle BOC pour calculer la mesure de l’angle 𝐶̂;
5) le théorème des angles d’un triangle appliqué au triangle ADC pour calculer la mesure de l’angle 𝐷̂.
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La visualisation est mise à contribution essentiellement dans les fonctions d’illustration et prise en charge d’hypothèses. Le raisonnement déductif apparaît donc comme le registre principal de l’articulation visualisation-raisonnements. Par conséquent, la dimension épistémique des rapports aux savoirs peut être rattachée à la modalité 3. En, cette analyse des exigences de la situation montre que la situation SÉ3 ne se limite pas à une application directe
du savoir visé par la situation d’apprentissage. Il s’agit donc d’une situation-problème. Yannick semble donc adopter la posture de l’étudiant préoccupé par une volonté de ne pas restreindre l’évaluation à une stricte application des savoirs visés par l’apprentissage. La situation SÉ4 est donnée dans la figure 71.
Figure 70 : Situation d’évaluation visant la détermination de deux angles d’un triangle dans la planification de Yannick
SÉ4 vise la détermination de la mesure de deux angles d’un triangle inscrit dans un cercle
connaissant la mesure d’un des angles. Cette situation pourrait exiger une visualisation en guise d’illustration. Le raisonnement déductif requis pour cette situation pourrait impliquer :
- la propriété des triangles inscrits dans un cercle dont un des côtés est un diamètre du cercle pour déterminer la mesure de l’angle 𝐵̂;
- le théorème des angles d’un triangle pour calculer la mesure de l’angle 𝐶̂.
La visualisation est mise à contribution essentiellement dans les fonctions d’illustration et prise en charge d’hypothèses. Le raisonnement déductif apparaît donc comme le registre principal de l’articulation visualisation-raisonnements. Par conséquent, la dimension épistémique des rapports aux savoirs peut être rattachée à la modalité 1. Cette analyse montre que la situation SÉ4 ne se limite pas à une application directe du savoir visé par la situation
d’apprentissage. Elle peut donc être considérée comme une situation-problème. Yannick semble donc adopter la posture de l’étudiant soucieux de ne pas restreindre l’évaluation à une stricte application des savoirs visés par l’apprentissage.
153 La situation SÉ5 est donnée dans la figure 72.
Figure 71 : Situation d’évaluation visant une démonstration de l’alignement de trois points dans la planification de Yannick
SÉ5 vise la démonstration de l’alignement de trois points. Cette situation pourrait exiger une
visualisation à travers sa fonction d’illustration. Le raisonnement déductif requis pourrait impliquer :
- la propriété des angles d’un triangle équilatéral pour déterminer les mesures des angles 𝐷𝐸𝐶̂ et 𝐵𝐶𝐹̂;
- la propriété des angles d’un carré pour déterminer les mesures des angles 𝐴𝐷𝐸̂ et 𝐸𝐶𝐵̂;
- la propriété des angles à la base d’un triangle isocèle et le théorème des angles d’un triangle pour calculer les mesures des angles 𝐴𝐸𝐷̂ et 𝐶𝐸𝐹̂.
- la propriété de la mesure d’un angle plat pour déduire que les points A, E et F sont alignés.
La visualisation est mise à contribution dans sa fonction d’illustration. Le raisonnement déductif apparaît donc comme le registre principal de l’articulation visualisation- raisonnements. Par conséquent, la dimension épistémique des rapports aux savoirs peut être rattachée à la modalité 1. Par ailleurs, cette analyse montre que SÉ5 ne se limite pas à une
application directe du savoir visé par la situation d’apprentissage. Elle peut donc être considérée comme une situation-problème. Yannick semble donc adopter la posture de l’étudiant préoccupé par la volonté de ne pas restreindre l’évaluation à une stricte application des savoirs visés par l’apprentissage.
154 La situation SÉ6 est présentée dans la figure 73.
Figure 72 : Situation d’évaluation visant la discussion de l’existence d’un quadrilatère dans la planification de Yannick
SÉ6 concerne une discussion de l’existence d’un quadrilatère dont on connaît les mesures des
angles. L’analyse des exigences de cette situation met en évidence le fait que la visualisation pourrait ne pas être requise. Par ailleurs, cette analyse révèle que SÉ6 pourrait nécessiter un
raisonnement déductif à travers la contraposée du théorème des angles d’un triangle pour conclure à l’inexistence du triangle. Le raisonnement déductif peut donc être considéré comme le registre principal de l’articulation visualisation-raisonnements. Par conséquent, la dimension épistémique des rapports aux savoirs peut être rattachée à la modalité 0. En outre, cette analyse montre que la situation SÉ6 ne se limite pas à une application directe du savoir
visé par la situation SA2. Il s’agit donc d’une situation-problème. Yannick semble donc
adopter la posture de l’étudiant, car il se montre préoccupé par le fait de ne pas restreindre l’évaluation à une stricte application des savoirs visés par l’apprentissage.
La situation SÉ7 est présentée dans la figure 74.
Figure 73 : Situation d’évaluation visant la discussion sur la nature d’un quadrilatère dans la planification de Yannick
SÉ7 vise à faire discuter la nature d’un quadrilatère ayant deux ou trois angles droits.
L’analyse des exigences de SÉ7 indique que la visualisation pourrait être mise en œuvre à
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s’articuler à un raisonnement déductif tenant de vérification à travers la mise à contribution du théorème de l’angle d’un quadrilatère. La visualisation peut donc être considérée comme le registre principal de l’articulation visualisation-raisonnements. Par conséquent, la dimension épistémique des rapports aux savoirs peut être rattachée à la modalité 1. Par ailleurs, cette analyse montre que SÉ7 ne se limite pas à une application directe du savoir visé
par la situation SA2. Il s’agit donc d’une situation-problème. Yannick semble donc adopter
la posture de l’étudiant, car il se montre préoccupé de ne pas restreindre l’évaluation à une stricte application des savoirs visés par l’apprentissage.
La situation SÉ8 est présentée dans la figure 75.
Figure 74 : Situation d’évaluation visant le calcul des angles d’un polygone planifié par Yannick
SÉ8 vise le calcul de la mesure d’un angle d’un polygone dont on connaît la somme des
mesures des autres angles. L’analyse des exigences de SÉ8 met en évidence une visualisation
dans ses fonctions d’illustration et prise en charge d’hypothèse. Par ailleurs, cette visualisation pourrait s’articuler à un raisonnement déductif à travers :
- le théorème des angles d’un polygone régulier ou non;
- la propriété des angles alternes-internes définis par des parallèles et une sécante; - les propriétés des angles à la base d’un trapèze ou d’un triangle isocèle.
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Le raisonnement déductif peut donc être considéré comme le registre principal de l’articulation visualisation-raisonnements. Par conséquent, la dimension épistémique des rapports aux savoirs peut être rattachée à la modalité 3. Par ailleurs, cette analyse montre que la situation SÉ7 ne se limite pas à une application directe du savoir visé par la situation SA3.
Il s’agit donc d’une situation-problème. Yannick semble donc adopter la posture de l’étudiant, car il se montre préoccupé de ne pas restreindre l’évaluation à une stricte application des savoirs visés par l’apprentissage.
La situation SÉ9 est présentée dans la figure 76.
Figure 75 : Situation d’évaluation visant le calcul des angles d’un pentadécagone planifié par Yannick
SÉ9 concerne le calcul de la mesure de chacun des angles d’un pentadécagone régulier.
L’analyse des exigences de cette situation met en évidence le fait que la visualisation pourrait ne pas être requise. Cette visualisation pourrait être accompagnée d’un raisonnement déductif à travers le théorème des angles d’un pentadécagone régulier. Le raisonnement déductif peut donc être considéré comme le registre principal de l’articulation visualisation-raisonnements. Par conséquent, la dimension épistémique des rapports aux savoirs peut être rattachée à la modalité 0. Par ailleurs, cette analyse montre que SÉ7 nécessite une application directe du
savoir visé par la situation SA3. Il s’agit donc d’un exercice. Yannick semble donc adopter
la posture de l’ancien élève, car il se montre préoccupé par la réussite immédiate des élèves. 3.2.4.4 Bilan
Avant d’entrer le vif du sujet, Yannick prévoit de vérifier la disponibilité de quelques savoirs qu’il juge préalables à un apprentissage du savoir visé. Cette préoccupation pourrait traduire une influence de la posture de l’étudiant l’incitant à mettre à contribution le modèle de
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planification discuté en formation. Mais les savoirs qu’il pointe semblent très peu en lien avec l’intention. Yannick pourrait donc également subir une influence de la posture de l’ancien élève. Le début de cette planification paraît donc être tributaire d’une tension entre ces deux postures. Par ailleurs, le fait que Yannick explicite ses intentions pourrait traduire une préoccupation pour l’apprentissage et donc une influence de la posture de l’enseignant. Par conséquent, outre la tension déjà évoquée, une synergie entre les postures de l’étudiant et de l’enseignant pourrait également l’influencer. La première situation d’apprentissage est une situation de révision au cours de laquelle Yannick projette de démontrer le théorème des angles d’un triangle. Ce choix pourrait traduire une influence de la posture de l’ancien élève. Les deux autres sont des situations de reconstruction à travers lesquelles Yannick projette de proposer de nouvelles occasions aux élèves de construire des connaissances sur le théorème des angles d’un polygone. Ici, il pourrait adopter la posture de l’étudiant. On retrouve dans la planification des situations d’apprentissage la tension entre les postures de l’ancien élève et de l’étudiant déjà évoquée plus haut. Par ailleurs, les rapports aux savoirs pourraient se caractériser par une dimension épistémique de modalités 1 et 2. La modalité 1 illustre une préoccupation pour le raisonnement déductif alors que la modalité 2 renvoie à une préoccupation pour la visualisation.
Enfin, 7 des 9 situations d’évaluation planifiées sont des situations-problèmes en ce sens qu’elles ne limitent pas à une application des théorèmes étudiés. Elles montrent que Yannick adopte la posture de l’étudiant. Les deux autres situations d’évaluation étant des exercices, elles traduisent une influence de la posture de l’ancien élève. On retrouve ici la tension entre ces deux postures déjà évoquées plus haut. En outre, les rapports aux savoirs ressortant ici se caractérisent par une dimension épistémique essentiellement de modalités 0 et 1. Ces modalités illustrent une préoccupation pour le raisonnement déductif.
3.2.5 Réalisation
Yannick a choisi de réaliser la situation d’apprentissage SA1 et les situations
d’évaluation SÉ1, SÉ2 et SÉ3.
3.2.5.1 Situations d’apprentissage
Le déroulement de SA1 a été découpé en deux évènements remarquables afin de mettre en
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d’institutionnalisation le savoir en jeu après le travail des élèves. Lors du premier évènement remarquable, Yannick est au tableau :
- il dessine un triangle ABC à l’aide d’une règle,
- il trace la droite (D), parallèle à la droite (BC) passant par le point A à l’aide d’une règle et d’une équerre et prolonge les demi-droites [BA) et [CA) à l’aide d’une règle. Le dessin qu’il obtient est représenté dans la figure 77. Le caractère remarquable de cet évènement se justifie par le fait qu’il permet d’observer Yannick lorsqu’il interagit avec une élève en difficulté dans une tâche de construction.
Figure 76 : Dessin réalisé au tableau par Yannick durant son intervention
Yannick demande aux élèves de reproduire cette construction puis de calculer la somme des mesures des angles du triangle ABC. Quelques minutes après, il décide d’aider une élève : « vous tracez avec la règle et l’équerre une droite parallèle à la droite (BC), puis vous tracez la perpendiculaire à cette droite-là donc la parallèle à la droite (BC) passant par le point A » (Annexe 5; réalisations : L13-L15). Yannick fait ici référence à une propriété57 permettant de
tracer des parallèles : « si deux droites sont perpendiculaires, toute droite perpendiculaire à l’une est parallèle à l’autre ». L’aide consiste à indiquer une procédure sans la justifier. En somme, cet évènement remarquable montre un effet Topaze explicite (Novotná et Hošpesoná, 2009) du fait que Yannick considère sans doute que donner la procédure est suffisant pour que l’élève en comprenne le sens. Cet effet Topaze explicite pourrait être le produit d’une influence de la posture de l’ancien élève, car Yannick semble se préoccuper de l’enseignement (DeBlois et Squalli, 2002).
Le caractère remarquable du second évènement est qu’il permet d’observer la manière dont Yannick s’y prend pour institutionnaliser une tâche de démonstration d’un théorème
57 Dans le programme gabonais, les droites parallèles sont définies comme des droites ayant une perpendiculaire commune. Cette approche définitionnelle a été privilégiée, semble-t-il, parce qu’elle permet de justifier le tracé de la parallèle à une droite donnée à la règle et à l’équerre.
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fondamentale de la géométrie élémentaire. Il se déroule au moment où le futur enseignant considère que la construction du dessin a été réalisée par les élèves et où il juge avoir laissé suffisamment de temps aux élèves pour produire leurs propres démonstrations. Au début de cet évènement, Yannick complète le dessin de la figure 77 en y indiquant les angles du triangle ABC et obtient le dessin de la figure 78.
Figure 77 : Dessin réalisé au tableau par Yannick durant son intervention
Il identifie alors les angles de ce triangle aux angles ayant pour sommet A ayant la même mesure que les angles du triangle ABC :
L’angle 𝐴̂ ici, c’est le même qui se trouve là. Parce que ces deux angles-là sont opposés par le même sommet. Vous avez vu en 5e que deux angles opposés par le même sommet ont la même mesure. Donc, l’angle qui est ici dans notre figure, eh bien il se retrouve là. Ensuite, l’angle 𝐵̂ il se retrouve là. Ces deux droites-là sont parallèles et là on a une sécante » (annexe 5; réalisations : L36-L39).
Yannick indique les droites parallèles (D) et (BC), puis la sécante (BA) sur son dessin. Il poursuit sa démonstration :
Deux droites parallèles et une sécante, eh bien les deux angles qui en ressortent sont correspondants, ça vous l’avez vu en 5e aussi … Donc la mesure de cet angle
𝐵̂, se retrouve ici (figure 77). Même chose pour l’angle 𝐶̂ qui se retrouve là. Donc, on voit bien que mesure de l’angle 𝐴̂ plus la mesure de l’angle 𝐵̂ plus la mesure de l’angle 𝐶̂ ça se retrouve ici. Mesure de 𝐴̂ plus la mesure 𝐵̂ plus la mesure de 𝐶̂ qui fait au total l’angle plat qui est bel et bien égal à 180° » (annexe 5; réalisations : L42-L48).
Tout au long de cet évènement, Yannick a attribué un rôle passif aux élèves tombant de ce fait dans le paradoxe du comédien (Brousseau, 2003). En effet, en exposant sa démonstration, Yannick pose des questions et y répond lui-même. Il paraît agir ici sous influence de la posture de l’ancien élève reproduisant les exposés magistraux auxquels il a été habitué dans ses cours de mathématiques universitaires. Préoccupé par l’enseignement, Yannick a présenté une démonstration basée sur des propriétés considérées comme acquises dans les classes antérieures.
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Il semble qu’en adoptant la posture de l’ancien élève, Yannick a remis au goût du jour des rapports à faire apprendre caractérisés par une préoccupation pour le raisonnement déductif qui semblait pourtant s’être quelque peu transformée lors de la planification. Par ailleurs, pour appuyer sa démonstration, Yannick s’est référé au dessin, mais à titre d’illustration ce qui indique que la dimension épistémique de ses rapports à faire apprendre correspond à la modalité 1.
3.2.5.2 Situations d’évaluation
La première situation d’évaluation mise en scène est la situation SÉ2. L’intention est de faire
discuter de l’existence d’un triangle dont les angles sont donnés. Le déroulement de SÉ2 a
été subdivisé en trois évènements remarquables. Le premier consiste en des interactions entre Yannick et deux élèves autour de la question de l’existence du triangle représenté dans la figure 79.
Figure 78 : Dessin réalisé au tableau par Yannick durant son intervention
Pour le premier élève, le triangle est quelconque58. Yannick n’apporte aucune rétroaction à
cet élève. Nous interprétons cela comme une adaptation d’évitement s’expliquant par la préoccupation de ne pas s’attarder sur des erreurs perçues comme des « anomalies » appelées à se corriger avec la multiplication d’exercices. Selon Ndolly (2012) et Douamba (2015), cette adaptation permet d’identifier la posture de l’ancien élève.
Le second élève répond que le triangle n’existe pas. Cette fois, Yannick demande une explication. L’élève explique alors que la somme des angles étant supérieure à 180°, le triangle ne peut exister. Yannick approuve puis rajoute : « exactement. Lui il dit que ce n’est pas un triangle rectangle parce que la somme des mesures des angles ne fait pas 180°. On a 45° + 120° + 37° ce qui fait que la somme, ça fait 202° ce qui est supérieur à 180°. Alors que la mesure des angles d’un triangle c’est 180°. OK ? » (annexe 5; réalisations : L69-L72).
Yannick semble s’adapter de manière normative en ce sens qu’il conforte la réponse de