Analyse de productions d’élèves

Les critères selon lesquels les futurs enseignants ont analysé les productions d’élèves sont codés selon la grille présentée dans le tableau 15.

Tableau 15 : Codage des critères d’analyse des productions d’élèves

Critère Code

Décrire la démarche géométrique de l’élève : indiquer ce que l’élève a fait et non ce qu’il aurait dû faire ou ce qu’il n’a pas réussi à faire C1

Décrire les erreurs de l’élève : indiquer dans sa démarche de l’élève ce qui semble être erroné et expliquer pourquoi cela peut être considéré comme une erreur C2 Émettre une hypothèse sur les origines possibles de ces erreurs C3

Proposer une intervention pour aider l’élève à prendre conscience de ses erreurs et à les dépasser C4

Les analyses des productions d’élèves sont analysées selon une grille composée de quatre sous-grilles correspondant à chacun de ces critères. La sous-grille d’analyse du critère C1 est

présentée dans le tableau 16. Elle comporte les catégories : la « visualisation » et les « raisonnements ». La catégorie « visualisation » indique que le futur enseignant reconnaît que l’élève a mis en œuvre ce registre dans sa démarche. Il en de même pour la catégorie « raisonnements ». Outre ces catégories, l’analyse du critère C1, intègre le fait que la

description s’exprime en des « termes positifs » ou par des « jugements de valeur ». La catégorie « termes positifs » indique que le futur enseignant décrit les savoirs mis en jeu par l’élève.

Tableau 16 :Sous-grille d’analyse du critère C1

Catégorie Unités de sens

Visualisation

- déconstruction du solide en solides connus - utilisation des instruments pour construire - codage des dessins

Raisonnements

-analyse des dimensions (« opérations sur les unités ») - explication de la réponse

- connaissance des formules d’aire (triangle et rectangle) et des unités d’aire - somme des différentes aires calculées

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La sous-grille d’analyse du critère C2 est présentée dans le tableau 17. Elle s’articule autour

de deux catégories : la « visualisation » et les « raisonnements ». La catégorie « visualisation » pourrait indiquer des rapports aux savoirs centrés sur la visualisation. La catégorie « raisonnements » pourrait quant à elle montrer des rapports aux savoirs centrés sur les raisonnements.

Tableau 17 : Sous-grille d’analyse du critère C2

Catégorie Unités de sens

Visualisation

- déconstruction erronée

- mauvais usage des instruments de géométrie - construction non conforme aux attentes Raisonnements - unités d’aire au lieu d’unités de volume

- confusion aire latérale/volume

La sous-grille d’analyse du critère C3 est présentée dans le tableau 18. Elle repose sur des

catégories définies à partir du modèle de DeBlois (2011). Ces catégories permettent de distinguer les erreurs qui pourraient être dues aux « connaissances des élèves » et celles pouvant s’expliquer par les « caractéristiques de l’élève ». La catégorie « caractéristiques de l’élève » pourrait être en lien avec des « rapports traditionnels à l’erreur ». Les « rapports traditionnels à l’erreur » pourraient amener les futurs enseignants à considérer l’erreur comme une anomalie à éviter. La catégorie « connaissances des élèves » pourrait quant à elle renvoyer des « rapports constructivistes à l’erreur ». En effet, de tels rapports à l’erreur incitent les futurs enseignants à considérer l’erreur comme étant inhérente au processus de construction des connaissances.

Tableau 18 : Sous-grille d’analyse du critère C3

Catégorie Unités de sens

Connaissances de l’élève

Rapports constructivistes

à l’erreur

- concept de volume non expliqué correctement dans les classes antérieures

- manque de précision dans l’énoncé de la tâche - manque de connaissances sur le concept de volume

Caractéristiques de l’élève

Rapports traditionnels à

l’erreur

- manque de concentration et d’attention - manque de pratique

- manque de compréhension et de logique - refus de réfléchir

La sous-grille d’analyse du critère C4 est présentée dans le tableau 19. Elle se base sur deux

modalités d’analyse. Le premier niveau d’analyse concerne les registres de représentation et comporte deux catégories. La catégorie « visualisation » indique que le futur enseignant projette de centrer son intervention sur ce registre de représentation. La catégorie « raisonnements » pourrait indiquer quant à elle une intention de centrer l’intervention sur

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un raisonnement le plus souvent déductif. Ces registres de représentation pourraient contribuer à mettre à jour les dimensions épistémiques des rapports aux savoirs des futurs enseignants. Cette dimension est appréhendée à travers le modèle d’articulation visualisation-raisonnements. Le deuxième niveau d’analyse concerne les styles d’interventions privilégiés par les futurs enseignants. Deux catégories empruntées à DeBlois et Squalli (2002) sont prises en compte dans cette analyse : « style explicatif » et « style interrogatif/constructif ». La catégorie « style explicatif » indique que le futur enseignant projette de structurer son intervention autour des explications à fournir aux élèves. Elle pourrait se fonder sur la conviction d’une transparence des savoirs mathématiques qu’il suffirait d’expliquer de la meilleure manière pour que les élèves comprennent. La catégorie « style interrogatif/constructif » montre que le projet d’intervention vise à « suggérer des manipulations et des questions à l’élève » et « solliciter l’élève à anticiper, puis à expérimenter » (DeBlois et Squalli, 2002:222).

Tableau 19 : Sous-grille d’analyse du critère C4

Catégorie Registres de représentation Modalités d’articulation visualisation- raisonnements Styles d’intervention Visualisation Modalité 0 Modalité 1 Modalité 2 Modalité 3 Explicatif Interrogatif/constructif Raisonnements

Ces analyses visent à mettre à jour l’actualisation des rapports aux savoirs lors de la formation à l’interprétation. Dans le cas des analyses avec savoirs de formation, la mise à contribution des savoirs de formation sera analysée comme une valorisation de ces savoirs. Une telle valorisation sera interprétée comme une influence de la posture de l’étudiant. En effet, en adoptant cette posture, le futur enseignant serait plus ouvert aux nouvelles pratiques. L’analyse de chaque cas se conclura par un bilan dans lequel une interprétation des rapports aux savoirs est proposée. Cette interprétation est fondée sur le modèle de DeBlois (2012). 2.4.2.3 Activité mathématique par la résolution de problèmes de recherche

L’analyse de l’activité mathématique déployée lors de cette résolution de problèmes par chaque futur enseignant s’est faite à travers une grille représentée par le tableau 20.

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Tableau 20 : Grille d’analyse de la résolution des problèmes Catégorie

Visualisation

Construction des dessins

à main levée

avec des instruments classiques Utilisation des

dessins

illustration

exploration explication

appui pour aider à démontrer

Raisonnement Inductif Analogique Déductif

Cette grille d’analyse vise à mettre à jour la dimension épistémique des rapports aux savoirs des futurs enseignants à travers le modèle des modalités d’articulation visualisation- raisonnements. Les modalités 0 et 1 seraient un indicateur du fait que les savoirs visés par la formation à l’activité mathématique sont peu valorisés. Par contre, les modalités 2 et 3 pourraient indiquer que le futur enseignant accorde de l’importance à ses savoirs.

Il sera alors possible de comparer ces rapports aux savoirs à ceux ressortant du questionnaire et des analyses de productions d’élèves. Cette comparaison pourrait mettre en lumière soit une conservation, soit au contraire une transformation de ces rapports aux savoirs. Finalement, un bilan de ces analyses sera effectué. Ce bilan comportera une interprétation des rapports aux savoirs par le modèle des interprétations des préoccupations des futurs enseignants (DeBlois, 2012). Ce modèle permet de prendre appui sur les postures adoptées par les futurs enseignants afin d’interpréter l’actualisation de leurs rapports aux savoirs. 2.3.2.4 Planification

L’analyse d’une planification commence par l’indication du concept en jeu et des savoirs préalables jugés nécessaires pour un apprentissage de ce concept. Le fait pour le futur enseignant de préciser ou non les savoirs préalables pourrait révéler la valeur qu’il accorde au savoir de formation sur le nouveau modèle de planification illustré par la figure 14. L’analyse se poursuit par une description des situations qui structurent la planification. Nous distinguons deux types de situations. Il y a d’une part des « situations d’apprentissage » visant la construction de connaissances nouvelles et d’autre part des « situations d’évaluation » visant à s’assurer de l’acquisition de savoirs déjà étudiés.

L’analyse des planifications s’effectue par l’entremise d’une grille composée de trois sous- grilles. La première, représentée par le tableau 21, est relative à l’analyse des situations

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d’apprentissage. La première catégorie de cette sous-grille concerne le « type de situation d’apprentissage » planifiée par le futur enseignant. Elle permet de distinguer deux sous-catégories. La première renvoie aux « situations de révision » qui visent à amener l’élève à se remémorer un savoir déjà appris (Araya-Chacòn, 2008). Elles se traduisent en général par des rappels faits par l’enseignant à partir d’indications proposées aux élèves. La seconde sous-catégorie concerne des situations offrant aux élèves une occasion de réapprendre le sens d’un concept (Perrin-Glorian, 1992). Ce travail de réapprentissage est permis par le caractère dynamique du système didactique et peut déboucher sur la création de nouvelles connaissances (Araya-Chacòn, 2008). Dans le cadre de cette thèse, de telles situations sont appelées « situation de reconstruction » plutôt que « situation de rappel » comme le propose Perrin-Glorian (1992) afin d’éviter toute confusion avec les situations de révision. Les catégories « intention didactique », « action », « dévolution », « formulation » et « institutionnalisation » sont empruntées à Brousseau (2003). L’expression d’une intention didactique est susceptible de mettre à jour le type de compréhension visée par le futur enseignant. Cette compréhension est appréhendée selon le modèle de Bergeron et Herscovics (1988).

Tableau 21 : Sous-grille d’analyse d’une situation d’apprentissage

Catégorie

Type de situation d’apprentissage

Révision Reconstruction Intention didactique Type de compréhension

Action Dévolution Formulation Validation Institutionnalisation

La deuxième sous-grille représentée par le tableau 22 concerne l’analyse des « situations d’évaluations ». Elle comporte deux catégories : « type de situation » et « intention didactique. La catégorie « intention didactique » se définit de la même manière que dans le tableau 21. La catégorie « type de situation d’évaluation » se compose deux sous-catégories : « exercice » et « problème ». La catégorie « exercice » indique que la situation comporte essentiellement des tâches visant l’application directe des savoirs visés par la situation d’apprentissage préalable. La catégorie « situation-problème » indique que la situation implique de mobiliser d’autres savoirs en plus de ceux qui sont visés par la situation d’apprentissage préalable.

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Tableau 22 : Sous-grille d’analyse d’une situation d’évaluation

Catégorie Intention didactique Type de situation d’évaluation Exercice Situation-problème

La réalisation des situations d’apprentissage et d’évaluation implique des exigences qu’il convient d’analyser. L’analyse des exigences de ces situations s’inspire de DeBlois (2014)43

et permet de révéler les modalités d’articulation visualisation-raisonnements que la réalisation des situations implique. Elle s’effectue selon la sous-grille représentée par le tableau 23. La catégorie « visualisation » se décompose en deux sous-catégories : « construction » et « utilisation ». La sous-catégorie « construction » indique si la situation exige la construction de dessins. La sous-catégorie « utilisation » indique si les dessins construits doivent être mis à contribution pour réaliser la situation. Lorsqu’une utilisation des dessins est requise, il conviendra alors de préciser le type d’utilisation à travers le modèle des appréhensions des dessins de Duval (1994). La catégorie « raisonnements » se décompose en trois sous-catégories : « analogie », « induction » et « déduction ».

Tableau 23 : Grille d’analyse des exigences des tâches d’une situation d’apprentissage ou d’évaluation

Catégorie

Visualisation Raisonnements

Construction Utilisation Analogie Induction Déduction

L’analyse de chaque planification se conclut par la mise à jour des rapports aux savoirs du futur enseignant. Les préoccupations du futur enseignant pendant la planification permettront d’interpréter leurs rapports aux savoirs à partir des postures qu’il a adoptées à la lumière du modèle de DeBlois (2012).

2.3.2.5 Réalisation

L’analyse des réalisations des interventions porte sur les situations mises en scène par le futur enseignant. Afin de se centrer sur l’activité du futur enseignant, chaque situation est subdivisée en évènements remarquables (Leutenegger, 2000). Chaque évènement remarquable correspond soit à un moment d’interactions entre le futur enseignant et un élève ou un groupe d’élèves, soit à un moment où le futur enseignant s’adresse à l’ensemble de la classe. Le découpage en évènements remarquables vise donc à permettre un suivi pas-à-pas

43 _{Ces analyses s’inspirent d’un cours de didactique des mathématiques intitulé : « Analyse des exigences des tâches} mathématiques et sens des erreurs » donné par Lucie DeBlois à la session été 2014 à l’Université Laval.

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du déroulement de la situation. Chaque évènement remarquable est analysé selon la grille représentée par le tableau 24.

Tableau 24 : Grille d’analyse des évènements remarquables issus des réalisations d’interventions

Catégorie

Adaptations Contrat didactique Contrat expérimental Temps didactique Accélération

Ralentissement

La catégorie « adaptations » renvoie au modèle développé par DeBlois et Maheux (2005). Elle permet d’identifier les postures adoptées par les futurs enseignants en se basant sur les travaux de Ndolly (2012) et de Douamba (2015). La catégorie « contrat didactique » renvoie aux travaux de Brousseau (1988b; 2003), de Novotná et Hošpesoná (2009, 2007). Cette catégorie permet de mettre en lumière les effets de contrat didactique privilégiés. La catégorie « contrat expérimental » (Schubauer-Leoni, 1986) permet de prendre en compte le contexte particulier des interventions en particulier, le fait que le futur enseignant n’est ni le titulaire de la classe ni un stagiaire. Son activité pourrait donc être tributaire d’un contrat expérimental (Schubauer-Leoni, 1986) pouvant se nouer entre lui et les élèves. La catégorie « temps didactique » (Mercier, 2008) permet d’indiquer comment le futur enseignant peut s’illustrer par une préoccupation pour une accélération du temps didactique. L’articulation de ces cadres théoriques permet de décrire et d’expliquer l’actualisation des rapports aux savoirs des futurs enseignants. L’analyse des interventions se conclura par une interprétation articulée selon le modèle de DeBlois (2012).