Contenu de la séquence de formation

Trois chapitres ont été présentés au cours de la séquence de formation comme l’indique le tableau 6.

Tableau 6 Contenu de la séquence de formation

Chapitre 1 : Formation à l’interprétation

Section 1 : description des démarches géométriques des élèves

Section 2 : analyse des erreurs des élèves Chapitre 2 :

Formation à l’activité mathématique

Section 1 : visualisation

Section 2 : articulation visualisation/raisonnements

Chapitre 3 : Formation à l’intervention

Section 1 : planification selon le modèle classique Section 2 : planification selon un nouveau modèle Section 3 : préparation à la réalisation de l’intervention

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Chacun de ces chapitres correspond à une composante de la formation à l’étude. Le chapitre 1 est relatif à la formation à l’interprétation par l’analyse des productions d’élèves. Il a pour objectif de présenter aux futurs enseignants quelques concepts de la didactique des mathématiques afin de les outiller pour analyser des productions d’élèves. À cet effet, il est subdivisé en deux parties dénommées « section 1 » et « section 2 ». La section 1 concerne la présentation de savoirs de formation pouvant être mis à contribution pour décrire les démarches géométriques des élèves :

- les paradigmes géométriques (Houdement et Kuzniak, 1998); - le modèle des appréhensions des figures (Duval, 1994);

- les différents types de raisonnements (Bkouche, 2002; Polya, 1965);

- les analyses séquentielle et structurelle d’un raisonnement (Cabassut, 2005).

Le modèle des paradigmes géométriques permet aux futurs enseignants de donner un sens aux erreurs des élèves. Le modèle des appréhensions des figures est susceptible d’aider les futurs enseignants à expliquer la manière dont sont utilisés les dessins dans les démarches géométriques des élèves. Les futurs enseignants pouvaient aussi décrire les types de raisonnements pour lesquels les élèves optent dans leurs démarches. Ils pouvaient par la suite analyser ces démarches soit de manière séquentielle, soit de manière structurelle (Cabassut, 2005). La section 2 concerne la présentation d’un cadre théorique permettant l’analyse des erreurs des élèves. Ce cadre théorique, illustré par le tableau 7 de DeBlois (2011).

Tableau 7 : Hypothèses sur l'origine des erreurs des élèves (DeBlois, 2011:211)

Interactions élève-tâche sous l’influence du contexte

- climat scolaire, sentiment d’appartenance à l’école et de la relation enseignant-élève

- histoire du développement du concept (obstacle épistémologique)

Interaction entre l’élève et la tâche sous l’influence des connaissances des élèves

- familiarisation des élèves avec la tâche - caractéristiques de la tâche

- proximité avec des notions connues

- contrat didactique (règles ou habitudes empêchant la construction de nouvelles connaissances)

- obstacles didactiques

Influence de certaines caractéristiques de l’apprenant

- alternance développement et apprentissage - mouvements entre attention et concentration

- facteurs de risque : dépression, distorsions cognitives (dyscalculie, acalculie, etc.)

Les erreurs des élèves y sont analysées à travers le prisme des interactions entre l’élève et la tâche dans le contexte de la classe. Dans la perspective définie par ce modèle, « l’influence

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de certaines caractéristiques de l’apprenant » n’est évoquée que dans des cas très particuliers du fait que l’enseignant n’y a en général que très peu de prise (DeBlois, 2011:207). Avec ce cadre théorique, les futurs enseignants disposaient d’un outil pouvant être mis à contribution pour « qualifier les procédures des élèves » (DeBlois, 2011:199). Il pourrait alors leur être possible d’élaborer des stratégies d’intervention sur « le concept mathématique en portant une attention aux manières de trouver une solution » (p.199). Le chapitre 1 visait donc des savoirs sur les raisonnements et sur les erreurs des élèves en géométrie, en particulier ceux relatifs à l’analyse des erreurs.

Le chapitre 2 est relatif à la formation à l’activité mathématique et a été l’occasion de mettre en lumière les registres de représentation requis dans l’apprentissage de la géométrie selon Duval (2005). Il est subdivisé en deux sections. La section 1 porte sur la visualisation et les futurs enseignants ont pu discuter :

- de la distinction entre figure/dessin (Laborde et Capponi, 1994); - de la méthode de l’exemple générique (Arsac, 2004);

- des figures contre-exemples (Cabassut, 2010; Hauchecorne, 2007); - des preuves sans mots (Nielsen, 1993);

- de l’importance des conjectures (Popper et al., 2006).

Cette section a été l’occasion de tenter de réhabiliter la visualisation comme outil de preuve en géométrie. En effet, bien que la visualisation ait réapparu dans les programmes de géométrie post réforme des mathématiques modernes, les futurs enseignants pourraient hésiter à s’y référer du fait de l’influence des cours de mathématiques universitaires. La distinction « figure/dessin » pourrait contribuer à cette ré-affirmation du rôle essentiel de la visualisation dans l’activité géométrique. Il s’agira par la suite de faire prendre conscience aux futurs enseignants du fait que les démarches géométriques mettent en œuvre la méthode de l’exemple générique basée sur la visualisation. Un travail sur les figures contre-exemple dans lesquels la visualisation tient lieu de démonstration et sur les preuves sans mot participe également à cette dynamique de revalorisation de la visualisation. Une réflexion sur la recherche des lieux géométriques a permis de compléter ce travail, car cette activité permet de recourir à la visualisation pour aider à conjecturer. Dans la section 2 de ce chapitre, il a été question d’un des aspects fondamentaux de la formation à l’étude : l’articulation entre visualisation et raisonnements en géométrie. Cette section a offert l’occasion aux futurs enseignants de discuter sur :

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- la différence entre explication, preuve et démonstration (Balacheff, 1988);

- les difficultés d’apprentissage du concept d’angle (Berthelot et Salin, 1996; Tanguay, 2015);

- l’apprentissage raisonné des formules (Janvier, 1997);

- les difficultés d’apprentissage du concept d’aire (Douady et Perrin-Glorian, 1989; Perrin-Glorian, 1990);

- les difficultés d’apprentissage du concept de volume (Cabassut, 2002; Janvier, 1997); - le calcul de ces grandeurs par découpage et recollement (Perrin, 2006).

Le chapitre 2 visait à favoriser une reconnexion des futurs enseignants à la géométrie du secondaire. Pour cela, nous nous sommes situés dans l’approche préconisée par le rapport Kahane sur la géométrie (Duperret, Perrin, et Richeton, 2001; Duperret, 2001; Perrin, 2000). Ainsi, l’accent a été mis sur l’utilisation des invariants36 _{de la géométrie. Au moins deux}

raisons peuvent justifier ce choix. D’abord du point de vue mathématique, Perrin (2003) explique que l’utilisation de ces invariants s’inscrit dans la logique du programme d’Erlangen. Toujours selon ce même point de vue, Pressiat (2009) a montré le rôle essentiel joué par les invariants géométriques dans la construction des mathématiques. D’un point de vue didactique, il s’agissait d’amener les futurs enseignants à comprendre la nécessité d’utiliser une réflexion sur ces invariants comme tremplin pour faire apprendre la géométrie (DeBlois, 2011). Ce travail a permis de mettre en œuvre l’articulation entre visualisation et raisonnement notamment à travers la méthode de découpage et recollement (Perrin, 2006). Cette méthode permet, entre autres, de donner un sens aux formules d’aire et de volume comme l’illustre la figure 14 pour le cas de l’aire d’un disque. Elle peut également être mise à contribution pour généraliser la propriété de la somme des angles d’un triangle au cas des polygones. Les savoirs visés par ce chapitre portent donc sur la mise en œuvre d’une articulation entre visualisation et raisonnements pour résoudre des problèmes.

Figure 14 : Découpage et recollement d’un disque (Cabassut, 2002 : 22)

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Le chapitre 3 concerne la formation à l’intervention et se subdivise en trois sections. Dans la section 1, le modèle traditionnel de planification proposée dans les instructions officielles de l’Institut Pédagogique National (IPN) du Gabon a été rappelé aux futurs enseignants. Selon ce modèle, planifier consiste à produire une fiche de préparation qui se décline en 5 phases :

1) rappel et vérification des prérequis c’est-à-dire des savoirs nécessaires à la compréhension des concepts qui seront vus dans la leçon;

2) annonce des objectifs exprimés en termes de capacités attendus de l’élève;

3) manipulation et recherche : phase dans laquelle les élèves doivent découvrir le concept à l’étude à travers des activités de découverte;

4) synthèse et institutionnalisation : phase au cours de laquelle l’enseignement énonce les définitions et les propriétés qui seront notées dans le cahier de l’élève;

5) exercice et systématisation : phase au cours de laquelle les savoirs institutionnalisés seront évalués.

Cette présentation a été suivie par un questionnement à travers lequel le chercheur souhaitait amener les participants à cerner les limites de ce mode de planification notamment le peu de place laissée à la prise en compte des erreurs des élèves.

Dans la section 2, un modèle non linéaire de planification alternatif dû à Barry (2011) et résumé par la figure 15 a été présenté aux futurs enseignants.

Figure 15 : Modèle de planification inspiré de Barry (2011:10)

La présentation de ce modèle avait pour but d’enrichir le modèle traditionnel. En effet, non seulement ce modèle intègre tous les aspects du modèle traditionnel, mais il permet en plus de prendre en compte les erreurs des élèves notamment à travers les considérations didactiques. À cette occasion, les futurs enseignants pouvaient mobiliser les savoirs sur les erreurs des élèves appris dans le chapitre 1 notamment sur la manière de prendre en compte les erreurs lors de la planification d’une intervention. À la fin de cette section, les futurs enseignants pourraient donc disposer de savoirs pouvant leur permettre de planifier différemment.

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La section 3 concerne une formation à la réalisation en classe d’une intervention planifiée. Elle a consisté essentiellement sur les manières de conduire un dialogue pédagogique en classe afin de permettre la co-construction des connaissances par les élèves (Lampert et al., 2012; Ball et Forzani, 2009; Bouchard, 1999). La mise en œuvre de cette séquence de formation a permis la collecte des données dont le dispositif est décrit dans la sous-section suivante.