Sections des fibr´es en droites

ce qui prouve le corollaire.

5. Sections des fibr´es en droites

Le th´eor`eme de Riemann–Roch nous permet de calculer la dimension de l’espace des sections des fibr´es en droites amples (cf. 3.6). Nous allons maintenant nous int´eresser au cas g´en´eral ; on rappelle (prop. IV.1.6, p. 40) qu’une condition n´ecessaire pour qu’un fibr´e en droites Lait une section non nulle est qu’il soit positif (mais cette condition n’est pas suffisante).

5. SECTIONS DES FIBR ´ES EN DROITES 75

Th´eor`eme 5.1. — SoientX un tore complexe etLun fibr´e en droites surX. NotonsXL

le tore complexe X/K(L)⁰ (cf. th. 4.2) et pla surjection canoniqueX → X_L. Ou bien H⁰(X, L) = 0, ou bien il existe un fibr´e en droitesampleLsurXL tel quepinduise des isomorphismes

p^∗L'L et H⁰(X_L, L)'H⁰(X, L).

D´emonstration. — EcrivonsX = V /Γ et notons N le noyau de c₁(L); on aK(L)⁰ = N/Γ ∩N (loc.cit.). On peut supposer que L a une section non nulle. Il lui correspond (V.2.1, p. 53) une fonction thˆeta normalis´ee de forme de Riemann c1(L), qui par la pro-position IV.1.8, p. 40, provient d’une fonction thˆeta non d´eg´en´er´ee sur XL dont on note D le diviseur. Le fibr´e en droites L = OX_L(D)est ample (il a une section non nulle et sa premi`ere classe de Chern est non d´eg´en´er´ee) et v´erifieL = p^∗L. Comme l’application p^∗: Pic(XL) → Pic(X)est injective (utiliser cor. 5.8, p. 61 et prop. 4.6.b)),Lne d´epend pas du choix de la section deL. L’application injectiveH⁰(XL, L) → H⁰(X, L)est donc surjective.

5.2. — SoientLetM des fibr´es en droites sur un tore complexeX de dimensiong. L’ex-pressionpf tc1(L) +c1(M)

est un polynˆome de degr´e au plusgentque l’on notePL,M(t).

Lemme 5.3. — SiL est positif etM ample, le polynˆomeP_L,M est de degr´edimX_L, `a coefficients positifs, `a racines r´eelles strictement n´egatives et de coefficient directeur plus grand quedimH⁰(X, L).

D´emonstration. — Posonsω =c1(M). Comme la forme hermitienneH associ´ee `aωest d´efinie positive, il existe une base complexeBdeV dans laquelle cette matrice est l’identit´e, tandis que la matriceDde la forme hermitienne (positive) associ´ee `a c1(L)est diagonale, de coefficients diagonauxa₁, . . . , a_gpositifs dont exactementdimK(L)⁰sont nuls. Puisque ω(x, iy) = ReH(x, y), la matrice deωdans la base r´eelle(B, iB)deV est

0 Ig

−Ig 0

, tandis que celle dec₁(L)est

0 D

−D 0

. SiP est la matrice de passage d’une base deΓ`a la base(B, iB), on a

PL,M(t) = pf(tc1(L) +c1(M)) =|d´et(P)| Y

a_j6=0

(taj+ 1).

Il reste `a montrer la minoration du coefficient directeur dePL,M. On peut bien sˆur supposer queLa une section non nulle. Soitnun entier positif ; on a

P_L,M(n) = dimH⁰(X, L^⊗n⊗M) par le th´eor`eme de Riemann–Roch et 3.6

≥ dimH⁰(X, L^⊗n) carM a une section non nulle (th. 2.2)

= dimH⁰(XL, L^⊗n) par exerc. VI.4.a) et th. 5.1

= pf(nc1(L)) par le th´eor`eme de Riemann–Roch

= n^dimXLpf(c1(L))

= n^dimXLdimH⁰(XL, L)

= n^dimXLdimH⁰(X, L), ce qui termine la d´emonstration du lemme.

Proposition 5.4. — SoientX un tore complexe etLetM des fibr´es en droites positifs tels queL⊗M soit ample etdimK(L)⁰+ dimK(M)⁰<dimX. On a

dimH⁰(X, L⊗M)≥dimH⁰(X, L) + dimH⁰(X, M).

Les hypoth`eses de la proposition sont v´erifi´ees par exemple siLetM sont amples etX non nul.

D´emonstration. — L’expression Q(a, b) = pf ac1(L) +bc1(M)

est un polynˆome ho-mog`ene de degr´eg= dimX. Le lemme 5.3 montre que pour tout entierbstrictement positif,

P_Lb,L⊗M^b(a) =Q(ab+ 1, b) =b^gQ(a+¹_b,1)

est un polynˆome ena`a coefficients positifs ; il en est donc de mˆeme deQ(a,1). Son degr´e et son coefficient directeur sont les mˆemes que ceux deQ(a+ 1,1) =P_L,L⊗M(a), donn´es par le lemme. On en d´eduit

Q(a, b) =λa^g−dimK(L)0b^dimK(L)0+· · ·+µa^dimK(M)0b^g−dimK(M)0,

avecλ≥dimH⁰(X, L). On obtient aussiµ≥dimH⁰(X, M)en ´echangeant les rˆoles deL et deM. Sig−dimK(L)⁰>dimK(M)⁰, on aQ(1,1)≥λ+µ, d’o`u la proposition.

6. Vari´et´es ab´eliennes

D´efinition 6.1. — On appellepolarisation sur un tore complexeX une forme de K¨ahler enti`ere surX. On appellevari´et´e ab´elienneun tore complexe sur lequel existe une polarisa-tion etvari´et´e ab´elienne polaris´eeun couple(X, ω), o`uXest une vari´et´e ab´elienne etωune polarisation surX.

On peut ´enoncer les remarques de 3.6 ainsi :pour qu’un tore complexe soit une vari´et´e ab´elienne, il faut et il suffit qu’il admette un plongement holomorphe dans un espace projectif.

Un th´eor`eme de Chow ([GH, p. 167]) dit que toute sous-vari´et´e complexe compacte d’un espace projectif est une sous-vari´et´e alg´ebrique projective, c’est-`a-dire qu’elle est d´efinie par des ´equations polynomiales (homog`enes). Une vari´et´e ab´elienne est donc un groupe

6. VARI ´ET ´ES AB ´ELIENNES 77

alg´ebrique(le mˆeme th´eor`eme de Chow entraˆıne que les op´erations de groupe sont des ap-plications r´eguli`eres) qui est une vari´et´e projective.

Une polarisationωsur un tore complexeX = V /Γest une formeR-bilin´eaire altern´ee surV enti`ere surΓqui v´erifieω(ix, iy) =ω(x, y)etω(x, ix)>0pour toutxnon nul et tout y dansV (cf.III.5.3, p. 35). On peut aussi la voir comme la premi`ere classe de Chern d’un fibr´e en droites ampleLsurX, ou encore, par 4.3, comme la donn´ee d’un fibr´e en droites ample surX d´efini`a translation pr`es. Le morphismeϕL:X →X, son noyauˆ K(L)et la formee^L ne d´ependent que deω(cf.4.3 et 4.4) ; on les notera aussiϕω,K(ω)ete^ω. De la mˆeme fac¸on, la racine carr´ee du degr´e deϕ_Lne d´epend que deω(c’est son pfaffien par th. 4.2) ; on la notedeg(ω).

Tout multiple entier strictement positif d’une polarisation est encore une polarisation. Sur une vari´et´e ab´eliennetr`es g´en´erale(au sens de l’exercice VII.1, p. 102), toutes les pola-risations sont proportionnelles (cf.exerc. VII.1, p. 102, et exerc. VI.15) ; en revanche, il peut parfaitement exister sur une vari´et´e ab´elienne donn´ee des polarisations non proportionnelles (exerc. VI.11).

SoitX une vari´et´e ab´elienne ; tout tore complexe isog`ene `aX est une vari´et´e ab´elienne.

En particulier, le tore dualXˆ est une vari´et´e ab´elienne appel´ee vari´et´e ab´elienne duale deX.

Tout sous-tore deXest une vari´et´e ab´elienne (la restriction au sous-tore d’un fibr´e en droites ample surXest ample) ; tout tore quotient deXest une vari´et´e ab´elienne (il est isog`ene `a un sous-tore deXˆ).

Soient (X, ωX) et (Y, ωY) des vari´et´es ab´eliennes polaris´ees ; les classes de K¨ahler enti`eres ωX etωY permettent de d´efinir une classe de K¨ahler enti`ere surX ×Y que l’on note ω_X ×ω_Y et que l’on appelle polarisation produit. Notons pr_X: X ×Y → X et prY: X ×Y → Y les projections ; siLX (resp.LY) est un fibr´e en droitesamplesurX (resp. surY) qui repr´esente la polarisation, le fibr´e en droitespr^∗_XLX ⊗pr^∗_YLY (que l’on note parfoisL_XL_Y) est ample surX×Y et repr´esente la polarisation produit.

6.2. — Un cas particulier important de polarisation est celui o`u la formeωest unimodulaire sur le r´eseauΓ(c’est-`a-dire que son pfaffien vaut1) ; on dit que la polarisation estprincipale, et que(X, ω)est unevari´et´e ab´elienne principalement polaris´ee. Le morphismeϕ_ω:X → Xˆ associ´e est alors un isomorphisme (th. 4.2) ; siLest un fibr´e en droites de premi`ere classe de Chernω, le th´eor`eme de Riemann–Roch entraˆıne que le syst`eme lin´eaire|L|a un seul

´el´ement, que l’on note souventΘ, et que l’on appelle undiviseur thˆeta. Il n’est d´efini par la polarisation qu’`a translation pr`es (cf.4.3) ; pour queΘ_x = Θ, il faut et il suffit quex soit nul.

Proposition 6.3. — Toute vari´et´e ab´elienne est isog`ene `a une vari´et´e ab´elienne principale-ment polaris´ee. Plus pr´ecis´eprincipale-ment, pour tout fibr´e en droites ampleLsur une vari´et´e ab´elienne X, il existe une vari´et´e ab´elienneY, un fibr´e en droites ampleMd´efinissant une polarisation principale surY et une isog´enieu:X →Y tels queL'u^∗M.

D´emonstration. — SoientX = V /Γ une vari´et´e ab´elienne et ω une polarisation sur X.

Prenons une base(γ₁, . . . , γ_2g)deΓdans laquelle la matrice deωest comme dans la propo-sition 1.1. SoitΓ⁰le r´eseau deV engendr´e parγ1/d1, . . . , γg/dg, γg+1, . . . , γ2g. La forme de K¨ahlerωest enti`ere unimodulaire surΓ<sup>0</sup>donc d´efinit une polarisation principale sur le tore Y =V /Γ<sup>0</sup>. La surjection canoniqueX →Y est une isog´enie. SoitLun fibr´e en droites sur X de premi`ere classe de Chernω; soitM un fibr´e en droites surY de premi`ere classe de Chernω. Les fibr´es en droitesLetu^∗M ont mˆeme classe de Chern ; comme ils sont amples, il existe (cf.4.3) un pointxdeX tel queL'τ_x^∗(u^∗M). Commeτ_x^∗(u^∗M)'u^∗(τ_u(x)^∗ M), cela d´emontre la proposition.