Fonctions m´eromorphes sur les tores complexes

admissible deDetxun point deUα; on d´ecomposehαen produit hα=f_α,x,1ⁿ¹ · · ·f_α,x,r^nr ,

o`u lesfα,x,jsont des fonctions holomorphes dans un voisinageUα,xdex, irr´eductibles non associ´ees deux `a deux dansOX,x, et o`u lesnjsont des entiers strictement positifs. On v´erifie que la famille(Uα,x, fα,x,1· · ·fα,x,r)est admissible, donc repr´esente un diviseur que l’on noteD<sub>red</sub>, et qui a mˆeme support queD. Montrons qu’il est r´eduit. SoitD<sup>0</sup>un diviseur dont le support contient celui deDred; toute ´equation locale deD<sup>0</sup> s’annule sur le lieu des z´eros defα,x,j, donc est divisible parfα,x,jpar le Nullstellensatz local pour les id´eaux principaux (qui d´ecoule facilement du th´eor`eme de pr´eparation de Weierstrass ;cf.[GR, th. 18, p. 90]), donc par leur produit. On en d´eduit queD⁰−Dredest effectif.

Il d´ecoule de la d´emonstration que pour qu’un diviseur effectifDsur une vari´et´e complexe connexe soit r´eduit, il faut et il suffit que, pour toute repr´esentation(Uα, hα)deDet tout point xdeUα, le germe dehαenxsoit produit d’irr´eductibles distincts dansOX,x.

2.6. — On dit qu’un diviseur effectif sur une vari´et´e complexe connexeX estirr´eductible si on ne peut pas l’´ecrire comme somme de deux diviseurs effectifs non nuls (en dimension 1, les diviseurs irr´eductibles correspondent aux points). Si un diviseurDdeXs’´ecrit

D=n₁D₁+· · ·+n_rD_r,

o`uD<sub>1</sub>, . . . , D<sub>r</sub>sont des diviseurs irr´eductibles deux `a deux distincts et o`u les n<sub>j</sub> sont des entiers relatifs, cette d´ecomposition est unique (cela se montre encore en utilisant le th´eor`eme de pr´eparation de Weierstrass ;cf.[I, p. 106)].

On montre qu’une telle d´ecomposition existe toujours sur une vari´et´e complexe connexe compacte⁽¹⁾; on a alorsD_red=D₁+· · ·+D_r, de sorte queDest r´eduit si et seulement si tous lesnjsont ´egaux `a1, et le groupeDiv(X)est le groupe ab´elien libre sur l’ensemble des diviseurs irr´eductibles deX.

3. Fonctions m´eromorphes sur les tores complexes

Nous pouvons maintenant montrer notre r´esultat principal. Rappelons qu’`a toute fonction thˆetaϑrelative `a un r´eseauΓdans un espace vectorielV, on peut associer un diviseur effectif sur le tore complexeV /Γ(exemple 2.2.2)).

Th´eor`eme 3.1. — Tout diviseur effectif sur un tore complexe est le diviseur d’une fonction thˆeta.

D´emonstration. — SoientDun diviseur effectif sur le tore complexeX =V /Γet(U_α, h_α) une description admissible deD. Soitπ:V →X la surjection canonique ; on suppose que chaque composante connexe deπ⁻¹(Uα)est convexe et ne rencontre aucun de ses translat´es

1. Nous montrerons cette propri´et´e de fac¸on ´el´ementaire dans l’exerc. VI.7, p. 85, dans le cas particulier des tores complexes, qui est le seul que nous utiliserons.

parΓr{0}. Les fonctionshαsont holomorphes, de sorte que les formesωαβ=dlog(hα/hβ) alors une2-forme ferm´ee surXsans terme de type(0,2)qui, par la proposition III.4.3, p. 33, est cohomologue `a une forme constanteη, sans terme de type(0,2)puisqu’elle est obtenue en moyennant . Il existe donc une1-formeω0surX telle que

dωα=η+dω0

de sorte que, quitte `a multiplierf_α par une constante dans chaque composante connexe de π⁻¹(Uα), les fonctionse^−fαπ^∗hαse recollent en une fonction holomorpheϑsurV. Il reste

`a v´erifier que c’est une fonction thˆeta. Or on a dansπ⁻¹(Uα)l’´egalit´e logϑ(z+γ)

ce qui montre par int´egration queϑest une fonction thˆeta avecaγ(z) = 1 2iπ

P

j`j(γ)zj. 3.2. — En particulier, on peut associer `a tout diviseur effectifDsur un tore complexe une unique fonction thˆeta normalis´eeϑdont il est le diviseur ; on appelletypedu diviseurDle type(H, α)deϑ(cf.1.5). La formeHest positive (prop. 1.6) et elle n’est nulle que siDest nul (cf.1.7). La proposition 2.3 nous permet aussi d’associer un type `a tout diviseur, mais il n’est pas claira prioriqu’il soit bien d´efini. Nous reviendrons sur ce point en V.5.11, p. 63.

3. FONCTIONS M ´EROMORPHES SUR LES TORES COMPLEXES 45

Corollaire 3.3. — Tout fonction m´eromorphe non nulle sur un tore complexe est quotient de deux fonctions thˆeta de mˆeme type.

D´emonstration. — Soitf une fonction m´eromorphe non nulle sur un tore complexeX de revˆetement universelπ:V →X. ´Ecrivons son diviseur comme diff´erence de diviseurs effec-tifsD₁etD₂(prop. 2.3). Soitϑune fonction thˆeta de diviseurD₂. La fonctionϑ(f◦π)est alors holomorphe surV (car son diviseur,D1, est effectif) ; c’est une fonction thˆeta de mˆeme type queϑ.

Corollaire 3.4. — SoientX un tore complexe etu:X →Pⁿune application holomorphe.

Il existe des fonctionsϑ₀, . . . , ϑ_n, soit nulles, soit thˆeta normalis´ees de mˆeme type, sans z´ero commun, telles que

u(x) = (ϑ0(x), . . . , ϑn(x)) pour toutxdansX.

D´emonstration. — On peut supposer, quitte `a supprimer des coordonn´ees pour se placer dans un espace projectif plus petit, que l’image deun’est contenue dans aucun des hyperplans xj= 0.

Comme on l’a vu dans l’exemple 2.2.1), pour chaquej ∈ {0, . . . , n}, l’´equationxj = 0 d´efinit un diviseur effectif surPⁿet, de la mˆeme fac¸on, l’´equationx_j◦u= 0d´efinit un di-viseur effectifD_jsurX. Soitϑ₀une fonction thˆeta normalis´ee de diviseurD₀(th. 3.1). Pour chaquej, la fonctionϑj = _x^xj◦u

0◦u

ϑ0est de diviseurDj, qui est effectif. Elle est donc holo-morphe. Comme la fonction m´eromorphe ^x_x^j◦u

0◦u estΓ-p´eriodique, la fonction holomorpheϑ_j est une fonction thˆeta de mˆeme type queϑ₀(donc en particulier normalis´ee) et le morphisme uest d´efini par(ϑ0, . . . , ϑn)(avec l’abus de notation de I.3.1, p. 8).

Corollaire 3.5. — SoitX un tore complexe. On suppose qu’il existe une application holo-morpheu: X →Pⁿ et un pointxdeX tel queu⁻¹(u(x))soit fini. Il existe une forme de K¨ahler enti`ere surX.

D´emonstration. — Il existe d’apr`es le corollaire pr´ec´edent des fonctions thˆeta normalis´ees ϑ0, . . . , ϑnde mˆeme type, sans z´ero commun, telles queusoit d´efini par la relationu(x) = (ϑ<sub>0</sub>(x), . . . , ϑ<sub>n</sub>(x)). Soientωla forme de Riemann commune desϑ<sub>j</sub>etNson noyau. Comme une fibre deuest finie, il r´esulte de 1.7 queNest nul et queωest une forme de K¨ahler enti`ere surX.

Corollaire 3.6. — Soit X un tore complexe. Il existe un tore complexe X_ab (appel´e ab´elianis´edeX) et une surjection holomorpheρ: X→X_abtels que

a) il existe surXabune forme de K¨ahler enti`ere ;

b) toute application holomorphe deXdans un espace projectif se factorise `a traversρ; c) le morphisme ρ induit un isomorphisme entre les corps de fonctions m´eromorphes

M(Xab)etM(X);

d) le morphismeρinduit⁽²⁾un isomorphisme entre les groupesDiv(Xab)etDiv(X).

D´emonstration. — SoitN l’intersection des noyaux des formes de Riemann de toutes les fonctions thˆeta sur X. Il existe des fonctions thˆeta ϑ1, . . . , ϑr telles que l’intersection des noyaux de leurs formes de Riemannω1, . . . , ωrsoitN. La forme de Riemann de la fonction thˆetaϑ₁· · ·ϑ_restω₁+· · ·+ω_ret, comme les formesω₁, . . . , ω_rsont positives, son noyau est N. Par la proposition 1.8, l’imageΓabdeΓdansVab=V /N est un r´eseau. On poseXab= Vab/Γab. Il est clair queωinduit une forme de K¨ahler enti`ere surXab, ce qui montre a).

Comme on l’a vu dans le corollaire 3.5, toute application holomorpheu: X → Pⁿ est donn´ee par des fonctions thˆeta normalis´ees de mˆeme type, donc de mˆeme forme de Riemann ω. Par construction, le noyau deωcontientN, etuse factorise par le quotientρ: X→Xab, ce qui montre b).

Par le corollaire 3.3, toute fonction m´eromorphe f sur X est quotient de deux fonc-tions thˆeta de mˆeme type, que l’on peut supposer normalis´ees. Celles-ci proviennent deXab

(prop. 1.8), donc aussif, ce qui montre c).

Enfin, tout diviseurDdeX s’´ecritD1−D2, avecD1etD2effectifs (prop. 2.3) ; il existe par le th´eor`eme 3.1 des fonctions thˆetaϑ₁ etϑ₂, que l’on peut supposer normalis´ees, de diviseurs respectifsD1etD2. Comme ci-dessus, celles-ci proviennent deXab, donc aussiD, ce qui montre d).

Nous verrons dans le th´eor`eme VI.7.2, p. 78, que l’extensionM(X) = M(X_ab)deC est de type fini et que son degr´e de transcendance est la dimension deXab(comparer avec la situation en dimension1;cf.exerc. II.8, p. 22).

Les seules fonctions m´eromorphes sur un tore complexetr`es g´en´eralde dimension au moins2sont les constantes (son ab´elianis´e est nul ;cf.exerc. IV.4).

Exercices

IV.1. — Montrer que toute fonction thˆeta qui ne s’annule en aucun point est une fonction thˆeta triviale au sens de l’exemple 1.2.1) (Indication :montrer quelogϑ(z) =O(1 +kzk²)).

IV.2. — SoientΓun r´eseau dans un espace vectoriel complexeV etHune forme hermitienne surV dont la partie imaginaire est enti`ere surΓ. Montrer qu’il existe une applicationα: Γ→U(1)qui v´erifie (8).

IV.3. — a) Montrer que toute fonction thˆeta est ´equivalente `a une fonction thˆeta telle quea = _2i¹H(cf.1.5) (Indication :montrer que la formeQ = a− _2i¹H estC-bilin´eaire sym´etrique et consid´erer la fonctionz 7→

e^−iπQ(z,z)ϑ(z)).

b) Montrer que toute fonction thˆeta est ´equivalente `a une fonction thˆeta normalis´ee (Indication :montrer que γ 7→ Im bγ − ¹₂a(γ, γ)

s’´etend en une formeR-lin´eaire`de V dansRet consid´erer la fonction z 7→

e−2iπ(`(iz)+i`(z))ϑ(z)).

2. Une application holomorphesurjectiveu:X→Y entre vari´et´es complexes connexes induit une application u^∗: Div(Y)→Div(X)de la fac¸on suivante : si(Uα, hα)est une description d’un diviseurDdeY, on d´efinit l’image inverseu^∗Dcomme le diviseur deXassoci´e `a la famille (admissible)(u⁻¹(Uα), hα◦u)(on a besoin de la surjectivit´e deupour assurer quehα◦un’est identiquement nulle dans aucune composante connexe deu⁻¹(Uα)).

EXERCICES 47

IV.4. — Montrer que sur un tore complexetr`es g´en´eral(au sens de l’exercice III.3, p. 36) de dimension au moins2, toute fonction thˆeta est triviale et toute fonction m´eromorphe est constante.

CHAPITRE V

FIBR ´ ES EN DROITES, COHOMOLOGIE DES FAISCEAUX ET PREMI ` ERE CLASSE DE CHERN

Nous faisons maintenant le lien entre les approches des deux chapitres pr´ec´edents : soient X un tore complexe etu:X → Pⁿ un plongement. Nous avons construit une forme de K¨ahlerωenti`ere surXde deux fac¸ons : au chapitre III, nous avons consid´er´e l’image inverse parude la forme de Fubini-Study deP<sup>n</sup>, tandis qu’au chapitre IV, nous avons montr´e que u ´etait donn´e par des fonctions thˆeta de mˆeme type, et nous avons pris pourω leur forme de Riemann commune. Il s’agit maintenant de relier les deux constructions. Cela se fait en introduisant la notion de fibr´e en droites : il existe surP<sup>n</sup>un fibr´e en droites not´eOP<sup>n</sup>(1). Les fonctions thˆeta d´efinissantu(approche du chapitre IV) correspondent alors aux sections du fibr´e en droitesu<sup>∗</sup>OP<sup>n</sup>(1), tandis que la forme diff´erentielleu<sup>∗</sup>ω<sub>F S</sub>(approche du chapitre III) repr´esente la premi`ere classe de Chern de ce fibr´e.

1. Fibr´es en droites

SoitXune vari´et´e complexe connexe.

D´efinition 1.1. — Un fibr´e en droites surX consiste en la donn´ee d’une vari´et´e complexe Let d’une application holomorphep: L → X, telles qu’il existe un recouvrement ouvert (U_α)deXet des isomorphismesψ_α:p⁻¹(U_α)→U_α×Ctels que, pour toutαet toutβ, la compos´eeψαψ⁻¹_β : (Uα∩Uβ)×C→(Uα∩Uβ)×Csoit donn´ee par

(x, t)7−→(x, gαβ(x)t),

o`ugαβest une fonction holomorphe surUα∩Uβqui ne s’annule pas.

Une section (holomorphe) de ce fibr´e est une application holomorphes: X→Ltelle que p◦s= IdX.

On dit queLest trivialis´e sur le recouvrement(Uα). Des fibr´es en droitesp:L →X et p⁰: L⁰ → X sontisomorphess’il existe un isomorphismeu: L → L⁰ tel que p⁰◦u = p, qui soitlin´eaire sur les fibres. Cela signifie que surUα, on a (on suppose que les fibr´es sont

trivialis´es sur le mˆeme recouvrement) u ψ_α⁻¹(x, t)

=ψ⁰_α⁻¹(x, hα(x)t),

o`uhα est une fonction holomorphe surUα qui ne s’annule pas. On d´efinit la section nulle s0d’un fibr´e en droitesp: L→X en posants0(x) =ψ_α⁻¹(x,0)pour toutxdansUα. Les sections deLforment un espace vectoriel dont l’origine ests₀; on le noteΓ(X, L).

Siu: X→Y est une application holomorphe etp:L→Y un fibr´e en droites, on d´efinit le fibr´eu^∗LsurXpar

u^∗L={(x, l)∈X×L|u(x) =p(l)}

avec la premi`ere projection u<sup>∗</sup>L → X. Il y a une application lin´eaire Γ(u) : Γ(Y, L) → Γ(X, u<sup>∗</sup>L)qui, `a une sectionsdeL, associe la sectionx7→(x, s(u(x)))deu^∗L.

Exemples 1.2. — 1) La premi`ere projectionX ×C → X est un fibr´e en droites dont les sections correspondent aux fonctions holomorphes surX. Un fibr´e en droites est dit trivial s’il est isomorphe `a ce fibr´e. Pour qu’un fibr´e en droites soit trivial, il faut et il suffit qu’il admette une section jamais nulle (c’est-`a-dire dont l’image ne rencontre pas l’image de la section nulle).

2) SoitW un espace vectoriel complexe ; on peut construire un fibr´e en droitesL→PW dont la fibre au-dessus d’un pointxdePW est la droite`xdeWquexrepr´esente, en posant

L={(x, v)∈PW ×W |v∈`x};

au-dessus de l’ouvert standardU_α(d´efini apr`es choix d’une base deW), l’ensembleLest d´efini dansUα×W par les ´equationsvβ =vαxβ, pour toutβ 6=α; c’est donc une vari´et´e complexe. L’isomorphismeψαde la d´efinition est donn´e par

ψα(x, v) = (x, vα), avec ψ_β⁻¹(x, t) = (x, t_x^x

β), de sorte quegαβ(x) =xα/xβ, pourx∈Uα∩Uβ. Ce fibr´e est not´eOPW(−1).

3) SoitX une vari´et´e complexe connexe de dimensionn; on peut construire un fibr´e en droites surX dont la fibre au-dessus d’un pointxdeX est l’espace vectoriel des formes de type(n,0)(c’est-`a-dire lesn-formesC-multilin´eaires altern´ees) sur l’espace tangent `aXen x. On note ce fibr´e en droitesωXet on l’appelle lefibr´e canoniquedeX.

1.3. — Etant donn´e un fibr´e en droites´ p: L → X, on peut reconstruire la vari´et´eLet le morphismep`a partir de la donn´ee desfonctions de transitiong_αβ: onrecollelesU_α×C en identifiant le point(x, t)deUβ×Cavec le point(x, gαβ(x)t)deUα×Cpour toutxdans Uα∩Uβ et touttdansC. On peut mˆeme tout simplement oublierLetpetd´efinir un fibr´e en droites surXcomme la donn´ee d’un recouvrement ouvert(Uα)deXet de fonctions

1. FIBR ´ES EN DROITES 51

de transitionsgαβ, holomorphes et qui ne s’annulent pas surUα∩Uβ, v´erifiant⁽¹⁾ gαα=gαβgβγgγα= 1.

On d´efinit alors leduald’un fibr´e en droites(Uα, gαβ)comme le fibr´e(Uα,1/gαβ). On d´efinit le produit tensoriel de fibr´es en droites (Uα, gαβ) et(Uα, hαβ) (on peut toujours prendre les mˆemes recouvrements) comme le fibr´e(U_α, g_αβh_αβ). Ces op´erations permettent de munir l’ensemble des fibr´es en droites surXd’une structure de groupe, qui passe au quo-tient pour munir l’ensemble des classes d’isomorphisme de fibr´es en droites sur X d’une structure de groupe. On appelle le groupe ainsi obtenu le groupe de PicarddeX et on le note⁽²⁾Pic(X).

Exemple 1.4. — SoitWun espace vectoriel complexe ; on noteOPW(1)le dual du fibr´e en droitesOPW(−1)d´efini dans l’exemple 1.2.2). Pour tout entierrpositif, on pose

OPW(r) =OPW(1)^⊗r et OPW(−r) =OPW(−1)^⊗r.

On peut montrer que l’on obtient ainsi tous les fibr´es en droites sur la vari´et´ePW(ex. 5.7.1)) ; son groupe de Picard est donc isomorphe `aZ. L’espace vectoriel des sections deOPW(m) est nul pourm <0et isomorphe `a l’espace vectoriel des polynˆomes homog`enes de degr´em surW pourm≥0(cf.exerc. V.1). En particulier, l’espace vectoriel des sections deOPW(1) est isomorphe `aW^∗.

Une sectionsd’un fibr´eLdonn´e sous la forme(U_α, g_αβ)consiste en la donn´ee de fonc-tions holomorphessαsurUαqui v´erifientsβ=gαβsβ.

A tout diviseur` D surX, on associe un fibr´e en droites not´e OX(D): siD est d´ecrit par la famille admissible (U<sub>α</sub>, h<sub>α</sub>), le fibr´e OX(D)est d´efini par les fonctions de transi-tiongαβ =hα/hβ. On d´efinit ainsi un morphisme de groupesDiv(X)→ Pic(X)dont le noyau est exactement le groupe des diviseurs principaux. Le fibr´eOX(D)admet une section m´eromorphe non identiquement nulle correspondant `a la donn´ee des hα; cette section est holomorphe siDest effectif.

Inversement, siLest un fibr´e en droites surXavec une section m´eromorphesnon identi-quement nulle, lesgαβ=sα/sβsont des fonctions m´eromorphes qui d´efinissent un diviseur not´eD= div(s)tel queL'OX(D); il est effectif sisest holomorphe.

1.5. — Ainsi,l’applicationD 7→OX(D)induit un isomorphisme entre le groupe des divi-seurs modulo les dividivi-seurs principaux et le groupe des classes d’isomorphisme de fibr´es en droites surX admettant une section m´eromorphe non nulle.

1. Mˆeme si on fixe le recouvrement(Uα), lesgαβd´ependent du choix des trivialisationsψα: on peut toujours multiplier leur deuxi`eme composante par une fonction holomorphegαqui ne s’annule pas, etgαβ devient alors gαβg_α

g_β.

2. LorsqueXest une courbe elliptique, ce groupe est bien le mˆeme que le groupe d´efini au§II.3 (utiliser la correspondance 1.5).

Pour tout diviseurDsurX, on a

(10) Γ(X,OX(D))' {f ∈M(X)|f = 0 ou div(f) +D≥0}

(comparer avec (5), p. 18, en dimension1). En effet, si(Uα, hα)est une repr´esentation deD, etf une fonction m´eromorphe surXtelle quediv(f) +Dsoit effectif, la fonctionf h_αest holomorphe surUα(d´ef. 2.1.c), p. 41), et ces fonctions d´efinissent une section deOX(D). In-versement, `a toute section deOX(D)d´ecrite par une famille(sα)de fonctions holomorphes, on associe la fonction m´eromorphefd´efinie parsα/hαsurUα.

Soit L un fibr´e en droites sur X; on note|L| l’ensemble des diviseurs (effectifs) des sections holomorphes non nulles deL, c’est-`a-dire l’image de l’application PΓ(X, L) → Div(X). On l’appelle lesyst`eme lin´eaireassoci´e `aL. Le quotient de deux sections qui ont le mˆeme diviseur est une fonction holomorphe qui ne s’annule pas.SiX est compacte, l’appli-cationdiv : PΓ(X, L)→ |L|est donc bijective.

SoitDun diviseur surX. On ´ecrit|D|au lieu de|OX(D)|; c’est l’ensemble des diviseurs effectifs deX lin´eairement ´equivalents `aD.

On en vient maintenant `a un point extrˆemement important : le lien entre morphismes de Xvers un espace projectif et fibr´es en droites surX.

Soitu: X → PW une application holomorphe. On lui associe le fibr´e en droitesL = u^∗OPW(1)et l’application lin´eaire

Γ(u) :W^∗'Γ PW,OPW(1)

−→Γ(X, L)

dont on note l’imageΓ. Une section deOPW(1)s’annule sur un hyperplan ; son image par Γ(u)est nulle si et seulement si u(X)est contenu dans cet hyperplan. En particulier, pour queΓ(u)soit injective, il faut et il suffit queu(X)ne soit contenu dans aucun hyperplan.

1.6. — Inversement, si on se donne un fibr´e en droitesL→X et un espace vectorielΛde dimension finie de sections deL, on d´efinit une application m´eromorpheψΛ: X 99K PΛ^∗ (not´ee aussi ψ_L lorsque Λ = Γ(X, L)) en associant `a un pointx de X l’hyperplan des sections dans Λ nulles enx. Cette application n’est pas d´efinie en les points en lesquels toutes les sections dansΛs’annulent (on les appelle lespoints basesdeΛ). Si l’on choisit une base(s0, . . . , sr)deΛ, on a aussi

u(x) = s0(x), . . . , sr(x) ,

´etant entendu que lessj(x)sont calcul´es via une trivialisation deL; le point deP^robtenu est ind´ependant du choix de cette trivialisation.

Ces deux constructions sont inverses l’une de l’autre. En particulier, les applications ho-lomorphes deXvers un espace projectif dont l’image n’est contenue dans aucun hyperplan correspondent aux syst`emes lin´eaires de dimension finie sans point base surX.

2. CONSTRUCTION DE FIBR ´ES EN DROITES SUR LES TORES COMPLEXES 53

2. Construction de fibr´es en droites sur les tores complexes

Nous allons maintenant construire des fibr´es en droites sur un tore complexeX =V /Γ; nous montrerons plus loin (th. 5.10) que cette construction les donne en faittous.

Une fac¸on naturelle de construire un fibr´e en droitesL→Xest de partir de la projection V ×C→V (c’est-`a-dire du fibr´e trivial surV) et de quotienter par une action deΓ. Il faut queΓagisse de la fac¸on habituelle (par translation) surV et lin´eairement surC; en d’autres termes, qu’il agisse par

(11) (z, t)·γ= (z+γ, eγ(z)t),

o`ue_γ:V →C^∗est une fonction holomorphe. La condition pour que l’on ait bien une action est que les fonctionseγ (appel´eesmultiplicateurs) v´erifient les relations

e_γ1+γ2(z) =e_γ1(z+γ₂)e_γ2(z) pour tousγ1etγ2dansΓet toutzdansV.

Etant donn´ee une fonction thˆeta quelconque´ ϑ, on remarque que les quanti´ese_γ(z) = ϑ(z+γ)/ϑ(z)satisfont cette condition. En particulier, pour tout type (H, α) de fonction thˆeta normalis´ee (cf.IV.1.5, p. 39), on a des multiplicateurs

e_γ(z) = ϑ(z+γ)

ϑ(z) =α(γ)e^{πH(γ,z)+π2H(γ,γ)},

donc un fibr´e en droites⁽³⁾(V ×C)/Γ →V /ΓsurX, que l’on noteraL(H, α). On v´erifie que l’on a des isomorphismes

(12) L(H1, α1)⊗L(H2, α2)'L(H1+H2, α1α2).

2.1. — SoitΠ : V ×C →L(H, α)la surjection canonique. `A toute sectionsdeL(H, α) on associe une fonction holomorpheϑ_s:V →Cen d´efinissantϑ_s(z)comme l’unique com-plexe tel queΠ(z, ϑs(z)) =s(π(z)). CommeΠ(z+γ, ϑs(z+γ)) = Π(z, ϑs(z)), on a

ϑ_s(z+γ) =e_γ(z)ϑ_s(z) =α(γ)e^{πH(γ,z)+π2H(γ,γ)}ϑ_s(z).

On construit ainsi un isomorphisme entre l’espace vectoriel des sections deL(H, α)et l’en-semble des fonctions thˆeta normalis´ees de type(H, α).

La proposition IV.1.6, p. 40, entraˆıne que siL(H, α)a une section holomorphe non nulle, la formeHest positive (on calculera dans le th´eor`eme VI.2.2, p. 67, la dimension de l’espace vectorielΓ(X, L(H, α))lorsqueHest d´efinie positive).

SiL(H, α)a une sectionm´eromorphenon nulle, son diviseurprovientde l’ab´elianis´e XabdeX (cor. IV.3.6.d), p. 45), donc aussiL(H, α).

3. On munit le quotient(V ×C)/Γd’une structure de vari´et´e complexe en proc´edant comme en I.2.1, p. 6.

3. Faisceaux

La th´eorie des faisceaux permet de formaliser de fac¸on maniable plusieurs des notions d´efinies dans les num´eros pr´ec´edents, en particulier celle de fonction m´eromorphe, celle de diviseur (d´ef. IV.2.1, p. 41) ainsi que la d´efinition de 1.3 des fibr´es en droites par des fonctions de transition. Elle nous permettra aussi de d´efinir la notion importante de premi`ere classe de Chern d’un fibr´e en droites. Nous ne donnons qu’un bref aperc¸u de la th´eorie, renvoyant le lecteur avide de d´etails `a des ouvrages plus complets sur le sujet.

D´efinition 3.1. — SoitXun espace topologique. On appellefaisceauF surXla donn´ee

— pour chaque ouvertUdeX, d’un ensembleF(U);

— pour chaque inclusion d’ouvertsV ⊂U, d’une restrictionr_{V U}:F(U)→F(V); satisfaisant les conditions suivantes :

a) (restriction) pour toutes inclusionsW ⊂V ⊂U, on arW U =rW V ◦rV U; b) (recollement) si(U_α)est une famille d’ouverts d’unionU, et si l’on se donne

pour chaqueαun ´el´ementf_α deF(U_α)v´erifiantf_α|_Uα∩Uβ = f_β|_Uα∩Uβ, il existe un unique ´el´ementf deF(U)v´erifiantf|U_α=fαpour chaqueα.

Pour chaque ouvertU, on note aussi Γ(U,F)l’ensembleF(U); ses ´el´ements sont ap-pel´es lessectionsdeF surU. On rencontre fr´equemment des faisceaux de fonctions, pour

Pour chaque ouvertU, on note aussi Γ(U,F)l’ensembleF(U); ses ´el´ements sont ap-pel´es lessectionsdeF surU. On rencontre fr´equemment des faisceaux de fonctions, pour

Dans le document TORES ET VARI ´ET ´ES AB ´ELIENNES COMPLEXES (Page 49-0)