Intersection de sous-vari´et´es

s’identifie `a l’application

T0(A−a1)⊕ · · · ⊕T0(A−a2m) −→ T0hAi

(t₁, . . . , t_2m) 7−→ t₁−t₂+· · ·+t_2m−1−t_2m ce qui montre le lemme.

Lemme 1.3. — SoientXun tore complexe etAune sous-vari´et´e irr´eductible deX. SoitK un sous-tore deX tel que, pour toutag´en´eral (lisse) dansA, on aitT0K⊂T0(A−a). On aA+K=A.

D´emonstration. — Notonsp:X →X/K la surjection canonique et consid´erons la surjec-tionA→p(A)induite parp. Son application tangente est surjective en un point g´en´eralade A(cf.note 5, p. 106), ce qui entraˆıne

dimp(A) = dimA−dim T_aA∩KerT_ap

= dimA−dim TaA∩Ta(K+a)

= dimA−dimK, ce qui prouve le lemme.

Lemme 1.4. — SoientXun tore complexe,Aun espace analytique compact etGune sous-vari´et´e irr´eductible deX×A. On noteu:G→Ala seconde projection. Il existe un sous-tore KdeX tel que l’on aithu⁻¹(a)i=Kpourag´en´eral dansu(G).

D´emonstration. — Soita₀un point deu(G)tel que la dimension du toreK =hu⁻¹(a₀)i soitminimale. Notonsp: X → X/K la surjection canonique,G⁰ l’image deGpar la sur-jection(p,Id) :X ×A → (X/K)×Aetu⁰: G⁰ → u(G)l’application induite par la se-conde projection. La fibreu⁰⁻¹(a₀)est finie ; il s’ensuit que, pourag´en´eral dans u(G), la fibreu⁰⁻¹(a)est finie, de sorte quehu⁻¹(a)iest contenu dansK. Vu le choix dea0, on a

´egalit´e.

2. Intersection de sous-vari´et´es

SoientX un tore complexe etAetB des sous-vari´et´es irr´eductibles deX. Nous voulons

´etudier l’intersection deAavec un translat´e g´en´eral deB.

Proposition 2.1. — SoientX un tore complexe etAetBdes sous-vari´et´es irr´eductibles de X. Pourxg´en´eral dansX,

— soitA∩(B+x)est vide ;

— soitA∩(B+x)est de dimensiondimA+ dimB−dimX.

D´emonstration. — Consid´erons l’applicationδ:A×B →Xqui envoie(a, b)sura−b, de sorte que la projection surAinduit un isomorphisme deδ⁻¹(x)surA∩(B+x). L’image de δest une sous-vari´et´e deX. Siδn’est pas surjective, on est donc dans le premier cas ; si elle est surjective, une fibre g´en´erale est de dimensiondim(A×B)−dimX.

Notre but est maintenant de d´egager une condition n´ecessaire et suffisante pour que l’on soit dans le premier cas du lemme. On notera que pour queAne rencontre pas un translat´e g´en´eral deB, il faut et il suffit que l’on aitA−B6=X.

Th´eor`eme 2.2. — SoientX un tore complexe etAetB des sous-vari´et´es irr´eductibles de X. SoientKle plus grand sous-tore deXtel queA+B+K=A+Betp:X →X/Kla surjection canonique. On a

dim p(A) +p(B)

= dimp(A) + dimp(B).

D´emonstration. — On peut, en se plac¸ant dansX/K, supposer queA+Bn’est invariant par translation par aucun sous-tore non nul deX. Pour toutxdansA+B, posonsFx = A∩(x−B). NotonsGl’image deA×Bpar l’automorphisme

X×X −→ X×X (x, y) 7−→ (x, x+y)

etu:G → A+B l’application induite par la seconde projection, de sorte queu⁻¹(x) = Fx× {x}. Le lemme entraˆıne qu’il existe un sous-toreK⁰ deX tel quehFxi=K⁰ pourx g´en´eral dansA+B.

Soitxun point g´en´eral (lisse) de A+B. Pour touta(lisse) dansF_x, on a F_x−a ⊂ A+B−x, doncT0(Fx−a)⊂T0(A+B−x). Le lemme 1.2 entraˆıne

T0K⁰=T0hFxi ⊂T0(A+B−x),

d’o`uA+B=A+B+K<sup>0</sup>par le lemme 1.3. L’hypoth`ese faite entraˆıne queK⁰est nul, donc que les fibres g´en´erales deusont finies. Il s’ensuit queA×BetA+Bont mˆeme dimension, ce qui prouve le th´eor`eme.

Corollaire 2.3. — SoientX un tore complexe etAetBdes sous-vari´et´es irr´eductibles de X. Pour queAne rencontre pas un translat´e g´en´eral deB, il faut et il suffit qu’il existe un tore quotientY deXtel que

dimp(A) + dimp(B)<dimY, o`up:X →Y est la surjection canonique.

En particulier, deux sous-vari´et´es d’un toresimpledont la somme des dimensions exc`ede celle du tore se rencontrent toujours.

D´emonstration. — S’il existe un tore quotientY deX comme dans l’´enonc´e du th´eor`eme, la proposition 2.1 montre que pourxg´en´eral dansX, la vari´et´ep(A)ne rencontre pasp(B)+

p(x), de sorte queAne rencontre pasB+x.

Inversement, siAne rencontre pas un translat´e g´en´eral deB, on aA+ (−B) 6= X et, avec les notations du th´eor`eme 2.2, le tore quotientY =X/Kr´epond `a la question.

2. INTERSECTION DE SOUS-VARI ´ET ´ES 109

D´efinition 2.4. — On dit qu’une sous-vari´et´e irr´eductibleAd’un tore complexeX estnon d´eg´en´er´ee⁽⁶⁾si, pour tout sous-toreKdeX, on a

dim(A+K) = min(dimA+ dimK,dimX).

On peut dire de fac¸on ´equivalente queAest non d´eg´en´er´ee si pour tout tore quotientY de X, on adimp(A) = min(dimA,dimY), o`up:X →Y est la surjection canonique.

Exemples 2.5. — 1) Pour qu’une courbe irr´eductible dans un tore soit non d´eg´en´er´ee, il faut et il suffit qu’elle l’engendre. Pour qu’une hypersurface irr´eductible D d’un tore soit non d´eg´en´er´ee, il faut et il suffit que le fibr´e en droites associ´e OX(D)soit ample (cf. VI.3.6, p. 71).

2) Toute sous-vari´et´e irr´eductible d’un toresimpleest non d´eg´en´er´ee.

Corollaire 2.6. — SoientX un tore complexe etAetBdes sous-vari´et´es irr´eductibles de X.

a) SiAest non d´eg´en´er´ee, on a

dim(A+B) = min(dimA+ dimB,dimX).

b) SiAetBsont non d´eg´en´er´ees,A+Bl’est aussi.

D´emonstration. — On suppose doncAnon d´eg´en´er´ee. Avec les notations du th´eor`eme 2.2, on a

dim(A+B) = dim p(A) +p(B)

+ dimK

= dimp(A) + dimp(B) + dimK

= min(dimA,dim(X/K)) + dimp(B) + dimK

≥min(dimA,dim(X/K)) + max(dimB,dimK)

≥min(dimA+ dimB,dim(X/K) + dimK), ce qui montre a).

SiBest aussi non d´eg´en´er´ee, on a pour tout sous-toreKdeX, en utilisant a), dim(A+B+K) = min(dimA+ dim(B+K),dimX)

= min(dimA+ dimB+ dimK,dimA+ dimX,dimX)

≥min(dim(A+B) + dimK,dimX), ce qui montre b).

Corollaire 2.7. — SoientXunevari´et´e ab´elienneetAune sous-vari´et´e irr´eductible deX.

Pour queAsoit non d´eg´en´er´ee, il faut et il suffit queArencontre toute sous-vari´et´e deX de dimension≥dimX−dimA.

6. Cette notion a ´et´e introduite par Z. Ran dansOn subvarieties of abelian varieties, Invent. Math.62(1981), 459–479, o`u il utilise la terminologiegeometrically non-degenerate.

D´emonstration. — SiAest non d´eg´en´er´ee et queBest une sous-vari´et´e irr´eductible deXde dimension≥dimX−dimA, on aA−B=Xpar le corollaire pr´ec´edent doncA∩B 6=∅. Supposons inversement queAsoit d´eg´en´er´ee ; soitY un tore quotient deXtel quep(A)6=

Y, o`up:X →Y est la surjection canonique, etd= dimp(A)<dimA. L’intersectionB ded+ 1hypersurfaces tr`es amples g´en´erales de la vari´et´e ab´elienneY est une sous-vari´et´e deY de codimensiond+ 1qui ne rencontre pasp(A). On a doncA∩p⁻¹(B) =∅et

dimp⁻¹(B) = dimB+ dimX−dimY = dimX−d−1≥dimX−dimA, ce qui montre le corollaire.

Corollaire 2.8. — SoientX un tore complexe etAune sous-vari´et´e irr´eductible deX. On suppose que pour tout tore quotientY deX, on adimp(A)≥ ¹₂dimY, o`up: X →Y est la surjection canonique. Le morphismeπ₁(A)→π₁(X)induit par l’inclusion deAdansX est surjectif⁽⁷⁾.

Les hypoth`eses du corollaire sont v´erifi´ees lorsqueAest une sous-vari´et´e irr´eductible non d´eg´en´er´ee deX de dimension≥ ¹₂dimX.

D´emonstration. — Commeπ1(X)est un groupe ab´elien libre, il suffit de montrer que l’ap-plication compos´ee π₁(A) → π₁(X) → π₁(X)/nπ₁(X) est surjective pour tout entier n > 0, c’est-`a-dire que l’image inverse deApar l’isog´enie n: X → X est connexe⁽⁸⁾. SiA1etA2en sont des composantes irr´eductibles, on a, pour tout tore quotientY deX,

dimp(A1) + dimp(A2) = 2 dimp(A)≥dimY,

o`up:X → Y est la surjection canonique. Le corollaire 2.3 entraˆıne queA₁etA₂ se ren-contrent.