Fibr´es en droites

SoitXune vari´et´e complexe connexe.

D´efinition 1.1. — Un fibr´e en droites surX consiste en la donn´ee d’une vari´et´e complexe Let d’une application holomorphep: L → X, telles qu’il existe un recouvrement ouvert (U_α)deXet des isomorphismesψ_α:p⁻¹(U_α)→U_α×Ctels que, pour toutαet toutβ, la compos´eeψαψ⁻¹_β : (Uα∩Uβ)×C→(Uα∩Uβ)×Csoit donn´ee par

(x, t)7−→(x, gαβ(x)t),

o`ugαβest une fonction holomorphe surUα∩Uβqui ne s’annule pas.

Une section (holomorphe) de ce fibr´e est une application holomorphes: X→Ltelle que p◦s= IdX.

On dit queLest trivialis´e sur le recouvrement(Uα). Des fibr´es en droitesp:L →X et p⁰: L⁰ → X sontisomorphess’il existe un isomorphismeu: L → L⁰ tel que p⁰◦u = p, qui soitlin´eaire sur les fibres. Cela signifie que surUα, on a (on suppose que les fibr´es sont

trivialis´es sur le mˆeme recouvrement) u ψ_α⁻¹(x, t)

=ψ⁰_α⁻¹(x, hα(x)t),

o`uhα est une fonction holomorphe surUα qui ne s’annule pas. On d´efinit la section nulle s0d’un fibr´e en droitesp: L→X en posants0(x) =ψ_α⁻¹(x,0)pour toutxdansUα. Les sections deLforment un espace vectoriel dont l’origine ests₀; on le noteΓ(X, L).

Siu: X→Y est une application holomorphe etp:L→Y un fibr´e en droites, on d´efinit le fibr´eu^∗LsurXpar

u^∗L={(x, l)∈X×L|u(x) =p(l)}

avec la premi`ere projection u<sup>∗</sup>L → X. Il y a une application lin´eaire Γ(u) : Γ(Y, L) → Γ(X, u<sup>∗</sup>L)qui, `a une sectionsdeL, associe la sectionx7→(x, s(u(x)))deu^∗L.

Exemples 1.2. — 1) La premi`ere projectionX ×C → X est un fibr´e en droites dont les sections correspondent aux fonctions holomorphes surX. Un fibr´e en droites est dit trivial s’il est isomorphe `a ce fibr´e. Pour qu’un fibr´e en droites soit trivial, il faut et il suffit qu’il admette une section jamais nulle (c’est-`a-dire dont l’image ne rencontre pas l’image de la section nulle).

2) SoitW un espace vectoriel complexe ; on peut construire un fibr´e en droitesL→PW dont la fibre au-dessus d’un pointxdePW est la droite`xdeWquexrepr´esente, en posant

L={(x, v)∈PW ×W |v∈`x};

au-dessus de l’ouvert standardU_α(d´efini apr`es choix d’une base deW), l’ensembleLest d´efini dansUα×W par les ´equationsvβ =vαxβ, pour toutβ 6=α; c’est donc une vari´et´e complexe. L’isomorphismeψαde la d´efinition est donn´e par

ψα(x, v) = (x, vα), avec ψ_β⁻¹(x, t) = (x, t_x^x

β), de sorte quegαβ(x) =xα/xβ, pourx∈Uα∩Uβ. Ce fibr´e est not´eOPW(−1).

3) SoitX une vari´et´e complexe connexe de dimensionn; on peut construire un fibr´e en droites surX dont la fibre au-dessus d’un pointxdeX est l’espace vectoriel des formes de type(n,0)(c’est-`a-dire lesn-formesC-multilin´eaires altern´ees) sur l’espace tangent `aXen x. On note ce fibr´e en droitesωXet on l’appelle lefibr´e canoniquedeX.

1.3. — Etant donn´e un fibr´e en droites´ p: L → X, on peut reconstruire la vari´et´eLet le morphismep`a partir de la donn´ee desfonctions de transitiong_αβ: onrecollelesU_α×C en identifiant le point(x, t)deUβ×Cavec le point(x, gαβ(x)t)deUα×Cpour toutxdans Uα∩Uβ et touttdansC. On peut mˆeme tout simplement oublierLetpetd´efinir un fibr´e en droites surXcomme la donn´ee d’un recouvrement ouvert(Uα)deXet de fonctions

1. FIBR ´ES EN DROITES 51

de transitionsgαβ, holomorphes et qui ne s’annulent pas surUα∩Uβ, v´erifiant⁽¹⁾ gαα=gαβgβγgγα= 1.

On d´efinit alors leduald’un fibr´e en droites(Uα, gαβ)comme le fibr´e(Uα,1/gαβ). On d´efinit le produit tensoriel de fibr´es en droites (Uα, gαβ) et(Uα, hαβ) (on peut toujours prendre les mˆemes recouvrements) comme le fibr´e(U_α, g_αβh_αβ). Ces op´erations permettent de munir l’ensemble des fibr´es en droites surXd’une structure de groupe, qui passe au quo-tient pour munir l’ensemble des classes d’isomorphisme de fibr´es en droites sur X d’une structure de groupe. On appelle le groupe ainsi obtenu le groupe de PicarddeX et on le note⁽²⁾Pic(X).

Exemple 1.4. — SoitWun espace vectoriel complexe ; on noteOPW(1)le dual du fibr´e en droitesOPW(−1)d´efini dans l’exemple 1.2.2). Pour tout entierrpositif, on pose

OPW(r) =OPW(1)^⊗r et OPW(−r) =OPW(−1)^⊗r.

On peut montrer que l’on obtient ainsi tous les fibr´es en droites sur la vari´et´ePW(ex. 5.7.1)) ; son groupe de Picard est donc isomorphe `aZ. L’espace vectoriel des sections deOPW(m) est nul pourm <0et isomorphe `a l’espace vectoriel des polynˆomes homog`enes de degr´em surW pourm≥0(cf.exerc. V.1). En particulier, l’espace vectoriel des sections deOPW(1) est isomorphe `aW^∗.

Une sectionsd’un fibr´eLdonn´e sous la forme(U_α, g_αβ)consiste en la donn´ee de fonc-tions holomorphessαsurUαqui v´erifientsβ=gαβsβ.

A tout diviseur` D surX, on associe un fibr´e en droites not´e OX(D): siD est d´ecrit par la famille admissible (U<sub>α</sub>, h<sub>α</sub>), le fibr´e OX(D)est d´efini par les fonctions de transi-tiongαβ =hα/hβ. On d´efinit ainsi un morphisme de groupesDiv(X)→ Pic(X)dont le noyau est exactement le groupe des diviseurs principaux. Le fibr´eOX(D)admet une section m´eromorphe non identiquement nulle correspondant `a la donn´ee des hα; cette section est holomorphe siDest effectif.

Inversement, siLest un fibr´e en droites surXavec une section m´eromorphesnon identi-quement nulle, lesgαβ=sα/sβsont des fonctions m´eromorphes qui d´efinissent un diviseur not´eD= div(s)tel queL'OX(D); il est effectif sisest holomorphe.

1.5. — Ainsi,l’applicationD 7→OX(D)induit un isomorphisme entre le groupe des divi-seurs modulo les dividivi-seurs principaux et le groupe des classes d’isomorphisme de fibr´es en droites surX admettant une section m´eromorphe non nulle.

1. Mˆeme si on fixe le recouvrement(Uα), lesgαβd´ependent du choix des trivialisationsψα: on peut toujours multiplier leur deuxi`eme composante par une fonction holomorphegαqui ne s’annule pas, etgαβ devient alors gαβg_α

g_β.

2. LorsqueXest une courbe elliptique, ce groupe est bien le mˆeme que le groupe d´efini au§II.3 (utiliser la correspondance 1.5).

Pour tout diviseurDsurX, on a

(10) Γ(X,OX(D))' {f ∈M(X)|f = 0 ou div(f) +D≥0}

(comparer avec (5), p. 18, en dimension1). En effet, si(Uα, hα)est une repr´esentation deD, etf une fonction m´eromorphe surXtelle quediv(f) +Dsoit effectif, la fonctionf h_αest holomorphe surUα(d´ef. 2.1.c), p. 41), et ces fonctions d´efinissent une section deOX(D). In-versement, `a toute section deOX(D)d´ecrite par une famille(sα)de fonctions holomorphes, on associe la fonction m´eromorphefd´efinie parsα/hαsurUα.

Soit L un fibr´e en droites sur X; on note|L| l’ensemble des diviseurs (effectifs) des sections holomorphes non nulles deL, c’est-`a-dire l’image de l’application PΓ(X, L) → Div(X). On l’appelle lesyst`eme lin´eaireassoci´e `aL. Le quotient de deux sections qui ont le mˆeme diviseur est une fonction holomorphe qui ne s’annule pas.SiX est compacte, l’appli-cationdiv : PΓ(X, L)→ |L|est donc bijective.

SoitDun diviseur surX. On ´ecrit|D|au lieu de|OX(D)|; c’est l’ensemble des diviseurs effectifs deX lin´eairement ´equivalents `aD.

On en vient maintenant `a un point extrˆemement important : le lien entre morphismes de Xvers un espace projectif et fibr´es en droites surX.

Soitu: X → PW une application holomorphe. On lui associe le fibr´e en droitesL = u^∗OPW(1)et l’application lin´eaire

Γ(u) :W^∗'Γ PW,OPW(1)

−→Γ(X, L)

dont on note l’imageΓ. Une section deOPW(1)s’annule sur un hyperplan ; son image par Γ(u)est nulle si et seulement si u(X)est contenu dans cet hyperplan. En particulier, pour queΓ(u)soit injective, il faut et il suffit queu(X)ne soit contenu dans aucun hyperplan.

1.6. — Inversement, si on se donne un fibr´e en droitesL→X et un espace vectorielΛde dimension finie de sections deL, on d´efinit une application m´eromorpheψΛ: X 99K PΛ^∗ (not´ee aussi ψ_L lorsque Λ = Γ(X, L)) en associant `a un pointx de X l’hyperplan des sections dans Λ nulles enx. Cette application n’est pas d´efinie en les points en lesquels toutes les sections dansΛs’annulent (on les appelle lespoints basesdeΛ). Si l’on choisit une base(s0, . . . , sr)deΛ, on a aussi

u(x) = s0(x), . . . , sr(x) ,

´etant entendu que lessj(x)sont calcul´es via une trivialisation deL; le point deP^robtenu est ind´ependant du choix de cette trivialisation.

Ces deux constructions sont inverses l’une de l’autre. En particulier, les applications ho-lomorphes deXvers un espace projectif dont l’image n’est contenue dans aucun hyperplan correspondent aux syst`emes lin´eaires de dimension finie sans point base surX.