Application de Gauss

SoientX un tore complexe etAune sous-vari´et´e irr´eductible deX de dimensiond. En associant `a tout point lisseadeAl’espace tangent `aA−aen0, on d´efinit une application holomorphe

GA:Alisse−→G(d, T0X),

o`u G(d, T0X)d´esigne la grassmannienne des sous-espaces vectoriels de T0X de dimen-sion d. Rappelons (exerc. V.2, p. 63) que celle-ci est une vari´et´e complexe sur laquelle on a construit un fibr´e en droites not´e OG(d,T<sub>0</sub>X)(1) dont la fibre au-dessus d’un point correspondant `a un sous-espace T de T0X de dimension d est Vd

T^∗. On en d´eduit queGA^∗OG(d,T₀X)(1) est isomorphe au fibr´e canonique de la vari´et´e complexeAlisse (cf.

ex. 1.2.3), p. 50).

Proposition 4.1. — SoientX un tore complexe etAune sous-vari´et´e irr´eductible deX de dimensiond. NotonsKle plus grand sous-tore deXtel queA+K =Aetp:X →X/K la surjection canonique. On a

16. Voir l’article :Fortsetzung meromorpher Funktionen in Tori und Komplexprojektiven R¨aumen, Invent. Math 5(1968), 42–62.

17. Voir l’article :On the topology of complex projective manifolds, Invent. Math.19(1973), 251–260.

18. Voir l’article :Complex Subspaces of Homogeneous Complex Manifolds II. Homotopy Results, Nagoya Math.

J.86(1982), 101–129, qui conclut une s´erie de cinq articles, ainsi que l’article avec A. van de Ven :Homotopy Groups of Pullbacks of Varieties, Nagoya Math. J.102(1986), 79–90.

19. Voir l’article :Etale Cohomological Dimension and the Topology of Algebraic Varieties, Ann. of Math.137 (1993), 71–128.

20. Cela signifie queAest d´efinie localement dansXparcodimA´equations. Toute sous-vari´et´e lisse est locale-ment intersection compl`ete.

4. APPLICATION DE GAUSS 117

— l’application de Gauss deAse factorise en GA:Alisse

p

Alisse/K −−−−→^Gp(A) G(d−dimK, T0(X/K)) ,→ G(d, T0X) T 7→ (T0p)⁻¹(T),

— les fibres non vides g´en´erales de l’application de GaussGp(A)sont finies.

D´emonstration. — Consid´erons le graphe G de GA dans Alisse × G(d, T0X) et son adh´erence⁽²¹⁾GdansA×G(d, T0X). Posons∂G=GrGet notons

u:G−→G(d, T₀X) u:G−→G(d, T₀X) ∂u:∂G−→G(d, T₀X) les applications holomorphes induites par la seconde projection. Soitxun point g´en´eral de u(G). Siu(∂G) 6=u(G), on au⁻¹(x) = u⁻¹(x). Si au contraireu(∂G) = u(G), la fibre u⁻¹(x)est partout de dimensiondimG−dimu(G), tandis que sa sous-vari´et´e

u⁻¹(x)ru⁻¹(x) = (∂u)⁻¹(x)

est de dimension dim∂G−dimu(G). On en d´eduit que dans tous les casu⁻¹(x)est un ouvert dense deu⁻¹(x).

Par le lemme 1.4, il existe un sous-toreK⁰deXtel que

K⁰ =hu⁻¹(x)i=hu⁻¹(x)i=hGA⁻¹(x)i pourxg´en´eral dans l’image deGA. Par le lemme 1.2,

T0K⁰ = X

a∈GA⁻¹(x)

T0(GA⁻¹(x)−a)⊂ X

a∈GA⁻¹(x)

T0(A−a) = Πx,

o`uΠxest le sous-espace vectoriel deT0Xquexrepr´esente. En particulier,T0K<sup>0</sup>est contenu dansT0(A−a)pourag´en´eral dansA, d’o`uA = A+K⁰ par le lemme 1.3, etK⁰ ⊂K.

Notonsp⁰:X →X/K⁰la surjection canonique.

Il est clair que l’application de Gauss deAse factorise comme dans le th´eor`eme (avecK⁰

`a la place deK). Soitxun point g´en´eral dans l’image deGA; comme K⁰=hGA⁻¹(x)i=hp⁰⁻¹ G_p⁻¹0(A)(x)

i=p⁰⁻¹hG_p⁻¹0(A)(x)i, G_p⁻¹0(A)(x)est fini etKest ´egal `aK⁰.

On peut tirer de ce r´esultat la cons´equence suivante : si X est un tore complexe, toute sous-vari´et´e irr´eductible deXinvariante par translation par aucun sous-tore non nul deXest de type g´en´eral⁽²²⁾.

21. Il s’agit ici de l’adh´erence pour latopologie de Zariski, c’est-`a-dire l’intersection des sous-vari´et´es deA× G(d, T0X)qui contiennentG. D’autre part, je triche en supposant dans la suite queGest ouvert dans son adh´erence.

Ce n’est pas un probl`eme s´erieux :Gestconstructible(cf.[H, chap. II, exerc. 3.19]), donc contient un sous-ensemble ouvert et dense dansG.

22. LorsqueAest lisse, cela signifie que le fibr´e en droitesω^⊗r_A d´efinit (selon la proc´edure de V.1.6, p. 52), pour tout entierrassez grand, une application m´eromorphe

ψ_ω⊗r A

:A99KPH⁰(A, ω^⊗r_A )^∗

Nous allons maintenant voir que l’on peut pr´eciser ce r´esultat lorsqueAestlisse, en mon-trant queω_Aest alorsample.

SoientXun tore complexe,Aune sous-vari´et´e deXetBune sous-vari´et´e irr´eductible de Xcontenue dansAlisse. On pose

T(A, B) = [

b∈B

T0(A−b);

c’est une sous-vari´et´e deT0X.

Il nous sera utile d’´etendre cette d´efinition `a la situation plus g´en´erale suivante. Soient Aune vari´et´e irr´eductible compacte etBune sous-vari´et´e irr´eductible deAcontenue dans Alisse. Soitu:A→Xune application holomorphe dont la diff´erentielle est injective en tout point deB. On d´efinit une sous-vari´et´e deT0Xen posant

T(A, B) = [

b∈B

Im(T_bu),

o`u pour all´eger l’´ecriture, on a identifi´e l’espace tangent en chaque point deX `a l’espace vectorielT₀X au moyen d’une translation.

On remarquera que l’hypoth`ese entraˆıne⁽²³⁾que la diagonale

∆B={(a, b)∈A×B|a=b}

est ouverte dansA×XB; c’en est donc une composante connexe.

On peut aussi d´efinirT(A, B)en faisant intervenirl’´eclatement⁽²⁴⁾ε: ˆX →Xde0dans X. La vari´et´eXˆ est compacte lisse connexe ; l’application holomorpheεinduit un isomor-phisme entreε⁻¹(X r{0})etX r{0}, tandis que l’image inverse de0, appel´eediviseur exceptionnel, s’identifie `a l’espace projectifPT0X.

On remarque quePT(A, B)est l’ensemble des limites dansXˆ desu(a)−u(b), lorsque l’´el´ement ade Aet l’´el´ementb deB convergent vers le mˆeme point. En particulier, il est contenu dans l’intersection deε⁻¹ (u(A)−u(B))r{0}

avec le diviseur exceptionnel de Xˆ, de sorte que⁽²⁵⁾

(36) dimT(A, B)≤dim(u(A)−u(B)).

Le r´esultat suivant montre qu’il y a ´egalit´e.

dont l’image est de mˆeme dimension queA; c’est le cas en particulier lorsqueωAest ample, puisqu’alorsψ

ω^⊗r_A

est un plongement pourrassez grand. LorsqueAest singuli`ere, cela signifie qu’une d´esingularisation deAa cette propri´et´e (toutes les d´esingularisations l’ont alors).

23. La question est locale surA, que l’on peut donc supposer ˆetre une sous-vari´et´e lisse deX, auquel cas A×XB={(a, b)∈A×B|u(a) =u(b)}= ∆B.

24. Voir les pages 182 `a 184 de [GH] pour la construction de l’´eclatement d’un point dans une vari´et´e complexe.

25. Pour le lecteur familier avec les ´eclatements de sous-vari´et´es pas n´ecessairement lisses (cf.[H, p. 163]), on peut ˆetre plus pr´ecis. Siε⁰:A\×B→A×Best l’´eclatement deA×_XBdansA×B, on a par la propri´et´e

4. APPLICATION DE GAUSS 119

Th´eor`eme 4.2. — Soient X un tore complexe,A une vari´et´e irr´eductible compacte etB une sous-vari´et´e irr´eductible deAcontenue dans A_lisse. Soit u: A → X une application holomorphe dont la diff´erentielle est injective en tout point deB; on a

dimT(A, B) = dim(u(A)−u(B)).

D´emonstration. — Commenc¸ons par un lemme facile.

Lemme 4.3. — SoientCune courbe lisse compacte connexe,v:C →X une application holomorphe dont l’image est une courbe lisse etc0un point deCen lequel la diff´erentielle devest injective et telle queT(A, B)∩ImTc₀v={0}. La diff´erentielle de l’application

w: A×C −→ X

(a, c) 7−→ u(a)−v(c)

est injective en tout point deB× {c0}, etT(A×C, B× {c0})est le cˆone de sommet la droite ImTc₀vet de baseT(A, B).

D´emonstration. — Soitbun point deB. La diff´erentielle dewen(b, c0)est l’application T_bA×T_c0C −→ T₀X

(t, t⁰) 7−→ Tbu(t)−Tc₀v(t⁰)

Or l’image deTbuest contenue dansT(A, B); elle est donc en somme directe avec celle de Tc₀v. Il s’ensuit queT_(b,c0)west injective d’imageIm(Tbu)⊕Im(Tc₀v), ce qui prouve le lemme.

D´emontrons le th´eor`eme par r´ecurrence sur la codimension deu(A)−u(B), en suppo-sant d’abordu(A)−u(B) = X etT(A, B) 6= T<sub>0</sub>X. SoitC une courbe lisse compacte connexe avec une application holomorphev:C → X v´erifiant les propri´et´es suivantes (la construction peut se faire `a l’aide de techniques ´el´ementaires de g´eom´etrie alg´ebrique ; cf.

exerc. VIII.2) :

— la fibrev⁻¹(0)a deux points dont l’un,c0, en lequel la diff´erentielle devest injective d’image rencontrantT₀XrT(A, B);

— l’image devest une courbe lisse qui engendreX;

universelle des ´eclatements un diagramme commutatif

A\×B −→^δˆ Xˆ

ε⁰

 y

 yε

A×B −→ X

(a, b) 7−→ u(a)−u(b)

etPT(A, B)est l’image parδˆdu diviseur exceptionnel deε⁰qui domine∆_B. Cette interpr´etation permet d’ailleurs de d´efinirT(A, B)sous la seule hypoth`ese que∆B est une composante connexe deA×_XB; W. Fulton et R.

Lazarsfeld appellent les morphismesuqui ont cette propri´et´eweakly ramified alongB. Le th´eor`eme ci-dessous reste encore vrai sous cette condition plus faible, en particulier sans supposer queBest contenu dansAlisse;cf.

Fulton-Hansen and Barth-Lefschetz theorems for subvarieties of abelian varieties, J. reine angew. Math.467(1995), p. 191.

— vne se factorise par aucune isog´enie non trivialeXe →X. Le th´eor`eme 3.1 appliqu´e `a l’application surjective

A×B −→ X

(a, b) 7−→ u(a)−u(b)

et `a l’applicationv: C → X dont l’image engendreX et qui ne se factorise par aucune isog´enie non triviale, entraˆıne que

(A×B)×XC={(a, b, c)∈A×B×C|u(a)−u(b) =v(c)}

est connexe. Par le lemme, la diff´erentielle dew:A×C→Xest injective en tout point de B× {c0}, de sorte que

∆ ={(b, c0, b, c0)|b∈B}

est une composante connexe de (A×C)×X (B × {c0}), qui est l’ensemble des points (a, c, b, c₀)v´erifiant

w(a, c) =u(a)−v(c) =w(b, c0) =u(b)−v(c0) =u(b).

On vient de voir que cet ensemble est connexe ; il est donc ´egal `a∆. C’est absurde car il contient(b, c<sub>1</sub>, b, c<sub>0</sub>), o`uc₁est l’autre point dev⁻¹(0). On a donc bienT(A, B) =T₀X.

Supposons maintenantu(A)−u(B)6=X; on a alorsT(A, B)6=T₀Xpar (36) et on peut choisir une application holomorphev: C →X comme ci-dessus. On applique l’hypoth`ese de r´ecurrence au morphismew: A×C→X, dont la diff´erentielle est injective en tout point deB× {c0}. On adim(w(A×C)−w(B× {c0})) = dim(u(A)−u(B)) + 1et le lemme 4.3 donne

dimT(A×C, B× {c0}) = dimT(A, B) + 1, ce qui montre le th´eor`eme.

Corollaire 4.4. — SoientX un tore complexe etAune sous-vari´et´e irr´eductible deX. Si F est une sous-vari´et´e (ferm´ee !) irr´eductible de X contenue dans une fibre de GA, on a A+hFi=A.

D´emonstration. — Sous les hypoth`eses du corollaire,T(A, F)est de mˆeme dimension que A, et donc aussiA−F par le th´eor`eme. Cela entraˆıne queA−Fest un translat´e deA, d’o`u la conclusion.

Comme promis, on peut interpr´eter ce r´esultat de la fac¸on suivante :le fibr´e canonique d’une sous-vari´et´e lisse d’un tore complexe invariante par translation par aucun sous-tore

EXERCICES 121

non nul est ample⁽²⁶⁾. En effet, l’image inverseωAdu fibr´e ampleOG(d,T₀X)(1)par l’appli-cation finieGAest encore ample⁽²⁷⁾.

Exercices

VIII.1. — SoientXun espace analytique normal connexe etZune sous-vari´et´e deXdistincte deX.

a) Montrer que l’application canoniqueπ1(XrZ)→π1(X)est surjective (Indication :utiliser le fait que tout espace normal connexe est irr´eductible, puis la note 8, p. 110).

b) SiXest lisse etZde codimension au moins2, montrer que l’application canoniqueπ1(XrZ)→π1(X) est bijective (Indication :utiliser le th´eor`eme de puret´e ;cf.p. 112).

VIII.2. — Th´eor`eme de Bertini. SoientWun espace vectoriel complexe etXune sous-vari´et´e lisse connexe de PW. On rappelle que les hyperplans dePWsont param´etr´es par l’espace projectif dualPW^∗.

a) Montrer que la vari´et´e d’incidence

I={(x, H)∈X×PW^∗|x∈H} est lisse connexe.

b) Montrer que pourHg´en´eral dansPW^∗, la vari´et´eX∩Hest lisse de dimensiondimX−1(Indication : utiliser le r´esultat delissit´e g´en´eralementionn´e dans la note 5, p. 106).

c) On supposeXde dimension au moins2. Montrer que pour toutHdansPW^∗, la vari´et´eX∩Hest connexe (Indication :consid´erer la factorisation de Stein de la seconde projectionI→PW^∗et utiliser le fait quePW^∗est simplement connexe).

d) Soientxun point deXetUun ouvert dense deTxX; montrer queXcontient une courbe compacte lisse connexeC⁰passant parxdont l’espace tangent enxrencontreU.

e) SoientLle fibr´e en droitesOPW(1)etp:L→PWla surjection associ´ee. Montrer qu’il existe une section sdeL^⊗2qui s’annule sur une hypersurface lisse dePWrencontrant transversalementC⁰.

f) Construire une courbe lisse compacte connexeCavec une application holomorpheC →C⁰dont les fibres g´en´erales ont deux points, mais dont la diff´erentielle ne soit pas partout injective (Indication :consid´erer l’ensemble {`∈p<sup>−1</sup>(C<sup>0</sup>)|`^⊗2=s◦p(`)}).

g) SoientXune vari´et´e ab´elienne etUun ouvert dense deT0X. Construire une courbe lisse compacte connexe Cavec une application holomorphev:C→Xtelles que

– la fibrev⁻¹(0)a deux points dont l’un en lequel la diff´erentielle devest injective d’image rencontrantU; – l’image devest une courbe lisse qui engendreX;

–vne se factorise par aucune isog´enie non trivialeXe→X.

VIII.3. — SoitAune sous-vari´et´e irr´eductible d’un tore complexeX; on supposedimA < ¹₂dimX. Montrer qu’il existe un translat´e deApar un point de torsion deXqui ne rencontre pasA. En d´eduire la r´eciproque du corollaire 2.8.

26. Ce r´esultat d´ecoule aussi d’un th´eor`eme difficile de Y. Kawamata, qui dit qu’une vari´et´e lisse de type g´en´eral dont le fibr´e canonique n’est pas ample contient une courbe rationnelle ;cf.th. 6.9 deTh´eor`emes de connexit´e et vari´et´es ab´eliennes, Am. J. of Math.117(1995), p. 803, pour les r´ef´erences. Rappelons qu’un tore complexe ne contient aucune courbe rationnelle.

27. Pour d´emontrer que l’image inverse d’un fibr´e en droites ample par une application finie est ample, il faut utiliser la caract´erisation de Serre des fibr´es en droites amples sur les vari´et´es complexes compactes par l’annula-tion de certains groupes de cohomologie, qui d´epasse le cadre des connaissances utilis´ees dans ce livre ; on pourra consulter le livre de R. Hartshorne, Ample Subvarieties of Algebraic Varieties, Lecture Notes156, Springer Verlag, 1970, prop. 4.4, p. 25, pour une d´emonstration.

VIII.4. — SoientXun tore complexe simple,Aun espace analytique normal compact etu:A→Xune applica-tion holomorphe surjective. On suppose qu’il existe une sous-vari´et´eBdeXde dimension strictement positive telle que l’applicationu⁻¹(B)→Binduite parusoit bijective. Montrer que l’applicationπ1(u) :π1(A)→π1(X) est bijective (Indication :appliquer le th´eor`eme 3.1 `auet `a la normalisation deBcompos´ee avec son inclusion dans X).

VIII.5. — SoientX un tore complexe simple,Aun espace analytique normal compact etu:A → X une application holomorphe surjective dont toutes les fibres sont finies. Soitaun point deA; pour tout voisinageU assez petit deu(a)dansX, notonsUala composante connexe deu⁻¹(U)qui contienta. Le nombre de points dans une fibre g´en´erale de l’applicationUa →Uinduite paruest ind´ependant⁽²⁸⁾du choix deU; on le noteeu(a).

Pour tout entier`, on pose

R`={a∈A|eu(a)> `}.

Le th´eor`eme de puret´e (cf.[F, p. 170]) dit queR1est partout de codimension1dansA. On admettra queR<sub>`</sub>est de codimension au plus`dansA, ou vide⁽²⁹⁾.

a) Soitdle degr´e deu, c’est-`a-dire le nombre de points dans une fibre g´en´erale deu. Montrer queRd−1n’est pas vide (Indication :montrer par r´ecurrence sur`queR`n’est pas vide en appliquant le th´eor`eme 3.1 `auet `a la normalisation d’une composante deR`−1de dimension maximale compos´ee avec son inclusion dansX).

b) En d´eduire que l’applicationπ1(u) :π1(A)→π1(X)est injective de conoyau fini (Indication :appliquer l’exercice pr´ec´edent).

VIII.6. — Etant donn´e un´ fibr´e vectorielEsur une vari´et´e lisse compacteX, on consid`ere le fibr´e en espaces projectifsPE → X (dont les fibres sont les espaces projectifs attach´es aux fibres deE) et le fibr´e en droites OPE(1)surPE(dont la fibre au-dessus d’un point dePEest la droite qu’il repr´esente). SiE^∗est le fibr´e dual de E, on dit queEestamplesiOPE^∗(1)est ample⁽³⁰⁾surPE^∗.

SoientXun tore complexe etAune sous-vari´et´elissedeX.

a) Pour que le fibr´e normal `aAdansX soit ample, il faut et il suffit que, pour tout hyperplanHdeT0X, l’ensemble

{a∈A|T0(A−a)⊂H}

soit fini.

b) Si le fibr´e normal `aAdansXest ample,Aest non d´eg´en´er´ee.

c) On supposeAnon d´eg´en´er´ee ; montrer que pour tout hyperplanHdeT0X, l’ensemble {a∈A|T0(A−a)⊂H}

est de dimension au pluscodimA−1(Indication :appliquer le th´eor`eme 4.2)⁽³¹⁾.

VIII.7. — Soitkun entier positif. On dit qu’une sous-vari´et´e irr´eductibleAd’un tore complexeX estk-non d´eg´en´er´eesi, pour tout sous-toreKdeX, on a

dim(A+K)≥min(dimA+ dimK−k,dimX).

a) SoientAetBdes sous-vari´et´es irr´eductibles deX. SiAestk-non d´eg´en´er´ee, on a dim(A+B)≥min(dimA+ dimB−k,dimX).

28. Voir l’article de T. Gaffney, R. Lazarsfeld,On the Ramification of Branched Coverings ofPⁿ, Invent. Math.

59(1980), 53–58, pour plus de pr´ecisions.

29. Ce r´esultat est d´emontr´e dans la th`ese de R. Lazarsfeld soutenue `a Brandeis University, ´Etats-Unis, en 1980.

30. Pour plus de d´etails, voir les pages 65 `a 74 de R. Hartshorne :Ample vector bundles, Publ. Math. I.H.E.S.29 (1966).

31. En g´en´eralisant a), on montre que cela revient `a dire que le fibr´e normal `aAdansXest(codimA−1)-ample au sens de la d´efinition (1.3) de l’article de A. Sommese :Submanifolds of Abelian Varieties, Math. Ann.233(1978), p. 232.

EXERCICES 123

SiAestk-non d´eg´en´er´ee et queBestl-non d´eg´en´er´ee,A+Best(k+l)-non d´eg´en´er´ee.

b) SoientXune vari´et´e ab´elienne etAune sous-vari´et´e irr´eductible deX. Pour queAsoitk-non d´eg´en´er´ee, il faut et il suffit queArencontre toute sous-vari´et´e deXde dimension≥codimA+k.

c) SoientXun tore complexe etAune sous-vari´et´e irr´eductible normalek-non d´eg´en´er´ee deXde dimension

>¹₂(dimX+k). Le morphismeπ1(A)→π1(X)induit par l’inclusion deAdansXest bijectif.

d) SoientXun tore complexe etAune sous-vari´et´e lisse deX. Si le fibr´e normal `aAdansXestk-ample (cf.

note 31),Aestk-non d´eg´en´er´ee. SiAestk-non d´eg´en´er´ee, le fibr´e normal `aAdansXest(codimA−1+k)-ample.

BIBLIOGRAPHIE

[BT] R. Bott, L. Tu, Differential Forms in Algebraic Topology, Graduate Texts in Math.82, 2`eme ´ed., Springer Verlag, 1986.

[C1] H. Cartan, Formes diff´erentielles, collection M´ethodes, Hermann, Paris, 1967.

[C2] H. Cartan, Quotient d’un espace analytique par un groupe d’automorphismes, in Alge-braic Geometry and AlgeAlge-braic Topology,A Symposium in honor of S. Lefschetz, Princeton (1957), 90–102.

[F] G. Fischer, Complex Analytic Geometry, Lect. Notes in Math. 538, Springer Verlag, Berlin, 1976.

[GH] P. Griffiths, J. Harris, Principles of Algebraic Geometry, Wiley, New York, 1978.

[GR] R. Gunning, H. Rossi, Analytic Functions of Several Complex Variables, Prentice-Hall, Inc., Englewoods Cliffs, N.J., 1965.

[H] R. Hartshorne, Algebraic Geometry, Graduate Texts in Mathematics52, Springer Verlag, New York, 1977.

[I] J. Igusa, Theta Functions, Grundlehren der math. Wiss.194, Springer Verlag, 1972.

[K] G. Kempf, Complex Abelian Varieties and Theta Functions, Universitext, Springer Ver-lag, 1991.

[LB] H. Lange, Ch. Birkenhake, Complex Abelian Varieties, Grundlehren der math. Wiss.

302, Springer Verlag, 1992.

[M1] D. Mumford, Abelian Varieties, Oxford University Press, 1974.

[M2] D. Mumford,On the Equations Defining Abelian Varieties. I, Invent. Math1(1966), 287–354 etOn the Equations Defining Abelian Varieties. II, Invent. Math3(1967), 75–135.

[M3] D. Mumford, Varieties Defined by Quadratic Equations, inQuestions On Algebraic Varieties, C.I.M.E., Varenna, 1970.

[P] D. Perrin, G´eom´etrie alg´ebrique, Savoirs Actuels, Inter ´Editions / CNRS ´Editions, 1995.

[R] A. Robert, Elliptic Curves, Lect. Notes in Math.326, Springer Verlag, 1973.

[S] J.-P. Serre, Cours d’arithm´etique, P.U.F., Paris, 1970.

[SD] H.P.F. Swinnerton-Dyer, Analytic Theory of Abelian Varieties, London Math. Soc.

Lecture Notes Series14, Cambridge University Press, 1974.

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