Formes diff´erentielles sur les espaces projectifs, formes de K¨ahler

Une forme diff´erentielleωsur l’espace projectifPⁿse remonte en une forme diff´erentielle surCⁿ⁺¹r{0}invariante par l’action deC^∗. Si

ω=X

ω_{j1···jpk1···kq}dz_j1∧ · · · ∧dz_jp∧dz_k1∧ · · · ∧dz_kq est une forme diff´erentielle de type(p, q), cela signifie

ωj₁···jpk₁···kq(tz) = 1

t^pt^q ωj₁···jpk₁···kq(z) pour tout complexetnon nul⁽⁷⁾.

Exemple 5.1. — La forme diff´erentielle

j=0zjzj, d´efinit par l’exercice III.2 une2-forme diff´erentielleωF Sr´eelle de type(1,1) surPⁿ, dite forme de Fubini-Study. On v´erifie au prix d’un petit calcul qu’elle est ferm´ee et invariante par l’action du groupe unitaireU(n+ 1)(ce petit calcul se simplifie grandement si l’on remarque queωF S(z) =_2πⁱ ∂∂logkzk²;cf.2.6).

La formeω_{F S}estd´efinie positive. Vue son invariance sousU(n+ 1), il suffit de le v´erifier en un point ; comme

La forme de Fubini-Study est aussi enti`ere. Il suffit par le crit`ere 3.5 de v´erifier que I=

les classes des sous-vari´et´es deXconsid´er´ees dans la d´emonstration de la proposition. De fac¸on plus intrins`eque, on aHr(V /Γ,Z)'VrΓ.

7. Une forme diff´erentielle surCⁿ⁺¹r{0}invariante par l’action deC^∗ne provient pas n´ecessairement d’une forme diff´erentielle surPⁿ; il y a une condition suppl´ementaire (cf.exerc. III.2).

EXERCICES 35

Cela nous permet d’´enoncer une condition n´ecessaire pour qu’une vari´et´e complexe se plonge dans un espace projectifPⁿ.

Th´eor`eme 5.2. — SiX est une vari´et´e complexe compacte qui est une sous-vari´et´e d’un espace projectif, il existe surXune forme diff´erentielle ferm´ee de type(1,1), d´efinie positive et enti`ere.

D´emonstration. — La forme de Fubini-Study surPⁿest ferm´ee de type(1,1), d´efinie posi-tive et enti`ere. Elle se restreint surXen une forme qui a les mˆemes propri´et´es.

5.3. — Une forme diff´erentielle ferm´ee, de type(1,1)et d´efinie positive s’appelle uneforme de K¨ahler. Par 4.2, une forme de K¨ahler enti`ere sur un tore complexeV /Γest cohomologue

`a une forme de K¨ahler enti`ere constante qui correspond, par 4.4, `a uneformeR-bilin´eaire altern´eeωsurV, enti`ere surΓ, v´erifiantω(ix, iy) =ω(x, y)etω(x, ix)>0pour toutxnon nul et toutydansV.

Exemple 5.4. — Soitτ un nombre complexe de partie imaginaire strictement positive. La formeR-bilin´eaire altern´ee

ω(τ m+n, τ m⁰+n⁰) =m⁰n−mn⁰ surR²est enti`ere sur le r´eseauΓ_τ. Siτ=a+ib, on a

i(τ m+n) =−bm+i(am+n) =τam+n

b −bm−a(am+n)

b ,

de sorte que

ω(τ m+n, iτ m+in) = (am+n)²+b²m² b >0,

puisqueb >0. On v´erifie de mˆeme queω(i(τ m+n), i(τ m⁰+n⁰)) =ω(τ m+n, τ m⁰+n⁰), ce qui prouve queωest une forme de K¨ahler enti`ere. La forme hermitienne surCassoci´ee comme en 1.1 est

H(z1, z2) = z1z2

Imτ (il suffit de v´erifier queImHetωco¨ıncident sur(1, τ)).

Exercices

III.1. — Soit ω une 2-forme ferm´ee sur un tore complexe X = V /Γ. Nous voulons donner une autre d´emonstration du fait queωest cohomologue `a une forme constante (cf.4.2). On choisit une base deΓ; dans les coordonn´ees correspondantes, on a

ω(x) =X

j<k

ωjk(x)dxj∧dxk, o`u lesωjksont des fonctionsZ^2g-p´eriodiques.

a) Montrer que chaqueωjka un d´eveloppement en s´erie de Fourier ωjk(x) = X

m∈Z^g

ω_jk^(m)e^2iπtmx.

On pose, pour toutm∈Z^g,

ω^(m)(x) =X

j<k

ω_jk^(m)dxj∧dxk. Montrer queω^(m)est une2-forme ferm´ee surX.

b) Montrer queω^(m)est une2-forme exacte surXpour toutm6= 0. Conclure.

c) On suppose queωn’a pas de terme de type(0,2). Montrer qu’il existe une1-formeηsurXde type(1,0) telle queω=ω⁽⁰⁾+dη.

III.2. — Soitp:Cⁿ⁺¹r{0} →Pⁿla surjection canonique.

a) Soitωuner-forme diff´erentielle complexe surPⁿ. Montrer quep^∗ω(z)(v1, . . . , vr)est nul d`es quev1est colin´eaire `azou `az.

b) Inversement, supposons donn´ee uner-forme diff´erentielle complexeeωsurCⁿ⁺¹r{0}invariante par l’action deC^∗et poss´edant en plus la propri´et´e du a). Soientϕj:Cⁿ −→^ιj Uej → Ujles cartes standard du§I.3, p. 8.

Montrer que les formes diff´erentiellesι^∗_jeωv´erifient les conditions de recollement deloc.cit., donc d´efinissent une forme diff´erentielleωsurPⁿqui v´erifiep^∗ω=eω.

III.3. — IdentifionsC^g `aR<sup>2g</sup>. `A toute matrice r´eelleMinversible d’ordre2g, on associe le r´eseauΓ_MdeC^g engendr´e par les colonnes deM. On param`etre ainsi l’ensemble des r´eseaux dansC^gpar l’ouvert (pour la topologie de Zariski r´eelle) denseU= GLg(R)deR^4g2.

a) Montrer qu’il existe une famille d´enombrable(Zn)n∈Nd’hypersurfaces alg´ebriques r´eelles deR^4g2telle que, pour toute matriceMdansUrS

n∈NZn, les mineurs2×2deM⁻¹soient lin´eairement ind´ependants sur Z.

b) Pourg≥2, en d´eduire que pour toute matriceM dansUrS

n∈NZn, toute formeR-bilin´eaire altern´ee enti`ere surΓMde type(1,1)est nulle.

c) Conclure qu’un tore complexetr`es g´en´eral(en un sens que l’on pr´ecisera) de dimension≥ 2ne se plonge pas dans un espace projectif de fac¸on holomorphe (Indication :on rappelle qu’une intersection d´enombrable d’ouverts denses deR^Nest dense).

CHAPITRE IV

FONCTIONS TH ˆ ETA ET DIVISEURS

Nous voulons retrouver de fac¸on diff´erente, plus terre-`a-terre, le r´esultat principal du chapitre pr´ec´edent, `a savoir l’existence d’une forme de K¨ahler enti`ere sur une sous-vari´et´e complexe d’un espace projectif (th. III.5.2, p. 35), dans le cas particulier des tores complexes ; on notera qu’une telle forme est dans ce cas un objet tr`es simple, `a savoir une forme R-bilin´eaire sur le revˆetement universel, enti`ere sur le r´eseau, qui poss`ede en plus certaines propri´et´es vis-`a-vis de la structure complexe (prop. 1.3 et 1.6). Nous obtenons d’ailleurs dans ce cas un r´esultat plus pr´ecis (cor. 3.5) et d´eterminons la structure du corps des fonctions m´eromorphes d’un tore complexe (cor. 3.3). Notre approche s’appuie sur la notion de di-viseur sur une vari´et´e complexe (qui g´en´eralise la d´efinition de II.2.3, p. 16) et sur l’´etude des fonctions thˆeta sur un tore complexe, notion qui g´en´eralise celle du§II.2, p. 15 ; elle est calqu´ee sur l’approche de [SD], qui elle-mˆeme suit les travaux de Poincar´e et Weil.