VI. Vari´et´es ab´eliennes
3. Plongement dans un espace projectif
Inversement, ´etant donn´es des nombres complexes quelconquesc(m)pour0 ≤ mj < dj
pour toutj, d´efinissons des coefficientsc(m)pour toutmpar la relation (19). On v´erifie par r´ecurrence que
le s´erie de Fourier correspondante converge, puisqueImτ est d´efinie positive (th. 1.3). On obtient bien une fonction thˆeta, c’est-`a-dire une section deL.
Remarque 2.3. — Les fonctions thˆeta qui satisfont `a la relation (18) seront dites fonctions thˆetaclassiquesassoci´ees `aL(H, α); il s’agit simplement d’une normalisation diff´erente de celle que nous avons utilis´ee jusqu’ici, qui se trouve ˆetre celle des fonctions thˆeta de Riemann d´efinies dans l’exemple IV.1.4, p. 39. Toute fonction thˆeta est ´equivalente `a une unique fonction thˆeta classique.
3. Plongement dans un espace projectif
3.1. — SoitX =V /Γun tore complexe de dimensiong; on cherche `a construire un plon-gement holomorpheudeX dans un espace projectifPn, c’est-`a-dire une application ho-lomorphe qui induit un isomorphisme de vari´et´es complexes de X sur u(X). Rappelons (cor. 3.4, p. 45) queus’inscrit dans un diagramme commutatif
V −→ue Cn+1r{0} suffit, par I.3.2, p. 8, queusoit injectif et que la matrice
(20)
On rappelle qu’on note, dans tout groupe ab´elien,τala translationx7→x−a.
Lemme 3.2. — SoientXun tore complexe,L(H, α)un fibr´e en droites surX, etaun point deX. On a
τa∗L(H, α)'L(H, αe2iπImH(·,a)).
D´emonstration. — Rappelons (§V.2, p. 53) que le fibr´e en droitesL(H, α)est d´efini comme le quotient deV ×Cpar l’action
γ·(z, t) = (z+γ, α(γ)eπH(γ,z)+π2H(γ,γ)t)
du groupeΓ. Le fibr´e en droitesτa∗L(H, α)est donc le quotient deV ×Cpar l’action γ·(z, t) = (z+γ, α(γ)eπH(γ,z+a)+π2H(γ,γ)t)
deΓ. Soitf une fonction enti`ere surV qui ne s’annule pas ; si l’on change les multiplica-teurseγ(z) =α(γ)eπH(γ,z+a)+π2H(γ,γ)qui d´efinissentτa∗L(H, α)eneγ(z)f(z+γ)/f(z), on obtient un fibr´e en droites isomorphe. Prenons f(z) = e−πH(a,z); les multiplicateurs deviennent
α(γ)eπH(γ,z+a)−πH(a,γ)+π2H(γ,γ)=α(γ)e2iπImH(γ,a)eπH(γ,z)+π2H(γ,γ), d’o`u le lemme.
Th´eor`eme du carr´e 3.3. — (1)SoientX un tore complexe etLun fibr´e en droites surX.
Pour tous pointsaetbdeX, on a
τa+b∗ L⊗L'τa∗L⊗τb∗L.
D´emonstration. — Grˆace au th´eor`eme de Appell-Humbert (th. V.5.10, p. 62), on peut sup-poserL=L(H, α). Le th´eor`eme d´ecoule alors du lemme et de (12).
3.4. — On utilisera souvent le th´eor`eme du carr´e sous la forme suivante : soientϑune fonc-tion thˆeta normalis´ee associ´ee `a un fibr´e en droitesL, eta1, . . . , ardes points deV de somme nulle. La fonction thˆeta
z7→ϑ(z+a1)· · ·ϑ(z+ar)
est alors une fonction thˆeta normalis´ee associ´ee au fibr´e en droitesL⊗r(qu’il est d’usage de noter simplementLr).
Th´eor`eme 3.5(Lefschetz). — SoientXun tore complexe etLun fibr´e en droites surX.
a) SiLa une section non identiquement nulle, l’applicationψLr (cf. V.1.6, p. 52) d´efinit une application holomorphe deXdans un espace projectif pour toutr≥2.
b) Si la premi`ere classe de Chern deLest d´efinie positive, l’applicationψLr d´efinit un plongement deXdans un espace projectif pour toutr≥3.
D´emonstration. — L’ingr´edient essentiel de la d´emonstration est le th´eor`eme du carr´e. Soit ϑune fonction thˆeta normalis´ee correspondant `a une section non identiquement nulle deL.
Sir≥2, il existe pour tout pointz0deV un pointadansV tel que ϑ(z0−a)ϑ(z0+ (r−1)a) ne soit pas nul. Par 3.4, la fonction
z7→ϑ(z−a)r−1ϑ(z+ (r−1)a)
correspond `a une section deLrqui ne s’annule pas enz0; ceci prouve a) (cf.V.1.6, p. 52).
1. Si ce r´esultat trivial m´erite ce nom ronflant, c’est qu’il est fondamental (et difficile) dans la th´eoriealg´ebrique des vari´et´es ab´eliennes (cf.par exemple [M1, cor. 4, p. 59]).
3. PLONGEMENT DANS UN ESPACE PROJECTIF 71
Supposonsc1(L)d´efinie positive. Le th´eor`eme de Riemann–Roch 2.2 entraˆıne queLa une section non identiquement nulle ; on note encoreϑla fonction thˆeta normalis´ee corres-pondante. Soit(ϑ0, . . . , ϑn)une base deH0(X, Lr)et soitz0un point deV. Supposons qu’il
est une fonction thˆeta normalis´ee qui correspond `a une section deLr, pour toutaet toutb dansV. C’est donc une combinaison lin´eaire deϑ0, . . . , ϑn, de sorte que d´efinit une fonction m´eromorpheψsurV qui v´erifie
(21) (r−2)ψ(z0−a) +ψ(z0−b) +ψ(z0+ (r−2)a+b) =λ0
pour toutaet toutbdansV. Pour touta0∈V, il existebtel queϑ(z0−b)ϑ(z0+(r−2)a0+b) ne soit pas nul, de sorte que les fonctionsa7→ψ(z0−b)eta7→ψ(z0+ (r−2)a+b)sont holomorphes au voisinage dea0. Sir ≥3, la relation (21) entraˆıne queψest holomorphe au voisinage dez0−a0, donc holomorphe surV, puisquea0 est arbitraire. Or elle v´erifie l’´equation fonctionnelle
(22) ψ(z+γ) =πH(γ, λ) +ψ(z),
o`uH est la forme hermitienne associ´ee `a c1(L)etλ = (λ1, . . . , λg) ∈ V. En particulier, les d´eriv´ees partielles deψsontΓ-p´eriodiques, donc constantes, de sorte queψestC-affine.
La relation (22) entraˆıneψ(γ)−ψ(0) = πH(γ, λ)pour toutγdansΓ. Les deux membres de cette ´egalit´e ´etantR-lin´eaires, on en d´eduitψ(z)−ψ(0) = πH(z, λ)pour toutzdans V. Mais le membre de gauche estC-lin´eaire enz, tandis que le membre de droite est C-antilin´eaire. On en d´eduitH(z, λ) = 0 pour tout z dans V. Commec1(L), donc H, est suppos´ee non d´eg´en´er´ee, on aλ= 0, doncλj = 0pour toutj. La matrice (20) est donc de rangg+ 1en tout point, ce qui montre b).
3.6. — SoitLun fibr´e en droites sur une vari´et´e complexe compacteX; on dit queLest tr`es amplesi le morphismeψL est un plongement ;Lestamples’il existe un entierr >0 tel queLrsoit tr`es ample. Avec cette terminologie, on peut traduire le th´eor`eme de Lefschetz en disant qu’un fibr´e en droites sur un tore complexe dont la premi`ere classe de Chern est
d´efinie positive, est ample (la r´eciproque ´etant vraie par le th´eor`eme III.5.2, p. 35, ou le co-rollaire IV.3.5, p. 45). C’est un cas particulier d’un th´eor`eme c´el`ebre de Kodaira, qui dit que cet ´enonc´e reste vrai sur toute vari´et´e complexe compacte ([GH, p. 181] ou [GR, p. 285]).
On dira aussi qu’un fibr´e en droitesLestpositifsic1(L)est positive. Le produit tensoriel de deux fibr´es en droites positifs est positif ; le produit tensoriel d’un fibr´e en droites ample et d’un fibr´e en droites positif est ample.