Organisation du livre

Notre objet est de g´en´eraliser nos r´esultats sur les courbes elliptiques en dimension quel-conque.

Plongement des tores complexes dans un espace projectif et fonctions thˆeta(§1 et§2).

Contrairement `a ce qui se passe en dimension1, la plupart des tores complexes n’admettent pas de plongement holomorphe dans un espace projectif. Ceux qui ont cette propri´et´e sont ap-pel´esvari´et´es ab´eliennes. Les fonctions qui nous permettront de construire ces plongements seront encore desfonctions thˆeta.

Diviseurs et th´eor`eme de Riemann–Roch(§3). On d´efinira la notion de diviseur sur une vari´et´e complexeX. Toute fonction m´eromorphe surXa un diviseur, qui est dit principal ; on note encorePic(X)le groupe des diviseurs modulo le sous-groupe des diviseurs principaux.

LorsqueXest une vari´et´e ab´elienne, nous construirons un sous-groupePic⁰(X)dePic(X), qui est encore unevari´et´e ab´elienne isog`ene `aX(cf.I.2.4). Nous calculerons aussi la dimen-sion des espaces vectorielsL(D)`a l’aide des fonctions thˆeta ; ils s’interpr`etent comme des espaces de sections de fibr´es en droites, et sont ´etroitement li´es aux plongements des vari´et´es ab´eliennes dans des espaces projectifs.

Espaces de modules(§4). Il y a deux parties que nous g´en´eraliserons : d’une part trouver un espace qui param`etre les classes d’isomorphisme de vari´et´es ab´eliennes polaris´ees (l’ana-logue deSL2(Z)\H), d’autre part r´ealiser cet espace comme vari´et´e alg´ebrique (ce que l’on a fait pour les courbes elliptiques au moyen de la fonctionJ). Ce sont encore les fonctions thˆeta qui nous permettront de traiter ce dernier point.

Exercices

II.1. — a) Montrer la formule d’addition

℘(z1+z2) +℘(z1) +℘(z2) =1 4

℘⁰(z1)−℘⁰(z2)

℘(z1)−℘(z2) 2

, valable pourz16=±z2.

b) Montrer que cette formule a l’interpr´etation g´eom´etrique suivante : soientp1,p2etp3 des points sur la cubiqueCdu th´eor`eme 1.6 ; pour quep1+p2+p3= 0dansE, il faut et il suffit quep1,p2etp3soient align´es.

II.2. — SoitDun diviseur de degr´edsur une courbe elliptique. Le th´eor`eme de Riemann–Roch (th´eor`eme 3.3) calcule la dimension de l’espace vectorielL(D)lorsqued≥1. Calculer cette dimension dans les autres cas (d≤0).

II.3. — Montrer que toute fonction thˆeta qui ne s’annule en aucun point est une fonction thˆeta triviale au sens de l’exemple 2.2.1) (Indication :montrerlogϑ(z) =O(1 +|z|²)).

II.4. — Montrer qu’il existe des constantesaetctelles que l’on ait, pour toutz, σ(z) =e^az2+cϑh1/2

1/2 i

(z).

II.5. — Int´egrales elliptiques.Soientδ1etδ2des r´eels strictement positifs ; notonsΓle r´eseauδ1Z⊕iδ2Zdans C. On pose comme d’habitudeγ1=δ1,γ2=iδ2etγ3=δ1+iδ2.

a) Montrer queg2etg3, ainsi que lesej=℘(γj/2)pourj= 1,2,3, sont r´eels. De plus, on ae1> e3> e2. Montrer que∆est strictement positif.

b) ´Etudier les variations de la fonction r´eelle de variable r´eellet7→℘(t). d) On adopte les notations de 2.7, p. 17, et de la proposition 2.8. Montrer les ´egalit´es

Z ^π II.6. — On adopte les notations de 2.7, p. 17, et de la proposition 2.8.

a) Pour toutjet toutkdans{0,1}, montrer l’´egalit´e

ϑjk(z) =e^{2iπj(τ8+z2+k4)}ϑ00(z+1

2(k+τ j)).

b) Montrer la relation

ϑ²₀₁=βϑ²₀₀+αϑ²₁₁

(Indication :les deux membres sont des fonctions thˆeta paires de mˆeme type, nulles en0et prenant la mˆeme valeur en¹₂(1 +τ)).

c) Montrer les relations

ϑ²₁₀=αϑ²₀₀−βϑ²₁₁ et ϑ²₀₀=βϑ²₀₁+αϑ²₁₀ (Indication :appliquer la relation de b) enz+¹₂(1 +τ), puis enz+¹₂, et utiliser a)).

d) En d´eduire la relation de Jacobi

ϑ00(0)⁴=ϑ01(0)⁴+ϑ10(0)⁴.

II.7. — On adopte les notations de 2.7, p. 17, et de la proposition 2.8. On poseq=e^2iπτ, de sorte que ϑ00(z) = X

m∈Z

q^12m2e^2iπmz. a) Montrer qu’il existe un nombre complexectel que l’on ait pour toutz

ϑ00(z) =c (Indication :les deux membres ont les mˆemes p´eriodes et les mˆemes z´eros).

b) Montrer l’´egalit´e

II.8. — a) Montrer que toute fonction elliptique paire est une fraction rationnelle en℘. En d´eduire que le corps des fonctions d’une courbe elliptique est isomorphe `a

C(℘, ℘⁰)'C(X)[Y]/(Y²−4X³+g2X+g3).

b) Montrer que toute fonction elliptique est quotient de deux fonctions thˆeta.

II.9. — Montrer que l’invariant modulaire de la cubique plane d’´equationY²Z=X(X−Z)(X−λZ)est j= 2⁸ (λ²−λ+ 1)³

λ²(λ−1)² .

En d´eduire une expression dejen fonction deϑ10(0)etϑ01(0)(notations de 2.7, p. 17).

EXERCICES 23

II.10. — Calculer directementj(e^2iπ/3)etj(i).

II.11. — On rappelle que pour toutτdansH, on a a) Donner le d´eveloppement en s´erie enti`ere enq=e^2iπτdes fonctions

X

b) En d´eduire le d´eveloppement en s´erie enti`ere enqdes fonctionsg2(τ)etg3(τ)(on pourra utiliser les fonctions σr(k) =P

II.12. — Soientτun ´el´ement deH etEτla courbe elliptique associ´ee.

a) Montrer que l’anneauEndEτdes endomorphismes deEest une extension enti`ere deZet que – soitEndEτest isomorphe `aZ;

– soitQ(τ)est une extension quadratique imaginaire deQ.

(Indication :EndEτest isomorphe au sous-anneau{α∈C|αΓτ ⊂Γτ}deC).

b) Soitmun entier strictement positif sans facteur carr´e. Montrer que l’anneauEndE^√_−mest isomorphe `a Z[√

−m].

c) Montrer que le groupeAutEτ des automorphismes deEτ est un groupe cyclique `a2,4ou6´el´ements (Indication :siαest inversible dansEndEet diff´erent de±1, montrer queαest de module1et de partie r´eelle demi-enti`ere).

d) Si le groupeAutEτa4´el´ements, montrer queEτest isomorphe `aEi(Indication :choisirτavec|Reτ| ≤ 1/2et|τ| ≥1).

e) Si le groupeAutEτa6´el´ements, montrer queEτest isomorphe `aEω, avecω=e^2iπ/3.

CHAPITRE III

FORMES DIFF ´ ERENTIELLES ET COHOMOLOGIE DE DE RHAM

SoitX une vari´et´e compacte complexe ; on s’int´eresse aux conditions sous lesquelles il existe un plongement deX dans un espace projectif, c’est-`a-dire une application ho-lomorpheX → Pⁿ injective, et dont l’application tangente est injective en tout point (cf.

exerc. I.4, p. 9). Nous d´egageons dans ce chapitre une condition n´ecessaire : l’existence d’un tel plongement entraˆıne celle surXd’une forme diff´erentielle ferm´ee de type(1,1), d´efinie positive et enti`ere (dite forme de K¨ahler enti`ere). Nous admettrons l’existence de la th´eorie de l’homologie singuli`ere pour montrer que la forme de Fubini-Study sur l’espace projectif est d’int´egrale enti`ere sur toute sous-vari´et´e ferm´ee.

1. Formes altern´ees

SoientV un espace vectoriel r´eel de dimensionnetrun entier naturel. On noteVr

V^∗ l’espace vectoriel desr-formes multilin´eaires altern´ees surV. Si`<sub>1</sub>, . . . , `_rsont des formes lin´eaires surV, lar-forme multilin´eaire

(x1, . . . , xr)7−→ X

σ∈Sr

ε(σ)`1(xσ(1))· · ·`r(xσ(r)) est altern´ee ; on la note`<sub>1</sub>∧ · · · ∧`_r. On a par exemple

(`<sub>1</sub>∧`₂)(x, y) =`<sub>1</sub>(x)`₂(y)−`<sub>1</sub>(y)`₂(x).

Si(e1, . . . , en)est une base deV et(e^∗₁, . . . , e^∗_n)la base duale deV^∗, les(e^∗_j1∧ · · · ∧e^∗_jr), pour1 ≤j1 <· · · < jr ≤n, forment une base deVr

V^∗, qui est donc de dimension ⁿ_r . Tout ´el´ementωdeVr

V s’´ecrit

ω= X

1≤j1<···<jr≤n

ω(ej₁, . . . , ej_r)e^∗_j1∧ · · · ∧e^∗_jr.

L’espace vectoriel r´eel desr-formesR-multilin´eaires altern´ees surV `a valeurs dansCest muni d’une structure deC-espace vectoriel de dimension ⁿ_r

; on le noteVr

V_C^∗.

Soit V un espace vectoriel complexe de dimension g. L’espace vectoriel r´eel V_C^∗ des formes R-lin´eaires deV dansC est muni d’une structure d’espace vectoriel complexe de dimension2g; les formesC-antilin´eaires surV forment un sous-espace vectoriel complexe de dimensiongnot´eV^∗. On aV_C^∗'V^∗⊕V^∗. Si(e^∗₁, . . . , e^∗_g)est une base deV^∗, la famille (e^∗₁, . . . , e^∗_g)est une base deV^∗.

Pour tous entiers positifspetqde sommer, on note Vp,q

V^∗ le sous-espace vectoriel complexe deVr

V_C^∗engendr´e par les`1∧ · · · ∧`p∧`<sup>0</sup><sub>1</sub>∧ · · · ∧`⁰_q, pour`1, . . . , `pdansV^∗ et`<sup>0</sup><sub>1</sub>, . . . , `⁰_qdansV^∗. Les formes dansVp,q

V^∗sont dites de type(p, q). Les formes de type (r,0)sont lesr-formes altern´eesC-multilin´eaires. On a une d´ecomposition

(6) ^^r

V_C^∗= M

p+q=r

^^p,q V^∗

en somme directe de sous-espaces vectoriels complexes. Les formes e^∗_j1∧ · · · ∧e^∗_jp∧e^∗_k1∧ · · · ∧e^∗_kq,

pour1 ≤ j₁ < · · · < j_p ≤ get1 ≤ k₁ < · · · < k_q ≤ g, forment une base de l’espace vectoriel complexeVp,q

V^∗.

1.1. — Regardons de plus pr`es ce qui ce passe pourr= 2. On peut caract´eriser les formes de type(1,1)par la propri´et´e

ω(ix, iy) =ω(x, y)

pour toutxet touty dansV (les formesωde type(2,0)ou(0,2)satisfont `aω(ix, iy) =

−ω(x, y)). Pour qu’une formeωde type(1,1), qui s’´ecrit en coordonn´ees ω=iX

j,k

ωjke^∗_j∧e^∗_k,

soitr´eelle, c’est-`a-dire qu’elle soit `a valeurs dansR, il faut et il suffit queω=ω, c’est-`a-dire que la matrice(ω<sub>jk</sub>)soit hermitienne. De fac¸on plus intrins`eque, on peut associer `a toute formeωr´eelle de type(1,1)une forme hermitienneHsurV par la formule

H(x, y) =ω(x, iy) +iω(x, y)

(C-lin´eaire `a droite et C-antilin´eaire `a gauche). Inversement, `a toute forme hermitienneH surV, on associe la forme altern´eeImH, r´eelle de type(1,1).

1.2. — On dit queωestd´efinie positivesiH l’est, c’est-`a-dire siω(x, ix)>0pour toutx non nul ; on dit queωestpositivesiω(x, ix)≥0pour toutx.

2. Formes diff´erentielles et cohomologie de de Rham

SoitV un espace vectoriel r´eel de dimensionn. On appeller-forme diff´erentieller´eelle (resp. complexe) sur un ouvertU deV une fonctionω de classeC^∞deU `a valeurs dans Vr

V^∗(resp. dansVr

V_C^∗). Si on choisit des coordonn´eesx1, . . . , xnsurV (c’est-`a-dire en fait une base deV^∗), on notera dx1, . . . , dxn leurs diff´erentielles, consid´er´ees comme des

2. FORMES DIFF ´ERENTIELLES ET COHOMOLOGIE DE DE RHAM 27

´el´ements deV^∗(ce sont `a strictement parler des fonctions constantes deV dansV^∗). Toute r-forme diff´erentielle r´eelle (resp. complexe) s’´ecrit alors

ω(x) = X

1≤j1<···<jr≤n

ωj₁···jr(x)dxj₁∧ · · · ∧dxj_r, o`u lesω_j1···jrsont des fonctions deUdansR(resp. dansC) de classeC^∞.

SoitUun ouvert deV, soitU⁰un ouvert d’un espace vectoriel r´eelV⁰de dimensionn⁰et soitF :U →U⁰une application de classeC^∞. Pour toute forme diff´erentielleωsurU⁰, on d´efinit la forme diff´erentielleF^∗ωsurUpar⁽¹⁾

F^∗ω(x)(v1, . . . , vr) =ω(F(x))(TxF(v1), . . . , TxF(vr)). applicationR-lin´eaire deV dansC. C’est la1-forme diff´erentielle complexedfdonn´ee dans un syst`eme de coordonn´ees par

On v´erifie que cette d´efinition est ind´ependante du choix des coordonn´ees ([BT, p. 20]). Dans le cas d’une1-formeω=Pn

On dit qu’une forme diff´erentielle ω estferm´eesidω = 0; elle estexactes’il existe une formeηtelle queω=dη. On v´erifie qued²= 0, c’est-`a-dire que toute forme diff´erentielle exacte est ferm´ee.

Lemme de Poincar´e 2.1. — Toute forme diff´erentielle ferm´ee sur un ouvert ´etoil´e deRⁿest exacte⁽²⁾.

1. On rappelle qu’on a not´eTxF :V →V⁰l’application tangente (c’est-`a-dire la diff´erentielle) de l’application Fen un pointxdeU.

2. On trouvera une autre d´emonstration de ce th´eor`eme par r´ecurrence surndans [BT, cor. 4.1.1] lorsque l’ouvert

´etoil´e estRⁿtout entier.

D´emonstration. — Faisons-le d’abord pour une1-formeω =Pn

j=1ωjdxj ferm´ee d´efinie sur un ouvert ´etoil´e contenant l’origine. On a∂ωj

∂x_k =∂ωk (c’est l’int´egrale deωsur le segment joignant l’origine `ax;cf.ex. 3.1). On a

∂f ce qui d´emontre le lemme pour les1-formes. Dans le cas g´en´eral, siωest uner-forme, on pose

η(x)(x₁, . . . , x_r−1) = Z 1

0

t^r−1ω(tx)(x, x₁, . . . , x_r−1)dt.

On v´erifie queω =dη siωest ferm´ee (cf.[C1, pp. 43–45], o`u l’auteur fait le commentaire r´ev´elateur suivant :la d´emonstration peut ˆetre laiss´ee de cˆot´e par un lecteur qui a peur des calculs).

Il y a des ouverts deRⁿsur lesquels la conclusion du lemme n’est plus vraie. Par exemple, la forme diff´erentiellexdy−ydx

x²+y² est ferm´ee surR²r{0}, mais n’est pas exacte.

2.2. — On peut d´efinir la notion de forme diff´erentielle sur une vari´et´e diff´erentiableM. On proc`ede de la fac¸on suivante :M est recouverte par des cartesϕj:Uj →M; on se donne la restriction de la forme `a chaque ouvert de carte, c’est-`a-dire uner-formeω_jsur l’ouvertU_j, avec la condition de compatibilit´e(ϕ⁻¹_k ϕ_j)^∗(ω_k) =ω_j.

D´efinition 2.3. — SoitM une vari´et´e diff´erentiable ; on appeller-i`eme groupe de cohomo-logie de de Rham deM l’espace vectoriel complexe

H_DR^r (M) ={r-formes diff´erentielles complexes ferm´ees surM}/{r-formes exactes}.

Le lemme de Poincar´e dit que les groupes de cohomologie de de Rham d’un ouvert ´etoil´e deRⁿsont tous nuls. En revanche,H_DR¹ (R²r{0})n’est pas nul (il est de dimension1;cf.

ex. 3.3.1)).

Si F : M → M⁰ est une application de classeC^∞ entre vari´et´es diff´erentiables, on a F^∗(dω) =d(F^∗ω)([BT, prop. 2.1, p. 19]), de sorte queFinduit des applicationsC-lin´eaires

F^∗:H_DR^r (M⁰)−→H_DR^r (M).

3. INT ´EGRATION DES FORMES DIFF ´ERENTIELLES, FORMES ENTI `ERES 29

2.4. — Supposons maintenant que V soit un espace vectorielcomplexe de dimension g.

On appelle r-forme diff´erentielle de type(p, q) sur un ouvert U de V une fonctionω de classeC^∞deU `a valeurs dansVp,q

V^∗. Si on choisit des coordonn´eesz1, . . . , zgsurV, on noteradz1, . . . , dzg leurs diff´erentielles, consid´er´ees comme des formes constantes de type (1,0). On notera aussidx_j etdy_j (ou parfois aussidx_g+j) les1-formes r´eelles d´efinies par dzj=dxj+idyj.

2.5. — Une fonction f: U → C de classe C^∞ est holomorphe si et seulement si sa diff´erentielle estC-lin´eaire, c’est-`a-dire si ∂f

∂y_j =i∂f

∂x_j pour toutj (conditions de Cauchy-Riemann), puisque ces conditions sont satisfaites par les formes lin´eairesdz_j. Cela ´equivaut

`a dire que la1-formedfest de type(1,0).

2.6. — SiF est une application holomorphe entre ouverts d’espaces vectoriels complexes, le fait quedF soitC-lin´eaire entraˆıne queF^∗conserve le type des formes. On peut donc, en suivant la proc´edure ci-dessus, d´efinir les formes de type(p, q)sur une vari´et´e complexe, puisque les changements de cartes sont holomorphes. On v´erifie que siω est une forme de type(p, q)sur une vari´et´e complexe,dωse d´ecompose en∂ω+∂ω, o`u∂ωest de type(p+1, q)

2.7. — Enfin, on dira qu’une forme diff´erentielle r´eelle de type(1,1)sur une vari´et´e com-plexe est (d´efinie) positive si elle satisfait en tout point `a la propri´et´e de 1.2 ; sa restriction `a une sous-vari´et´e est encore (d´efinie) positive.

3. Int´egration des formes diff´erentielles, formes enti`eres

SoientV un espace vectoriel r´eel orient´e de dimensionnetωunen-forme diff´erentielle `a support compact dansV. Dans un syst`eme direct de coordonn´ees,ωs’´ecrit

ω(x) =f(x)dx1∧ · · · ∧dxn.

Cette expression est invariante par diff´eomorphisme direct (utiliser le th´eor`eme de change-ment de variable dans les int´egrales ;cf.[BT, I,§3]).

SoientM une vari´et´e orient´ee de dimensionnetωunen-forme diff´erentielle d´efinie sur M, `a support compact. On cherche `a d´efinir l’int´egrale deωsurM. En utilisant une partition

de l’unit´e ([BT, pp. 21–22]), on se ram`ene au cas o`u le support deω est compact, contenu dans l’image ouverte d’une carte orient´eeF:U →M. On pose alors

Z

de nouveau, c’est ind´ependant du choix de la carte orient´ee.

SiZest une sous-vari´et´e orient´ee deM de dimensionretωuner-forme diff´erentielle `a support compact d´efinie sur un ouvert deM contenantZ, on pose

Z ωsur le segment (ouvert) joignant0`axest

Z 1 0

Xωj(tx)xjdt.

Th´eor`eme 3.2(Formule de Stokes). — SoientM une vari´et´e orient´ee de dimensionnetω une(n−1)-forme surM `a support compact. On a

Z

M

dω= 0.

D´emonstration. — Grˆace `a la lin´earit´e de l’int´egrale et `a l’existence de partitions de l’unit´e, il suffit de traiter le casM =Rⁿ etω =f dx2∧ · · · ∧dxn, avecf fonctionC^∞ `a support et quef est `a support compact.

SoientMune vari´et´e orient´ee etZune sous-vari´et´e compacte orient´ee de dimensionr. Si ωest uner-forme exacte, la formule de Stokes entraˆıneR

Zω= 0. Cela permet de d´efinir une

S¹ω induit un isomorphisme de l’espace vectorielH_DR¹ (R²r{(0,0)})surC. En effet, siR

S¹ω = 0, on peut d´efinir une fonction f:C^∗ → Cen prenant pourf(re^iθ)l’int´egrale deωsur un arc de cercle joignant1 `ae^iθ

4. FORMES DIFF ´ERENTIELLES SUR LES TORES COMPLEXES 31

(elle ne d´epend pas du choix de cet arc), puis sur le segment joignante^iθ `are^iθ. On v´erifie comme dans la d´emonstration du lemme 2.1 quedf=ω.

2) On montre queH_DR^r (Pⁿ)est de dimension1sirest pair, positif et inf´erieur `a2n; nul sinon⁽³⁾.

3.4. — Nous aurons par la suite besoin de la notion de forme diff´erentielleenti`eresur une vari´et´e compacte. Nous n’avons malheureusement pas les outils techniques n´ecessaires pour donner une d´efinition correcte. Nous nous contenterons donc provisoirement de la r`egle sui-vante :soitM un espace projectif ou un tore complexe ; on dira qu’uner-forme diff´erentielle ω sur M estenti`eresi, pour toute sous-vari´et´e ferm´ee orient´eeZ de M de dimension r, l’int´egraleR

Zωest enti`ere<sup>(4)</sup>.SiX est un tore complexe qui est une sous-vari´et´e d’un es-pace projectifP<sup>n</sup>, la restriction `aX d’une classe enti`ere surP<sup>n</sup> est une classe enti`ere sur X.

Cette condition ne d´epend que de la classe deωdansH_DR(M); on parlera donc de classe de cohomologie de de Rhamenti`ere. Elle est bien sˆur impossible `a v´erifier telle quelle dans la pratique. Nous admettrons provisoirement le crit`ere suivant, et renvoyons `a la note 8, p. 59, pour une justification.

Crit`ere 3.5. — Pour qu’une2-forme surP<sup>n</sup>soit enti`ere, il faut et il suffit que son int´egrale sur une droite projective soit enti`ere.

Nous conclurons cette section en remarquant que l’espace vectoriel r´eel sous-jacent `a un espace vectoriel complexe a une orientation canonique pour laquelle, si(e1, . . . , en)est une base complexe quelconque, la base r´eelle (e₁, ie₁, . . . , e_n, ie_n)est directe. En particulier, toute vari´et´e complexe est canoniquement orient´ee.

4. Formes diff´erentielles sur les tores complexes

SoientX=V /Γun tore complexe de dimensiongetπ:V →Xla surjection canonique.

Pour tout ´el´ementγ deΓ, la compos´ee deπavec la translationτγ: x 7→ x−γ est ´egale

`aπ. Siωest une forme diff´erentielle surX, l’image inverseπ^∗ωdoit donc ˆetre une forme diff´erentielle surV invariante par tous lesτ_γ^∗; inversement, on v´erifie qu’une forme de ce type

provientdeX: soitΩun ouvertΓ-petit (au sens de I.2.1, p. 6), de sorte queπ|_Ωest une carte deX; si on poseωΩ=ω|Ω, les conditions de compatibilit´e de 2.2 sont v´erifi´ees puisque

3. On trouvera une d´emonstration dans [BT, pp. 172–173] : on utilise le fait que la cohomologie de de Rham est la cohomologie du faisceau constantC(cf.(14, p. 59)), puis la fibration localement trivialeCⁿ⁺¹r{0} →Pⁿde fibreC^∗, qui permet de calculerH(Pⁿ,C)par une suite spectrale.

4. Labonned´efinition (cf.d´ef. V.5.5, p. 59) est la suivante : on dit qu’uner-formeωsur une vari´et´e com-pacte orient´eeMestenti`eresi son int´egrale sur toutr-cycle (au sens de la th´eorie de l’homologie singuli`ere) de Mest enti`ere. Dans le cas o`u le groupe d’homologieHr(M,Z)est engendr´e par des classes de sous-vari´et´es com-pactes, cette d´efinition co¨ıncide avec la nˆotre ; c’est le cas siMest un tore complexe ou un espace projectif, mais pas en g´en´eral (c’est ce genre de pathologie qui a donn´e naissance `a la th´eorie du cobordisme de Thom). Nous reviendrons sur ce point dans la note 8, p. 59.

les changements de cartes sont des translations. En d’autres termes, les formes diff´erentielles surXsont les formes diff´erentielles surV invariantes parΓ, c’est-`a-dire les

ω= X

1≤j1<···<jr≤2g

ωj₁···j_rdxj₁∧ · · · ∧dxj_r,

o`u les fonctionsωj<sub>1</sub>···j<sub>r</sub> sontΓ-p´eriodiques. Cela inclut en particulier les formes constan-tes, c’est-`a-dire celles pour lesquelles lesω_j1···jr sont des fonctions constantes. Les formes constantes sont par ailleurs ferm´ees.

Lemme 4.1. — Soientω une forme diff´erentielle ferm´ee sur un tore complexeX etτ une translation deX. La formeτ^∗ω−ωest exacte.

o`u on voitωcomme une forme diff´erentielleΓ-p´eriodique surV. La(r−1)-formeη_asurV est bienΓ-p´eriodique. V´erifions quedηa(x) =ω(x+a)−ω(x); nous nous limiterons⁽⁵⁾au

puisqueωest ferm´ee. La fonctionηa

s’´ecrit

5. Pour le lecteur friand de formules, la d´emonstration dans le cas g´en´eral proc`ede ainsi : avec les notations de [C1], on a

Orωest ferm´ee, de sorte que

0 =dω(x+ta)(a, x1, . . . , xr)

4. FORMES DIFF ´ERENTIELLES SUR LES TORES COMPLEXES 33 diff´erentielle ferm´ee surX, le lemme entraˆıne que la moyenn´ee

ωe=X

ωe_j1···jrdx_j1∧ · · · ∧dx_jr est une forme constante surX cohomologue `aω, puisque

eω(z)−ω(z) =

4.2. — On a donc montr´e que toute forme diff´erentielle ferm´ee sur un tore complexe est cohomologue `a une forme constante (voir aussi l’exercice III.1 pour une autre d´emonstration).

On remarquera que toute forme r´eelle ferm´ee de type(1,1)d´efinie positive est cohomologue

`a une forme r´eelle de type(1,1)d´efinie positive constante (donc ferm´ee).

Proposition 4.3. — Soit X = V /Γun tore complexe. L’application Vr

V_C^∗ → H_DR^r (X) construite ci-dessus est bijective.

D´emonstration. — On vient de voir que cette application est surjective. Fixons une base (e1, . . . , e2g)deΓ. L’int´egrale d’une forme constantePωj₁···jrdxj₁∧ · · · ∧dxj_rsur l’image (lisse compacte sans bord) dansX du pav´e de cˆot´esej₁, . . . , ej_rvautωj₁···j_r, donc une telle forme n’est exacte que si elle est nulle.

4.4. — La d´emonstration de la proposition montre aussi qu’uner-forme constante enti`ere (au sens de 3.4) prend des valeurs enti`eres sur lesr-uplets d’´el´ements deΓ⁽⁶⁾.

6. La r´eciproque est vraie : la vari´et´eX est diff´eomorphe `aR<sup>2g</sup>/Z<sup>2g</sup>, donc `a(R/Z)^2g; la formule de K¨unneth ([BT, prop. 9.12]) entraˆıne que le groupe d’homologieHr(X,Z)est libre de rang ^2g_r

, engendr´e par

5. Formes diff´erentielles sur les espaces projectifs, formes de K¨ahler

Une forme diff´erentielleωsur l’espace projectifPⁿse remonte en une forme diff´erentielle surCⁿ⁺¹r{0}invariante par l’action deC^∗. Si

ω=X

ω_{j1···jpk1···kq}dz_j1∧ · · · ∧dz_jp∧dz_k1∧ · · · ∧dz_kq est une forme diff´erentielle de type(p, q), cela signifie

ωj₁···jpk₁···kq(tz) = 1

t^pt^q ωj₁···jpk₁···kq(z) pour tout complexetnon nul⁽⁷⁾.

Exemple 5.1. — La forme diff´erentielle

j=0zjzj, d´efinit par l’exercice III.2 une2-forme diff´erentielleωF Sr´eelle de type(1,1) surPⁿ, dite forme de Fubini-Study. On v´erifie au prix d’un petit calcul qu’elle est ferm´ee et invariante par l’action du groupe unitaireU(n+ 1)(ce petit calcul se simplifie grandement si l’on remarque queωF S(z) =_2πⁱ ∂∂logkzk²;cf.2.6).

La formeω_{F S}estd´efinie positive. Vue son invariance sousU(n+ 1), il suffit de le v´erifier en un point ; comme

La forme de Fubini-Study est aussi enti`ere. Il suffit par le crit`ere 3.5 de v´erifier que I=

les classes des sous-vari´et´es deXconsid´er´ees dans la d´emonstration de la proposition. De fac¸on plus intrins`eque,

les classes des sous-vari´et´es deXconsid´er´ees dans la d´emonstration de la proposition. De fac¸on plus intrins`eque,

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