2.2 L’´ evolution
2.2.2 Retraitement en batch, simulation continue
Le paragraphe pr´ec´edent montre comment nous simulons le couplage entre le re-traitement et la neutronique du coeur du MSFR. Cependant ce couplage est fond´e sur une grosse approximation : nous supposons que ce retraitement est continu alors qu’il est explicitement r´ealis´e en batch, typiquement journalier ou hebdomadaire. Cette ap-proximation est valable tant que la proportion de sel extraite pour le retraitement est faible et que cette extraction reste n´egligeable devant le coeur. A titre d’illustration, une journ´ee d’´evolution repr´esente moins de 40 pcm de perte de r´eactivit´e et 13,4 moles de noyaux lourds disparus, essentiellement par fission de l’uranium 233. Ces quantit´es sont bien ´evidemment n´egligeables devant les donn´ees du coeur puisque la quantit´e d’uranium totale pr´esente en coeur est de 32700 moles et que la quantit´e de noyaux lourds est de 186000 moles environ. Mais si on envisage d’effectuer un retraitement plus important, tous les mois par exemple, alors l’approximation du retraitement continu peut s’av´erer insuffisante.
Pour quantifier l’influence de cette approximation continue, calculons la perte de neutrons disponibles Np pendant δt dans le cas o`u le retraitement de la totalit´e du coeur est continu et effectu´e sur un temps Tc, cette quantit´e s’exprimant grˆace `a la relation 2.33. Np = t=δt Z t=0 Neqσφdt =Neqσφδt (2.23)
o`u Neq repr´esente la quantit´e par unit´e de volume des produits de fission `a l’´equilibre,
σ la section efficace moyenne de capture des produits de fission etφ le flux neutronique.
Neq se calcule facilement en exprimant l’´equilibre : la production des produits de fission est constante et reli´ee `a la puissance du coeur, et la disparition est li´ee au terme de retraitement qui est l’inverse du temps n´ecessaire pour retraiter l’ensemble du coeur, comme nous venons de le d´ecrire (sans oublier qu’une fission produit deux produits de fission). Il s’ensuit 2.24.
Neq = 2.NfσfφTc (2.24) o`u Nf est la quantit´e par unit´e de volume des noyaux fissiles, σf la section efficace moyenne de fission. Par cons´equent, le nombre de neutrons perdus pendant un temps
Neq = 2.Nfσfσφ2Tc2 (2.25) Dans le cas o`u le retraitement est effectu´e en batch, c’est-`a-dire que l’on retraite l’ensemble du coeur en une seule fois, la concentration des produits de fission NP F
s’exprime comme 2.26.
NP F = 2.Nfσfφt (2.26) o`u t repr´esente le temps entre 0 et Tr, Tr repr´esentant le temps au bout duquel on retraite le coeur. Le nombre de neutrons perdus par capture sur les produits de fission sur l’ensemble du fonctionnement du r´eacteur (entre t = 0 et t =Tr) s’exprime, dans ce cas, comme 2.27. Np = t=Tr Z t=0 NP F(t)σφdt= 2.Nfσfσφ 2Tr2 2 (2.27)
Pour que l’on soit dans des configurations similaires, il suffit donc d’identifier les rela-tions 2.25 et 2.27 pour trouver 2.28.
Tc2 = T
2
r
2 (2.28)
On a finalement la relation entre le temps de retraitement continu et le temps de retraitement en batch comme 2.29.
Tr = √
2TC (2.29)
Il devient clair que si le retraitement s’effectue en batch, il peut ˆetre plus long que s’il s’effectue de mani`ere continue. L’approximation continue dans nos simulations est donc une approximation p´enalisante en ce qui concerne la perte de neutrons due aux produits de fission.
Cette relation est vraie dans le cas o`u l’on retraiterait l’ensemble du combustible. Dans le cas, plus probable, o`u l’on ne retraiterait qu’une partie du combustible, le nombre de produits de fission ne s’exprime plus comme la relation 2.26. L’´etat sta-tionnaire impose que le nombre de produits de fission form´e pendant l’intervalle de temps consid´er´e soit ´egal au nombre de produits de fission extrait par le retraitement. Notons ∆T l’intervalle de temps entre deux op´erations de retraitement, et N1 la fraction du volume retrait´ee `a chaque ∆T. Il faut donc N∆T pour retraiter l’ensemble du sel de coeur. Le retraitement extraitNP F(∆T)/N produits de fission `a chaque retraitement. L’expression de l’´etat stationnaire peut alors s’exprimer comme 2.30.
NP F(∆T)
N = 2Nfσfφ∆T (2.30)
Comme de plus, on connait la variation de la concentration des produits de fission comme 2.31,
dNP F(t)
dt = 2Nfσfφ (2.31) NP F(t) v´erifie une ´equation de droite en fonction du temps ne passant pas par l’origine sur l’intervalle [0; ∆T]. La r´esolution de cette ´equation diff´erentielle conduit `a 2.32.
NP F(t) = 2Nfσfφ(t+ (N −1)∆T) (2.32) Nous pouvons donc exprimer le nombre de neutrons perdus par capture sur les PF par l’int´egrale de l’expression 2.33 comme
Np = t=∆T Z t=0 NP F(t)σφdt= 2Nfσfσφ2 (∆T)2 2 + (N −1)(∆T)2 (2.33)
L’identification des neutrons perdus par absorption sur les produits de fission conduit ` a 2.34. Tc = ∆T. r N − 1 2 (2.34)
Dans le cas o`u l’on retraite l’ensemble des PF en une seule fois (N = 1), on retrouve le r´esultat pr´ec´edent.
Pour quantifier l’erreur que l’on peut faire en supposant le retraitement continu, nous pouvons calculer le nombre de neutrons perdus par absorption des produits de fission sur l’intervalle ∆T dans le cas de l’approximation continue (expression 2.35). Notons (Np)approx ce nombre.
(Np)approx =
∆T
Z
0
Neqσφdt=Neqσφ∆T = 2Nfσfσφ2∆T.Tc (2.35)
Le rapport entre l’approximation et le cas r´eel peut s’exprimer comme la relation 2.36. (Np)approx Np = Tc ∆TN − 1 2 (2.36)
Dans le cas nominal du retraitement, nous supposons retraiter un 450eme` du coeur chaque jour ; nous simulons ce proc´ed´e de mani`ere continue. Tc vaut donc 450 jours, ∆T vaut 1 jour, et N 450. L’erreur sur le nombre de neutrons perdus par absorption des produits de fission est compl`etement n´egligeable, et celle-ci le sera tant queN est tr`es grand devant 1. Comme N∆T =Tc, nous pouvons exprimer le passage `a la limite de 2.36 comme l’expression 2.37.
(Np)approx
Np ∼ 1 + 1
2N (2.37)
Lorsque l’on simule un retraitement journalier effectu´e en 450 jours par une approxi-mation continue, nous faisons donc une erreur d’environ 0,1%. Cette erreur diminue avec l’allongement du temps de retraitement.