Les incertitudes en ´ evolution

Le paragraphe 2.1.2 explique quelles sont les incertitudes auxquelles nous pouvons nous attendre lorsqu’on fait des cacluls de neutronique sur le MSFR. Pour estimer la fa¸con dont les erreurs statistiques sur les taux de r´eactions se propagent au cour de l’´evolution, nous avons, sur un cas standard, effectu´e un grand nombre d’´evolutions ind´ependantes pour voir la dispertion des valeurs obtenues. L’observable consid´er´ee est la diff´erence entre les compositions en fin d’´evolution et les compositions en d´ebut d’´evolution pour les actinides. Pour la plupart des ´el´ements consid´er´es, la diff´erence ob-serv´ee n’est rien d’autre que la valeur finale sauf dans le cas du thorium et de l’uranium. Nous avons fait deux s´eries de 30 ´evolutions ; pour chaque s´erie, nous avons fait varier le nombre d’histoires de neutrons dans les calculs MCNP. Dans la premi`ere s´erie, nous sui-vions 5000 neutrons par cycle pendant 50 cycles, alors que dans la deuxi`eme s´erie nous suivions 10000 neutrons par cycle pendant 100 cycles. Les figures 2.2 et 2.3 repr´esentent le rapport de l’´ecart type sur la valeur moyenne de la diff´erence pr´ealablement d´efinie.

Figure2.2: Erreur relative obtenue sur les compositions en actinides en fin d’´evolution en suivant 5000 neutrons par cycle pendant 50 cycles actifs

La dispertion des valeurs, sauf dans le cas de l’uranium, est relativement faible. Le cas de l’uranium 233 est particulier puisque la quantit´e d’uranium n’´evolue pratique-ment pas pendant l’´evolution. La diff´erence entre la composition finale et la composition initiale est proche de 0, et par cons´equent, le rapport de l’´ecart-type sur la diff´erence

Figure2.3: Erreur relative obtenue sur les compositions en actinides en fin d’´evolution en suivant 10000 neutrons par cycle pendant 100 cycles actifs

tend `a diverger. Nous voyons aussi qu’il y a une corr´elation entre la dispertion et la localisation dans la chaˆıne d’´evolution. Ainsi, si le chemin est long pour former un noyau, l’erreur commise sur sa composition en fin d’´evolution sera plus ´elev´ee que pour un noyau dont la formation est rapide. Il faut rajouter que les noyaux profond´ement situ´es dans l’arbre d’´evolution seront faiblement form´es. Sur les figures 2.2 et 2.3, les quelques ´el´ements dont nous pouvons attendre une incertitude sup´erieure `a 10% sont anecdotiques dans la composition du sel (ils repr´esentent moins de 10⁻7 des noyaux lourds soit moins d’un gramme noy´e dans la totalit´e du sel combustible). Dans le but de repr´esenter le gain de pr´ecision que l’on a lorsque l’on multiplie le nombre d’histoires de neutrons, nous avons trac´e, dans la figure 2.4, le rapport des erreurs statistiques obtenues avec la s´erie de calculs de grande pr´ecision sur les erreurs obtenues avec les calculs de pr´ecision moindre. On devrait s’attendre `a une valeur de 1/2 puisque les erreurs relatives sur les taux de r´eaction sont calcul´ees grˆace `a la relation 2.5. Or, les simulations montrent que le gain est tr`es fluctuant : augmenter d’un facteur 4 le nombre d’histoire, n’implique donc pas une augmentation d’un facteur 2 sur la pr´ecision des quantit´es en fin d’´evolution, surtout en ce qui concerne les noyaux qui sont situ´es pro-fond´ement dans l’arbre d’´evolution. Notons tout de mˆeme que les calculs MCNP sont 4 fois plus longs, puisque le temps de calcul varie proportionnellement avec le nombre d’histoires.

Le tableau 2.3 r´ecapitule les incertitudes relatives attendues sur les variations de quantit´es entre la fin et le d´ebut de l’´evolution avec des calculs MCNP standard (250 000 neutrons suivis) pour les actinides dignes d’int´erˆet (c’est-`a-dire qu’ils repr´esentent au moins 1% de la totalit´e des noyaux lourds en fin d’´evolution ou qu’ils joueront un rˆole dans la radiotoxicit´e `a long terme d’apr`es [Do-07]). Nous insistons sur le fait que si l’incertitude sur la variation de la quantit´e d’uranium 233 est ´enorme, l’incertitude relative sur la quantit´e elle-mˆeme est tr`es faible puisque la quantit´e d’uranium 233 n’´evolue que de 0,09 % entre le d´ebut et la fin de l’´evolution. L’incertitude absolue sur cette quantit´e en fin d’´evolution n’est que de 0,12 %. A la vue de ce tableau, nous pouvons donc conclure que la pr´ecision sur les concentrations isotopiques des actinides

230 235 240 245 250 255 A 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8

Rapport des "Erreur/Moyenne

(Final - Initial)" Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es

Figure 2.4: Rapport des erreurs : erreur statistique du calcul de grande pr´ecision sur celle du calcul de pr´ecision moindre

en fin d’´evolution est tr`es satisfaisante.

Isotope Quantit´e dans le sel en fin d’´evolution Incertitude relative sur la variation

Th-232 80,7 % ˜ 0,4 % U-233 11,2 % ˜ 134 % U-234 4,10 % ˜ 0,1 % U-236 1,36 % ˜ 0,1 % U-235 1,22 % ˜ 0,2 % Pa-231 0,02 % ˜ 1,2 %

Table 2.3: R´ecapitulatif des actinides dont l’incertitude relative est sup´erieure `a 10% Le mˆeme travail effectu´e sur les produits de fission nous montre que, si le retrai-tement est bien connu et d´efini, l’incertitude sur les produits de fission n’est pas plus importante que celle pour les actinides (moins de 1 %).

La sensibilit´e de ces compositions avec le retraitement est pr´esent´ee dans les chapˆıtres suivants, cependant la composition du sel peut changer en cours d’´evolution. En effet celui-ci se charge en produits de fission au cours de l’´evolution, et il est difficile (voire impossible) de connaˆıtre avec une pr´ecision satisfaisante la densit´e du sel combustible pendant l’´evolution. Nous pouvons consid´erer deux cas enveloppes. La premi`ere hy-poth`ese est de supposer la densit´e constante : en effet, les isotopes cr´e´es seraient en concentration trop faible pour avoir une r´eelle influence. La deuxi`eme serait de suppo-ser que tous les isotopes poss`edent le mˆeme rayon ionique. Nous avons fait ce deuxi`eme choix : corriger la densit´e par le rapport des masses des noyaux en pr´esence, c’est-`a-dire que le volume est fix´e et la densit´e est calcul´ee `a chaque it´eration comme le rapport de la masse sur le volume. Dans le cas o`u le retraitement est efficace (peu d’accumu-lation de produits de fission car ils sont tous extraits), cette hypoth`ese entraˆıne un changement tr`es faible de la densit´e et nous pouvons la consid´erer comme constante. Cette hypoth`ese devient vite limitante si un ou des produits de fission vient `a

s’ac-cumuler dans le sel. Cependant, cette seconde hypoth`ese semble plus appropri´ee que la premi`ere puisqu’elle fait intervenir un changement de composition du sel. Dans le cas o`u ce changement de composition serait trop violent, la m´ethode correcte serait de corriger la densit´e en introduisant une autre valeur, mais malheureusement, les donn´ees de la litt´erature sont, le plus souvent inexistantes.