2.3 L’environnement DALI
2.3.4 Etudier l’´ evolution d’un r´ eacteur (ERE)
O efeito Kerr representa a resposta não-linear cúbica instantânea do meio. A medida que o campo eléctrico se torna mais intenso, a resposta dos electrões não livres do meio aproxima-se do limite da linearidade, a partir do qual não consegue acompanhar as variações do campo eléctrico, como podia an- tes. Electrostricção, variações térmicas causadas pela intensidade do campo eléctrico e proximidade da banda proibida dos semicondutores são fenómenos físicos que podem ser responsáveis pelo efeito Kerr.
A intensidade do campo eléctrico toma então um papel importante neste fenómeno: altera o índice de refracção efectivo, de tal maneira que o campo vê o meio responder-lhe de forma distinta de acordo com a sua intensidade. Quando o índice de refracção varia, varia igualmente a fase do campo, e é por isso que este fenómeno é também chamado auto-modulação de fase3, uma vez
que o campo modula a sua própria fase ao longo da propagação através do meio.
Uma situação diferente, paralela, onde o efeito Kerr está presente é a propagação de um feixe luminoso através da atmosfera. Neste caso, a inten- sidade do feixe é suficiente para alterar termicamente o índice de refracção do ar, criando uma espécie de guia de onda. A medida que o efeito de guia de onda aumenta, aumenta também a intensidade do feixe, e este é auto-focado. Há também o caso de propagação num guia de onda uni-dimensional, onde o efeito Kerr é limitado pela difracção e os campos que se propagam são estáveis [68]. A diferença entre estes casos e a propagação de um impulso numa fibra óptica é a dimensão na qual ocorre a dispersão: num caso é o espaço - difracção -, noutro o tempo - dispersão temporal.
2.3.1 Equação de propagação
Na equação de propagação, o efeito Kerr aparece como um termo que depen- de da intensidade do campo eléctrico - através do quadrado do seu módulo - multiplicada pelo próprio campo eléctrico. A equação seguinte modela a pro- pagação de um impulso onde o efeito dominante é a não-linearidade de Kerr. A variável U, que descreve a amplitude do campo, é definina na equação B.9, o parâmetro de não-linearidade 7 está relacionado com a susceptibilidade de terceira ordem do meio x ~ equação B . 1 7 - e P0é a potência de pico inicial
3Self phase modulation em Inglês.
UNIVERSIDADE DO PORTO
FACULDADf DE CI|MC|A6
do impulso.
d
-^n=nP
0\U(z,T)\
2U(z,T) (2.16)
Esta equação pode ser expeditamente resolvida - uma vez que a variaçãointroduzida com o decorrer da propagação é apenas em fase e não altera o módulo do campo eléctrico - e resulta num impulso que tem uma fase com variação não-linear, <f>, descrita a seguir juntamente com a sua frequência instantânea.
0 = - z7W ( O , T ) |2 (2.17)
5 a ; = M = _2 7p0A | [ / ( o , T ) |2 (2.18)
Novas frequências vão ser geradas pelo efeito Kerr à medida que o impulso se propaga - a modulação do índice de refracção cria variações de fase que geram novas frequências - e o espectro vai alargar. Mas como se pode ver através da resolução da equação de propagação, a forma do impulso não varia com a propagação, apenas a sua fase. O impulso está a ser trinado.
Se se pensar na forma usual de um impulso - um impulso gaussiano, por exemplo - pode ver-se que o desvio de frequência é negativo à frente do impulso - desvio para o vermelho -, e positivo atrás do impulso - desvio para o azul. Isto é exactamente o que acontece com a DVG - a frente e a traseira do impulso sofrem desvios de frequência com sinais opostos. Se a forma do impulso e o sinal do parâmetro da DVG forem apropriados, e se ambos os efeitos se fizerem sentir, então podem neutralizar-se mutuamente de maneira a que o impulso se propague sem distorção.
2.3.2 Distância característica
A distância característica do efeito Kerr depende do parâmetro de não- linearidade Kerr e da potência de pico do impulso da maneira descrita a seguir.
Lfíerr = ^ (2.19)
Isto quer dizer que quanto maiores forem a potência de pico ou o parâmetro de não-linearidade, mais perto do início da propagação se fará sentir o efeito Kerr. Isto porque o efeito Kerr é mais forte para intensidades elevadas, e, claro, a resposta do meio é caracterizada pelo parâmetro de não-linearidade -
sendo a resposta do meio mais forte, maior será o valor do parâmetro e maior o efeito da não-linearidade no impulso. O efeito Kerr não impõe qualquer dependência da distância característica com a largura do impulso, agindo de igual modo para impulsos curtos e largos.
Fazendo uma mudança de variáveis de maneira a normalizar o tempo pela largura do impulso, r = ^ , e a distância de propagação pela distância característica do efeito Kerr, £ = j ^ - — , obtém-se uma nova equação de propagação para a situação em que o efeito Kerr domina, que está a seguir.
M|li=j|C/(e,r)|
2í/(e,r) (2.20)
2.3.3 Propagação de um impulso Gaussiano
A característica mais relevante de um impulso que está submetido a uma propagação dominada pelo efeito Kerr é o alargamento espectral e a modu- lação de frequência que crescem juntamente com a propagação. Isto pode ser explicado através do trinado imposto pelo efeito Kerr a um impulso gaussi- ano, que é referido a seguir (ver capítulo 4 de [48]). Como era de esperar pela análise prévia, o desvio de frequência é positivo na traseira do impulso e negativo na sua frente.
ou = 2^TJ—exp
- ( * ) " (2.21)
Mas o mais importante de notar é que o desvio de frequência é ímpar, isto é anti-simétrico, em relação a T - a fase é par -, e que cresce linearmen- te com a distância de propagação. Portanto, ao transformar o impulso do domínio temporal para o espectral, os lados positivo e negativo do impulso - aos pares U(—T),U(T) - vão contribuir de maneira simétrica para o es- pectro, interferindo para construir a sua forma. A medida que o impulso se propaga, as contribuições de fase de todos os pares U(—T), U(T) vão sendo progressivamente diferentes, variando assim a maneira como a interferência é feita - às vezes construtivamente outras vezes destrutivamente, e isto para cada componente espectral. É portanto razoável esperar alguma modulação do espectro.
A figura 2.4 mostra a intensidade espectral de um impulso Gaussiano propagando-se num meio onde domina o efeito Kerr. E de notar um aumento da modulação da intensidade à medida que a propagação decorre, e também os lobos laterais mais fortes.
Figura 2.4: Modulação de frequência de um impulso gaussiano num meio onde o efeito Kerr domina - também chamada de auto-modulação de fase.
2.3.4 Trinado do impulso inicial
Trinar linearmente o impulso não terá um efeito substancial na propagação, o que é bastante diferente do que acontece com a DVG. No entanto o trinado alterará o espectro.
Trinado positivo fará com que o efeito da modulação avance, uma vez que a frequência instantânea inicial, devida ao trinado - equação 2.13 -, tem o mesmo sentido, que é positivo ou negativo conforme o instante temporal e o valor da constante de trinado C, do que a frequência instantânea imposta pelo efeito Kerr ao longo da propagação - equação 2.18. Ao contrário, trinado negativo atrasará a efeito da modulação: a frequência instantânea inicial tem o sentido oposto à frequência instantânea imposta pelo efeito Kerr, o que faz com que o espectro seja comprimido inicialmente, antes da modulação e alargamento normais da auto-modulação de fase, como é possível ver na figura 2.5 e por comparação com a figura 2.4.
A figura 2.6 mostra o espectro de dois impulsos que foram inicialmente trinados - com parâmetros positivo e negativo - e de um impulso inicialmente não trinado, depois da mesma distância de propagação - equivalente a várias distâncias características. Note-se o número de picos dos espectros: o impulso trinado negativamente tem menos picos que o impulso que não foi trinado, e este menos ainda que o espectro do impulso que foi trinado positivamente.
Intensidade , / ^ 1800 1600 1400 1200 1000 800 600 400 200 % \^~~*£-^^^^ -0.5 Frequência Distancia ■0.5 0 0.5 1 Frequência
F i g u r a 2 . 5 : Modulação de frequência de um impulso gaussiano trinado negativamente num meio onde o efeito Kerr domina. A esquerda a distribuição espectral e espacial da intensidade e à direita os perfis espectrais no início da propagação, num ponto em que o impulso está a ser comprimido e noutro ponto onde já se nota o processo normal de modulação, à medida que a espessura do traço aumenta.
O efeito da automodulação de fase pode ser visto como sendo atrasado para trinado negativo e avançado para trinado positivo, tal como foi explicado no parágrafo anterior.
F i g u r a 2.6: Espectro de três impulsos gaussianos trinados linearmente de maneira dife rente, após propagação igual num meio onde o efeito Kerr domina. Da esquerda para a direita, o valor do parâmetro do trinado de cada impulso é 1, 0 e 1 .