Chapitre 5 : Jeux dynamiques à information incomplète
5.6. Les jeux de signaux
5.6.3. Raffinements des équilibres d’un jeu de signal
Si le message m′ est hors sentier d’équilibre, la règle de Bayes n’est pas applicable et ne pose donc aucune restriction particulière sur la croyance μ
(
t/m′)
. Mais n’importe quelle croyance ne peut pour autant être acceptée. Les raffinements des équilibres des jeux dynamiques à information incomplète sont des exigences supplémentaires visant à rendre crédibles et raisonnables ces croyances. Par conséquent, un équilibre bayésien parfait ayant des croyances hors équilibre non raisonnables ne peut être considéré comme une prédiction acceptable. Ces raffinements permettent ainsi d’écarter les équilibres qui ne paraissent pas raisonnables, ce qui réduit le nombre de ces équilibres. Par exemple, dans le modèle de signal à deux types de Spence, le critère de domination par l’équilibre et le critère intuitif permettent d’écarter tousles équilibres bayésiens parfaits sauf l’équilibre séparant où le travailleur de type tL choisit un niveau d’éducation égal à 0 et le travailleur de type tH choisit le niveau d’éducation e.96 Le critère de domination
Définition : Le message m′ est une action dominée pour le type t s’il existe un autre message m tel que le paiement maximal obtenu par t jouant m′est inférieur au paiement minimal obtenu par t jouant m, soit si Max u
(
m a t)
Min u(
m a t)
a
a 1 ′, , < 1 , , .97
Selon ce critère de raffinement, si le message m′ est une action dominée pour le type t, alors la croyance raisonnable du récepteur, s’il venait à observer le message m′, est une probabilité a posteriori nulle du type t, soit μ
(
t/m′)
=0. Ce critère de raffinement peut être renforcé en considérant qu’en réponse à la combinaison(
T,m)
ou(
T,m′)
, le récepteur ne choisira pas n’importe quelle action a, mais jouera la meilleure action b( )
T,⋅ pour des croyances données.En conséquence, on dira que le message m′ est une action dominée pour le type t s’il existe un autre message m tel que
( ) u
(
m a t)
Min( ) u(
m a t)
Max
m T b a m
T b
a , , 1 , ,
1 ,
, ′ ∈
∈ ′ < .
Il peut exister plusieurs types pour lesquels le message m′ est dominé. Soit S
( )
m′ l’ensemble de ces types. Alors la croyance raisonnable devient( )
( ) / ′ =0
∑
′∈S m t
m
μ t . Pour le message hors sentier d’équilibre m′, on doit donc raisonnablement mettre tout le poids sur les types t′
appartenant à T mais n’appartenant pas à S
( )
m′ , ce qui donne μ(
t′/m′)
>0 pour tout( )
m S Tt′∈ − ′ (en supposant que l’ensemble T−S
( )
m′ soit non vide). L’ensemble T −S( )
m′ est donc l’ensemble des types t′ pour lesquels le message m′ n’est pas dominé.98Dans le modèle de signal à deux types de Spence par exemple, le renforcement du critère de domination permet d’éliminer tous les équilibres séparants sauf l’équilibre séparant où e*L =0 et eH* =e. Ce critère ne permet cependant pas d’écarter tous les équilibres mélangeants.99 Le critère de domination par l’équilibre
Le raffinement basé sur le critère de domination peut être insuffisant pour écarter tous les équilibres bayésiens parfaits au sens faible qui paraissent non raisonnables. Pour réduire encore plus ces types d’équilibres, on peut recourir au critère de la domination par l’équilibre qui est un critère plus exigeant que le critère de domination.
Définition : Considérons un équilibre bayésien parfait postulé pour un jeu de signal et soit
( )
tu1* le paiement obtenu par l’émetteur de type t à cet équilibre. Un message m′ hors sentier
96 Voir chapitre 8 relatif au modèle de signal de Spence (1974).
97 Cho, I-K et D. Kreps (1987). Signaling game and stable equilibria. Quarterly Journal of Economics. Volume 102, pages 179-221.
Voir aussi Mas-Colell, A, M.D. Whinston and J.R. Green (1995), page 467.
98 Dans le langage de la théorie des ensembles, il s’agit du complément de l’ensemble S( )m′ par rapport à l’ensemble T.
99 Voir chapitre 8 relatif au modèle de signal de Spence (1974).
d’équilibre est dominé par l’équilibre pour le type t de l’émetteur si le plus grand paiement
Ce critère se base sur l’idée selon laquelle si un équilibre donné est postulé, alors à cet équilibre, les joueurs (en particulier le récepteur) doivent croire que le type t n’a aucune incitation à choisir un message m′ dominé par l’équilibre. Le critère de domination par l’équilibre peut être renforcé en considérant qu’en réponse à la combinaison
(
T,m′)
, le récepteur ne choisira pas n’importe quelle action a, mais jouera la meilleure action pour des croyances données. En conséquence, un message m′ hors sentier d’équilibre est dominé par l’équilibre pour le type t si( )u
(
m a t)
u( )
t∈ ′ . Il peut exister plusieurs types pour lesquels le message m′ est dominé par l’équilibre. Soit S*
( )
m′ l’ensemble de ces types.Selon ce critère de raffinement, il n’est donc pas raisonnable que l’équilibre postulé comprenne une croyance du récepteur affectant une probabilité strictement positive au type t s’il venait à observer le message m′. La croyance raisonnable du récepteur est donc d’affecter une probabilité nulle à la possibilité que le type t choisisse le message m′, soit μ
(
t/m′)
=0 pour tout t∈S*( )
m′ . Pour le message hors sentier d’équilibre m′, on doit donc raisonnablement mettre tout le poids sur les types t′ appartenant à T mais n’appartenant pas à( )
m l’ensemble des types t′ pour lesquels le message m′ n’est pas dominé par l’équilibre.Dans le modèle de signal de Spence à deux types, le critère de domination par l’équilibre permet d’écarter tous les équilibres séparants sauf l’équilibre séparant où e*L=0 et eH* =e, ce qui peut être considéré comme une simple conséquence au fait que le critère de domination par l’équilibre est plus exigeant que le critère de domination. Ce critère permet également d’écarter tous les équilibres mélangeants.100
Le critère intuitif
Dans certains jeux, le critère de domination par l’équilibre ne permet pas d’écarter tous les équilibres non raisonnables. Cho et Kreps (1987) ont proposé le « critère intuitif » qui est un raffinement plus exigeant que les raffinements précédents.101 Considérons un message m′
hors sentier d’équilibre et soit S*
( )
m′ l’ensemble des types pour lesquels le message m′ est dominé par l’équilibre. La croyance raisonnable à cet équilibre est donc( )
( ) / 1
dira que l’équilibre bayésien parfait postulé ne satisfait pas au critère intuitif, si pour le message m′, il existe un type t′∈T−S*
( )
m′ tel que :100 Voir chapitre 8 relatif au modèle de signal de Spence (1974).
101 Cho, I-K et D. Kreps (1987), Page 202.
Le type t′ étant incité à dévier vers le message hors équilibre m′, l’équilibre bayésien parfait postulé ne peut être considéré comme une prédiction raisonnable.
Pour simplifier l’exposé du critère intuitif, considérons un jeu de signal avec deux type t et t′
et deux messages m et m′ et que ce jeu admette un équilibre mélangeant dans lequel les deux types choisissent le message m avec des croyances hors équilibre le soutenant. Supposons qu’à cet équilibre, pour le type t, le message hors équilibre m′ est dominé par l’équilibre. Le paiement obtenu à cet équilibre par le type t est donc supérieur au plus grand paiement qu’il pourrait obtenir en déviant vers le message m′ et ce quelque soit les croyances hors équilibre du récepteur. Si le récepteur venait à observer le message m′, sa croyance raisonnable est donc d’affecter toute la probabilité au type t′, soit μ
(
t′/m′)
=1. Si en conséquence à cette croyance, la meilleure réaction du récepteur au message m′ permet au type t′ d’obtenir un paiement supérieur à son paiement à l’équilibre, l’incitant ainsi à dévier, alors l’équilibre postulé est à écarter sur la base du critère intuitif.Ainsi, un équilibre bayésien parfait est à écarter sur la base du critère intuitif, si les deux conditions suivantes sont satisfaites :
1) Quelque soient ses croyances hors sentier d’équilibre, la meilleure réaction du récepteur au message hors équilibre implique une réduction du paiement du type t par rapport à l’équilibre ;
2) Etant donnée la croyance raisonnable μ
(
t′/m′)
=1 résultant de cette première condition, la meilleure réaction du récepteur au message m′ implique l’accroissement du paiement du type t′ par rapport à l’équilibre.A titre d’illustration de l’utilisation du critère intuitif, reconsidérons l’équilibre bayésien parfait au sens faible mélangeant ⎢⎣⎡
(
R R) (
d d)
q= , p⎥⎦⎤2
; 1 , ,
, avec
3
<1
p décrit dans la figure 5.9. Au regard du critère intuitif, cet équilibre n’est pas une prédiction raisonnable car il comprend une croyance non raisonnable. On remarque en effet que pour le type t2, le message L est dominée par l’équilibre car le meilleur paiement obtenu en jouant L (soit 4) est inférieur au paiement obtenu à l’équilibre en jouant R (soit 7). La croyance raisonnable qui en résulte est μ
(
t2/L)
=0. Donc, si le récepteur venait à observer le message hors équilibre L, la seule croyance raisonnable est d’affecter tout le poids au type t1, soit μ(
t1/L)
=1. Ceci implique que la meilleure réponse du joueur 2 au message hors équilibre L est l’action u. De ce fait, le type t1 obtiendra un paiement de 5, supérieur au paiement de 3 obtenu à l’équilibre présumé. Le type t1 étant incité à dévier, l’équilibre bayésien parfait a sens faible( ) ( )
⎥⎦⎤⎢⎣⎡ R R d d q= , p 2
; 1 , ,
, avec
3
<1
p n’est pas une prédiction raisonnable, et ce en application du critère intuitif.
En conséquence, le jeu de la figure 5.8 admet un seul équilibre bayésien parfait et qui est