L’espérance de revenu dans le modèle à valeurs privées indépendantes

Un des résultats importants de la théorie des enchères à valeurs privées indépendantes est que l’espérance de revenu ^E

( )

^R du vendeur est identique pour une large étendue d’enchères, notamment pour les quatre formes d’enchères courantes, à savoir l’enchère anglaise, l’enchère hollandaise, l’enchère sous pli cacheté au plus haut prix et l’enchère sous pli cacheté au second prix. Ce revenu espéré dépend du nombre n d’acheteurs potentiels, de la distribution de probabilité des valeurs subjectives v_i attribuées par les acheteurs potentiels au bien mis en vente et de la valeur subjective v_* au-dessous de laquelle les acheteurs potentiels ne trouvent pas intéressant d’enchérir. Ce résultat a été mis en avant en premier par Vickrey (1961) et a été par la suite confirmé par Myerson (1981) et par Riley et Samuelson (1981).¹⁷⁰

La littérature traitant du modèle de valeurs privées indépendantes dans le cas de la vente d’un bien unique se base sur les hypothèses fondamentales suivantes :

i) Le vendeur a une valeur de réservation égale à v₀. C’est le prix au-dessous duquel il n’acceptera pas de vendre le bien.

ii) Le choix des règles d’enchère revient généralement au vendeur qui a ainsi pour objectif d’exploiter sa position monopolistique.

iii) Il existe n enchérisseurs potentiels et la disposition à payer de chaque enchérisseur est ^vi∈

[ ]

^v,^v et n’est connue que de lui-même. C’est son information privée.

170 Myerson R. B. (1981). « Optimal Auction Design ». Mathematics of Operations Research. Vol. 6, N° 1, 1981. P 58-73.

John Riley & William Samuelson. Optimal Auctions. The American Economic Review. Vol. 71, n° 3. June 1981.

P 381-392.

iv) Chaque acheteur i considère la disposition à payer des autres acheteurs comme un tirage aléatoire indépendant à partir d’une distribution de probabilité. Cette dernière, la même pour tous les enchérisseurs, est une information commune à tous les joueurs (le vendeur et les n acheteurs potentiels). Ceci est l’hypothèse IID.¹⁷¹ La figure 10.1 représente la fonction de répartition ^F

( )

^v de la valeur de réservation de l’acheteur potentiel. La fonction de répartition F

( )

v est donc telle que F

( )

v =0, F

( )

v =1. Elle est différentiable sur tout l’intervalle

[ ]

^{v,v , avec} F′

( )

v = f

( )

v >0.

Dans ce chapitre, nous nous basons sur la contribution importante de Riley et Samuelson (1981) pour dériver l’expression de l’espérance de paiement du vendeur dans le cadre des enchères appartenant à la famille E d’enchères caractérisées par les propriétés suivantes :¹⁷²

- Tout acheteur potentiel peut faire une offre supérieure au prix de réserve b₀ annoncé par le vendeur.¹⁷³

- Le bien est attribué à l’acheteur ayant proposé la plus grande enchère.

- Les règles de l’enchère sont anonymes et donc aucun acheteur ne bénéficie d’un traitement préférentiel.

- Il existe une stratégie d’équilibre commune b

( )

⋅ , fonction strictement croissante des évaluations v_i, c’est-à-dire b′

( )

v_i >0.

Riley et Samuelson (1981) ont obtenu les principaux résultats :

- Lorsque le vendeur et l’ensemble des n acheteurs potentiels sont neutres au risque, le revenu espéré du vendeur est le même pour toutes les formes d’enchères appartenant à la famille E définie plus haut. En particulier, comme les quatre formes d’enchères décrites plus haut, à savoir l’enchère anglaise, l’enchère hollandaise, l’enchère au premier prix sous pli cacheté et l’enchère au second prix sous pli cacheté font partie de la famille E, elles procurent au vendeur la même espérance de revenu.

- Les acheteurs potentiels proposent une enchère inférieure à leur disposition à payer, c’est-à-dire b

( )

v_i <v_i.

171 IID : Independent and Identical Distributions

172 Riley J et Samuelson W. 1981. P 382. Myerson (1981) est parvenu au même résultat en adoptant une démarche différente.

173 b0 est le prix de réserve annoncé par le vendeur, tandis que v₀ est son prix de réserve subjectif, non observable par les enchérisseurs.

^F( )^v ( )^{v =1}

F

( )^{v =0}

F

v v v Figure 10.1

- Le prix de réserve annoncé b₀ par le vendeur est supérieur à sa valeur subjective, soit b₀ >v₀.

- Lorsque les enchérisseurs ont de l’aversion pour le risque, le revenu espéré du vendeur est plus élevé avec l’enchère sous pli fermé au premier prix par rapport à l’enchère sous pli fermé au second prix.

Le revenu du vendeur est le paiement effectué par l’acheteur qui remporte l’enchère. En conséquence, pour déterminer le revenu espéré du vendeur, il faut déterminer le paiement espéré de l’acheteur ayant remporté l’enchère. Cette démarche implique donc l’analyse de la stratégie d’enchère des acheteurs. En participant aux enchères, un acheteur potentiel obtient une utilité espérée (gain espéré) égale à :

⎭⎬

⎫

⎩⎨

−⎧

⎭⎬

⎫

⎩⎨

×⎧

⎭⎬

⎫

⎩⎨

=⎧

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎧

paiement de

Espérance gagner

de

é Probabilit n

réservatio de Valeur acheteur

l' de

espéré Gain

L’objectif de l’analyse est de faire ressortir les conditions sous lesquelles le profil de stratégies

(

b

( ) ( )

v₁ ,b v₂ ,⋅⋅⋅,b

( )

vn

)

constitue un équilibre de Nash bayésien. Il faudra par la suite déduire les implications de ce résultat.

Sans perte de généralité, considérons le cas de l’acheteur potentiel 1. Il faut donc montrer que si les

(

ⁿ⁻¹

)

autres enchérisseurs adoptent la stratégie d’enchère b

( )

vi , alors la meilleure réponse du joueur 1 est d’avoir la stratégie b

( )

v₁ . Pour montrer cela, considérons la déviation du joueur 1 vers la stratégie ^b

( )

^x , sachant que son évaluation pour l’objet est v₁. Il faudra alors faire ressortir sous quelles conditions le joueur 1 n’est pas incité à dévier vers b

( )

x ce qui donnera x=v₁ comme meilleure réponse du joueur 1 aux choix b

( )

v₂ ,⋅⋅⋅,b

( )

vn des autres enchérisseurs. En cas de déviation, l’espérance de gain de l’acheteur potentiel 1 sera donc :

(

x,v₁

)

=v₁⋅

(

F

( )

x

)

ⁿ⁻¹−P

( )

x

π (10.1 Avec :

(

x,v₁

)

π : Le gain espéré de l’enchérisseur 1 ayant la disposition à payer v₁ et basant sa stratégie sur une disposition à payer égale à x.

v1 : L’évaluation subjective de l’objet attribuée par l’acheteur potentiel i. C’est sa disposition à payer et est comprise entre v et v, ce qui donne v₁∈

[ ]

v,v .

( )

(

F x

)

ⁿ⁻¹ : La probabilité que l’enchérisseur 1 soumette une enchère ^b

( )

^x qui soit l’offre la plus élevée et remporte ainsi l’enchère.

( )

^x

P : L’espérance de paiement de l’enchérisseur 1 sachant que sa stratégie d’enchère est

( )

^x

b .

La probabilité que l’acheteur 1 gagne l’enchère est la probabilité qu’il soumette l’enchère la plus élevée par rapport à chacun des

(

n−1

)

autres acheteurs. Cette probabilité est donc :

(

₁

)

Prob b_i <b pour tout i≠1

Dans le modèle à valeurs privées, les dispositions à payer des différents acheteurs potentiels sont indépendantes. De ce fait, cette probabilité est égale au produit suivant :

(

2 1

)

Pr

(

1

)

Soit p le paiement à effectuer par l’enchérisseur 1. Le paiement p est fonction non seulement de l’enchère b₁ de l’acheteur 1, mais également de toutes les autres enchères, ce qui donne :

(

b b bn

)

p

(

b

( ) ( )

x b v b

( )

vn

)

p

p= ₁, ₂,⋅⋅⋅, = , ₂ ,⋅⋅⋅,

Cette expression est celle du paiement p de l’enchérisseur 1 lorsqu’il base son enchère sur une valeur subjective x tandis que les autres enchérisseurs 2, …, n basent leur enchère sur leur valeur subjective v₂,...,v_n. Par exemple, dans l’enchère au premier prix, le prix à payer est égal à l’enchère du gagnant, tandis que dans l’enchère au second prix, le prix à payer est la deuxième meilleure enchère. L’espérance de paiement P

( )

x de l’acheteur 1 est donc :

( ) ( ( ( ) ( ) ( )

_n

) )

L’objectif de l’acheteur 1 est de choisir x de telle sorte à maximiser son gain espéré. Le programme de l’enchérisseur 1 est donc :

(

x v

)

v

(

F

( )

x

)

ⁿ P

( )

x

x , ₁ = ₁⋅ ⁻¹ −

Maxπ

Pour que le profil de stratégies

(

b

( ) ( )

v₁ ,b v₂ ,⋅⋅⋅,b

( )

vn

)

soit un équilibre de Nash bayésien, il faut que la stratégie b

( )

v₁ de l’acheteur potentiel 1 soit sa meilleure réponse lorsque les autres

(

n−1

)

enchérisseurs choisissent les stratégies b

( )

v₂ ,⋅⋅⋅,b

( )

vn . La condition du premier ordre du programme de maximisation de l’acheteur potentiel 1 doit donc être tel que :

(

,

) ( ( ) )

¹

( )

0

Comme on a F′

( )

x >0, cette condition du premier ordre est bien celle d’un maximum.¹⁷⁴ En remplaçant x par v₁, on obtient la condition d’optimalité suivante :

( )

La condition d’optimalité (10.2) est vraie pour toute valeur de réserve excédant v_*, cette dernière étant la valeur de réservation pour laquelle un acheteur est indifférent entre enchérir

( )

v_*

b et ne pas participer à l’enchère.¹⁷⁵ En d’autres termes, un acheteur potentiel ayant une disposition à payer inférieure à v_* ne sera pas incité à participer à l’enchère. La condition d’optimalité est donc vraie pour tout v₁≥v_*, avec v_* satisfaisant l’équation (10.3) :

(

v_*,v_*

)

=v_*⋅

(

F

( )

v_*

)

ⁿ⁻¹−P

( )

v_* =0

π (10.3) La condition d’optimalité est donc telle que :

( ) ( ( ) )

En intégrant cette dernière expression sur l’intervalle

[

v_*,v₁

]

, on obtient :¹⁷⁶

( ) ( ( ) )

En utilisant la condition aux limites (équation 10.3), le premier terme de cette égalité s’écrit comme suit :

La résolution du second terme, après intégration par parties, donne :¹⁷⁷

( )

174 En annexe à ce chapitre, on montre que cette condition du premier ordre est bien celle d’un maximum.

175 Remarquons que v_* peut être égale à v

176 On a ^d

(

^F( )^xn−1

)

^dx=

(

^{F( )xn−1}

)

^{′ et donc}

(

^d

(

^{F( )xn−1}

)

^dx

)

^dx=

(

^{F( )xn−1}

)

^′dx=d

(

^{F( )xn−1}

)

^.

177 Voir annexe.

On a donc

( )

1 *

( ( )

*

)

¹

variable aléatoire car il ne peut observer la valeur v₁. Le vendeur connaît la distribution F

( )

v1

. L’espérance de revenu du vendeur en provenance de l’acheteur 1 est donc :

( ) ( )

Après une seconde intégration par parties, on obtient :¹⁷⁸

( ) ( )

P1 est le revenu espéré du vendeur en provenance de l’acheteur potentiel 1. Etant donné le traitement identique des n acheteurs potentiels, le revenu espéré du vendeur est simplement égal à n fois P₁, ce qui donne l’expression suivante de l’espérance de revenu du vendeur :

( )

⁼

∫

^v

( ( )

⁺

( )

⁻

) ( ) ( )

⁻

L’équation (10.4) est l’expression du théorème d’équivalence-revenu qui signifie que pour les mécanismes d’enchère appartenant à la famille E défini plus haut, le revenu espéré du vendeur est identique et est donné par cette équation. Donc, dans le cadre des hypothèses du modèle à valeurs privées indépendantes, les quatre mécanismes d’enchère décrits plus haut, soit l’enchère anglaise, l’enchère hollandaise, l’enchère sous pli fermé au premier prix et l’enchère sous pli fermé au second prix, procurent au vendeur la même espérance de revenu. De plus, cette espérance de revenu est fonction du nombre d’enchérisseurs n, de la distribution des valeurs privées F(v) et de la valeur v_*.

Cette proposition est d’une importance capitale car elle permet de comparer deux différentes enchères simplement en comparant la valeur de réserve minimale v_* au-dessous de laquelle il n’est pas intéressant d’entrer dans chacune des enchères. Ainsi, toutes les formes d’enchères aboutissant au même v_* donnent au vendeur le même revenu espéré. Considérons l’enchère au premier prix et l’enchère au second prix. Ces dernières répondent à toutes les propriétés de

178 Voir annexe.

la famille E. Si le vendeur fixe un prix de réservation égale à b₀, alors pour ces deux enchères, on a v_* =b₀. Dans ce cas, ces deux enchères procurent au vendeur le même revenu espéré. On montre par ailleurs l’équivalence d’une part, entre l’enchère anglaise et l’enchère sous pli fermé au second prix (enchère de Vickrey) et d’autre part, entre l’enchère hollandaise et l’enchère sous pli fermé au premier (plus haut) prix. De ce fait, dans le cadre du modèle à valeurs privées indépendantes, l’équation (10.4) est vraie pour les quatre formes d’enchères qui font donc partie de la famille E.

Dans le document THEORIE DES JEUX ET ECONOMIE DE L’INFORMATION (Page 175-181)