Chapitre 5 : Jeux dynamiques à information incomplète
5.3. L'équilibre bayésien parfait au sens faible
L’équilibre de Nash d’un jeu dynamique à information incomplète (ou imparfaite) requiert qu’en tout point du jeu, l’action de chaque joueur soit optimale étant donnée la meilleure réponse des autres joueurs. Il s’agit donc d’une extension du principe de rationalité séquentielle qui doit s’appliquer à tous les ensembles d’information, qu’ils soient singletons ou non. Lorsque le joueur i doit joueur à l’ensemble d’information H, le principe de rationalité séquentielle nécessite que le joueur i affecte une probabilité d’occurrence (croyance) à chaque nœud x de l’ensemble H.
L’introduction de croyances dans la définition du concept d’équilibre pour les jeux dynamiques à information incomplète (ou imparfaite) s’avère être décisive car un choix n’est optimal qu’étant données des croyances. Les croyances deviennent donc un élément à part entière de l’équilibre d’un jeu. Avant d’énoncer cette première propriété de l’équilibre d’un jeu dynamique à information incomplète (ou imparfaite), donnons la définition formelle des croyances.76
Définition : Un système de croyances μ d’un jeu dynamique à information incomplète (ou imparfaite) est la fonction μ:H→
[ ]
0,1 tel que∑ ( )
=1∈H x
μ x pour tout ensemble H du jeu.
( )
xμ est la probabilité d’occurrence du nœud x∈H assigné par le joueur i
( )
H .Nous énonçons maintenant la propriété 1 de l’équilibre d’un jeu dynamique à information incomplète (ou imparfaite).
Propriété 1 : A chaque ensemble d’information H, le joueur i
( )
H qui doit joueur à cet ensemble d’information H, dispose de croyances à propos des nœuds atteints par le jeu.En considérant le jeu de la figure 5.1, la propriété 1 signifie que si le jeu atteint l'ensemble d'information non singleton du joueur 2, ce dernier doit avoir des croyances à propos de quel nœud est atteint par le jeu. Un système de croyances μ est la distribution de probabilité
(
p,1−p)
assignée par le joueur 2 où p est la probabilité que le jeu ait atteint le nœud L et(
1− p)
la probabilité que le jeu ait atteint le nœud R. Dans la figure 5.3, les croyances(
p,1−p)
du joueur 2 sont indiquées à l’intérieur de l’ellipse représentant l’ensemble d’information du joueur 2.
76 Voir Kreps et Wilson (1982), page 871.
Le principe de rationalité séquentielle donne lieu à la deuxième propriété de l’équilibre d’un jeu dynamique à information incomplète (ou imparfaite).
Propriété 2 : A chaque ensemble d’information H, l’action choisie par le joueur i
( )
H doit être optimale étant données ses croyances à cet ensemble d’information.La rationalité est ici interprétée comme étant un comportement de maximisation de l’espérance de paiement (d’utilité).
Etant données les croyances du joueur 2, celui-ci obtient une espérance de paiement égale à
(
1)
.(1) 1 )1
.( + −p =
p s’il joue l et égal à p.
( ) (
−1 + 1−p)
.0=−p s’il joue r. Comme 1>−p pour tout p, la propriété 2 empêche le joueur 2 de jouer r. Ainsi, en exigeant de chaque joueur qu'il ait des croyances et qu'il agisse de façon optimale étant données ces croyances, suffit à éliminer l'équilibre non plausible (A, r si « non A »).Les propriétés 1 et 2 imposent que les joueurs aient des croyances et qu'ils agissent de façon optimale, mais ne formulent aucune exigence à propos de ces croyances. Afin d'imposer des conditions supplémentaires, notamment de cohérence interne, nous devons distinguer au préalable les ensembles d'information situés sur le sentier d'équilibre de ceux situés en dehors du sentier d'équilibre.
Définition : Pour un équilibre donné dans un jeu sous forme extensive, un ensemble d'information est situé sur le sentier d'équilibre s'il sera atteint avec une probabilité positive si le jeu est joué conformément aux stratégies d'équilibre. Un ensemble d'information est situé en dehors du sentier d'équilibre s'il est certain qu'il ne sera pas atteint si le jeu est joué conformément aux stratégies d'équilibre.
Comme le concept d’équilibre pour un jeu dynamique à information incomplète (ou imparfaite) comporte à la fois les stratégies des joueurs et leurs croyances, la question de la cohérence entre ces deux composants devient centrale. Ainsi, pour qu’un équilibre d’un jeu dynamique à information incomplète (ou imparfaite) soit une prédiction raisonnable, il est nécessaire que les croyances à cet équilibre soient cohérentes avec les stratégies de cet équilibre. Commençons l’analyse de cette notion de cohérence par un ensemble d’information atteint à l’équilibre, celle concernant les ensembles d’information non atteints à l’équilibre étant reportée à la section 5.4. Supposons pour cela que dans le jeu de la figure 5.1, le joueur 1
p Joueur 2 (1-p) Joueur 1
A L R
l r l r 2 -1 1 -2 1 -1 1 0 0
2
Figure 5.3.
utilise la stratégie complètement mixte assignant la probabilité 2
1 à l’action A, la probabilité
3
1 à l’action L et la probabilité 6
1 à l’action R.77 Dans ce cas, l’ensemble d’information du joueur 2 est atteint avec la probabilité
2
1 . Alors, les probabilités conditionnelles de L et de R de l’ensemble d’information du joueur 2 étant donné que cet ensemble d’information est atteint sont déterminées par application de la règle de Bayes :
• La probabilité de L étant donné que l’ensemble d’information du joueur 2 est atteint est :
3 2 6 1 3 1 3
1
= +
• La probabilité de R étant donné que l’ensemble d’information du joueur 2 est atteint est :
3 1 6 1 3 16
1
= +
Les probabilités (croyances) a posteriori 3 2 et
3
1 du joueur 2 sont consistantes avec la
stratégie mixte
( )
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
=⎛
6 , 1 3 , 1 2 , 1
, L R
A σ σ
σ . La condition de cohérence des croyances sur le sentier d’équilibre est la troisième propriété de l’équilibre d’un jeu dynamique à information incomplète (ou imparfaite).
Propriété 3 : A chaque ensemble d'information situé sur le sentier d'équilibre (atteint avec une probabilité strictement positive), les croyances sont déduites des stratégies d'équilibre des joueurs par utilisation de la règle de Bayes.
Les propriétés 1 à 3 permettent de donner la définition de l’équilibre bayésien parfait au sens faible.
Définition : Un équilibre bayésien parfait au sens faible pour un jeu dynamique à information incomplète (ou imparfaite) consiste en un couple de stratégies σ et de croyances
μ satisfaisant les propriétés 1 à 3.
Les propriétés 1 à 3 rendent bien compte de l'esprit de l'équilibre bayésien parfait : En tout ensemble d'information situé sur le sentier d’équilibre, un joueur choisit une action qui
77 Rappelons qu’une stratégie complètement (ou totalement) mixte est une stratégie mixte où toutes les stratégies pures sont jouées avec une probabilité strictement positive.
maximise son espérance de paiement, compte tenu des probabilités a posteriori et des stratégies des autres joueur.
Dans l’équilibre de Nash parfait (L, l si « non A »), les croyances du joueur 2 doivent être tel que p=1.78 En effet, à cet équilibre présumé, le joueur 2 cherche à déterminer sa meilleure réponse au choix de L par le joueur 1. Il suppose donc que le joueur 1 a choisi L. La croyance cohérente à cette supposition est p=1. L’équilibre bayésien parfait au sens faible est le couple stratégies / croyances suivant : (L, l si « non A », p=1).79
L’équilibre bayésien parfait au sens faible signifie qu’en tout point du jeu :
• Les actions choisies par les joueurs doivent être optimales étant données les stratégies des autres joueurs et les croyances sur l’évolution du jeu ;
• Les croyances doivent être consistantes (cohérentes) avec les stratégies jouées.
L’équilibre bayésien parfait au sens faible est donc le produit de deux exigences :
• La rationalité séquentielle : les stratégies jouées à l’équilibre doivent former un équilibre parfait, compte tenu des croyances ;
• La cohérence bayésienne : les croyances doivent être obtenues par révision bayésienne des croyances a priori, compte tenu des stratégies d’équilibre.
L’équilibre bayésien parfait est une mixture du concept d’équilibre parfait des jeux dynamiques et du concept d’équilibre bayésien des jeux à information incomplète. De plus, cette mixture doit satisfaire à une condition de point fixe dans la mesure où les stratégies d’équilibre sont optimales étant données les croyances et ces dernières sont cohérentes aux stratégies d’équilibre.
L’équilibre bayésien parfait permet de tenir compte du fait que durant le déroulement du jeu, de l’information est indirectement transmise entre les joueurs. Ceci donne donc aux joueurs la possibilité de réviser leurs croyances (probabilités) sur les types des autres joueurs suite à l’observation des choix antécédents de ces autres joueurs. En procédant à un choix donné, les joueurs révèlent de l’information sur leur type.