On se donne à nouveau une représentation π automorphe cuspidale algé-brique de GLnsurQ, sans rien supposer sur la dimension n, ni sur le conducteur N(π) de la représentation. Plutôt que de s’intéresser à la paire {1, π} comme au paragraphe précédent, on peut considérer la (multi-)paire {π, π}. On obtient alors : BFf(π, π) + BF∞(π, π) +1 2Z F(π, π) = ΦF(0) +1 2F (0) log N(π ∨× π)
pour toute fonction test F .
Lemme 9.4.1. Soit F une fonction test positive. Alors, quelle que soit π, on a BF
f(π, π) ≥ 0.
Démonstration. Notons L(s, π∨ × π) la partie finie de la fonction Λ, i.e. le produit sur tous les p des Lp(s, π∨× π). Alors le Lemme 2.a de [HR95] énonce que, pour Re (s) > 1, −L 0 L(s, π ∨× π) =X p +∞ X k=1 xpk(π∨× π)log p pks ,
avec xpk(π∨× π) réel positif pour tout p et pour tout k. Cela revient à dire, dans les notations de la Définition 9.1.1 que, pour tout p et pour tout k, la quantité PM0
j=1αj(p)k est réelle positive. Si l’on suppose de plus F positive, alors la quantité BFf(π, π) =X p M0 X j=1 +∞ X k=1 F (k log p)log(p) pk2 αj(p)k est bien réelle (ce qu’on savait déjà) positive.
La combinaison de ce dernier lemme avec le Lemme 9.3.2 nous donne l’es-sentielle
Proposition 9.4.2. ([Che20], Proposition 4.4)
Soit π une représentation automorphe cuspidale algébrique de GLn sur Q et soit F une fonction test positive et Φ-positive. Alors
BF∞(π, π) ≤ ΦF(0) +1
2F (0) log N(π
∨× π). (9.7) On sait que la fonction d’Odlyzko vérifie les hypothèses requises (pour tout paramètre). Ce sera la seule fonction test que nous utiliserons en pratique.
9.4.1 Cas du conducteur 1
Dans le cas où l’on suppose de plus que π est de conducteur 1, le deuxième terme du membre de droite de (9.7) est nul et on retombe sur le travail de Chenevier et Lannes [CL19]. En particulier, les Lemmes IX.3.34 et IX.3.36 op. cit. nous disent que BF
∞, vue comme formeZ-bilinéaire symétrique sur K∞, est définie positive pour un bon choix de F sur les sous-Z-modules K≤21
∞ et K∞≤22
respectivement. On a donc une équation du type q(V ) ≤ C où q est une forme quadratique définie positive sur un Z-module libre de type fini et C est une constante. Il y a donc un nombre fini de V qui conviennent, et on se restreint en fait à ceux qui ont des coefficients positifs (i.e. effectifs au sens de la Définition 6.2.8).
Or, un résultat célèbre de Harish-Chandra dans [HC68] démontre qu’à V (effectif) et à conducteur N fixés, il n’existe qu’un nombre fini de π automorphes discrètes de conducteur N telles queL (π∞) ' V .
La combinaison de ces deux finitudes nous donne donc le Théorème 9.4.3. ([CL19], Théorème F)
Il existe un nombre fini (à torsion près) de représentations automorphes cuspidales algébriques de GLn sur Q de conducteur 1 et de poids motivique ≤ 22.
Ce théorème est en fait donné op. cit. avec une liste explicite desdites re-présentations. Il est généralisé au poids motivique 23 (Theorem A) et même 24 (Theorem B) sous l’hypothèse de Riemann généralisée dans [Che20] en ce qui concerne la finitude, la liste explicite des représentations se trouvant, sous certaines hypothèses supplémentaires, dans [CT20] (Theorems 3, 4 and 5).
9.4.2 Cas d’un conducteur quelconque
Dans le cas d’un conducteur quelconque, il faut pouvoir contrôler la quantité N(π∨× π) en fonction du conducteur N(π) de π, représentation automorphe cuspidale de GLn. On a, par définition :
N(π∨× π) =Y
p
pap(π∨p×πp). Or, l’inégalité d’Henniart (5.4) nous donne, pour tout p,
ap(π∨p × πp) ≤ (2n − 1)ap(πp)
puisqu’on a ap(π∨p) = ap(πp), comme rappelé à la Définition 5.4.1. On a finale-ment : log N(π∨× π) =X p ap(π∨p × πp) log p ≤X p (2n − 1)ap(πp) log p ≤ (2n − 1) log N(π).
Si l’on raisonne à conducteur N fixé, l’inégalité (9.7) devient : BF∞(π, π) ≤ ΦF(0) + 1
2F (0)(2n − 1) log N.
Le n est celui du GLn dont π est une représentation automorphe. On re-marque que c’est aussi la dimension de la représentation semi-simpleL (πv) de WDQv donnée par la correspondance de Langlands locale à chaque place v de Q.
En particulier, puisqu’on s’intéresse à des représentations algébriques, la représentation de WR associée est un élément de K∞ et l’application qui à un élément de K∞associe sa dimension est linéaire. Nous avons donc une équation du type q(V ) ≤ C + L(V ) où q (resp. L) est une forme quadratique (resp. linéaire) sur le Z-module libre K∞ et C est une constante. Si l’on se restreint à un sous-Z-module de rang fini sur lequel la forme quadratique est définie positive, alors on n’a encore qu’un nombre fini de V qui conviennent (une forme quadratique définie positive croît plus vite que n’importe quelle forme linéaire). Via le même résultat de Harish-Chandra, on obtient ainsi le Théorème A de [Che20].
9.4.3 Cas du conducteur 2
Dans le cas qui nous intéresse principalement, celui du conducteur 2, on sait qu’on n’a affaire qu’à un seul type de ramification (c’est le Lemme 6.3.4), on peut donc calculer les conducteurs de paires explicitement. Cela ne change évidemment rien à l’énoncé théorique de finitude, mais pour les calculs pratiques que nous ferons, toute amélioration est bonne à prendre.
Au-delà du seul conducteur N(π∨× π) où π est une représentation auto-morphe algébrique cuspidale de conducteur 2, nous considérons toutes les paires faisant intervenir des représentations automorphes cuspidales du groupe linéaire de conducteur 1 ou 2. On raisonne alors sur l’exposant d’Artin de la composante locale en 2 de chacune de ces représentations.
Proposition 9.4.4. Soient π et π0 deux représentations automorphes de GLm
et GLm0 respectivement, de conducteur 1.
Soient $ et $0 deux représentations automorphes de GLn et GLn0 respecti-vement, de conducteur 2.
Alors :
— a2(π × π0) = 0 ; — a2(π × $) = m ;
— a2($ × $0) = n + n0− 2.
Démonstration. On note bien sûr a2(π × π0) pour a2(π2× π0
2) et caetera similia. Nous avons le résultat bien connu a2(π ×π0) = 0, dont on remarque d’ailleurs que c’est la borne donnée par l’inégalité d’Henniart.
On sait que $2 est de type (I) au sens de la Proposition-Définition 6.3.3 (avec un léger abus, stricto sensu c’est $ qui est de type (I)). Il suffit donc
de considérerL ($2) restreint au sous-groupe {1} × SU(2) du groupe de Weil-Deligne deQ2. On a alors :
(L (π2) ⊗L ($2))|SU(2)= m1 ⊗ ((n − 2)1 ⊕ U2)
= m(n − 2)1 ⊕ mU2
dont l’exposant d’Artin est égal à m(n−2)(1−1)+m(2−1) = m (c’est la formule (5.2) et l’additivité de l’exposant d’Artin). Cela donne donc a2(π × $) = m, qui est là encore la borne donnée par l’inégalité d’Henniart.
Pour le troisième cas, considérons de même (L ($2) ⊗L ($0
2))|SU(2) = ((n − 2)1 ⊕ U2) ⊗ ((n0− 2)1 ⊕ U2)
= (n − 2)(n0− 2)1 ⊕ (n + n0− 4)U2⊕ (U2⊗ U2) = (n − 2)(n0− 2)1 ⊕ (n + n0− 4)U2⊕ (1 ⊕ U3) = [(n − 2)(n0− 2) + 1]1 ⊕ (n + n0− 4)U2⊕ U3
dont l’exposant d’Artin est égal à (n + n0− 4)(2 − 1) + (3 − 1) = n + n0− 2. Cela donne donc a2($ × $0) = n + n0− 2, là où la borne donnée par l’inégalité d’Henniart est n + n0− 1.
On obtient donc la précision suivante du Theorem A de [Che20] (voir aussi la Proposition 9.4.2).
Corollaire 9.4.5. Soit w un entier inférieur à 23. Alors il n’existe qu’un nombre fini de V ∈ K∞tels que V ' π∞où π est une représentation automorphe cuspi-dale algébrique de GLn de conducteur 2 et de poids motivique w. En particulier, n = dim V et V ∈ K∞≤w. De tels V vérifient :
BF∞(V, V ) ≤ ΦF(0) + F (0)(dim(V ) − 1) log 2, pour toute fonction test F positive et Φ-positive.
Démonstration. Par le Lemme 6.2.9, de tels V appartiennent plus précisément à K∞≤w et sont effectifs. La finitude vient alors du fait que, pour un bon choix de F (on renvoie à [Che20]), BF∞ est définie positive sur le réseau K∞≤w. On impose ici de plus que la composante en Iw soit non nulle (puisque π est de poids motivique exactement w), ce qui ne fait que renforcer la finitude. Cette dernière une fois établie, l’inégalité vaut alors pour toute fonction test positive et Φ-positive.