Conducteur des représentations locales

Définition 5.4.1. Soit π une représentation lisse, admissible, irréductible de GL_n(F ). Alors la correspondance de Langlands locale pour GL_n (Théorème 2.3.4) lui associe un paramètre de LanglandsL (π), (classe de conjugaison de) représentation de WDF dans GLn(C). On définit l’exposant d’Artin de π comme étant celui deL (π) – dont on voit immédiatement qu’il ne dépend pas du choix de représentant dans la classe de conjugaison. La compatibilité de la correspon-dance de Langlands locale à la dualité nous donne d’ailleurs a(π^∨) = a(π).

Étant donnée une paire (π, π⁰) de représentations lisses, admissibles, irré-ductibles de GLn(F ) et GLn0(F ) respectivement, on définit l’exposant d’Artin de la paire π × π⁰ par :

a(π × π⁰) = aWD(L (π) ⊗ L (π0)).

On hérite donc en particulier l’inégalité (dite inégalité d’Henniart) : a(π × π⁰) ≤ n⁰a(π) + na(π⁰) − min(a(π), a(π⁰)) (5.4) de la Proposition 5.3.2.

Considérons le cas plus général d’une représentation π lisse, admissible, irré-ductible du groupe G des F -points d’un groupe algébrique G réductif défini et

déployé sur F . La correspondance de Langlands locale nous fournit alors (conjec-turalement, en toute généralité) un paramètre de Langlands, à partir duquel on veut définir l’exposant d’Artin de π.

Il y a toutefois une subtilité : on fait ici apparaître un morphisme de WDF

dans bG et non pas dans un GL(V ) où V est unC-espace vectoriel de dimen-sion finie. C’est uniquement dans ce dernier cadre que l’exposant d’Artin d’une représentation du groupe de Weil-Deligne a été défini, il faut donc choisir un plongement de bG dans un groupe linéaire et de ce plongement dépend le calcul du conducteur.

Précisons les choses dans le cas qui nous intéresse du groupe déployé G = SO2n+1(F ).

Définition 5.4.2. Soit G le groupe SO_2n+1(F ) (déployé) et soit π une représen-tation lisse, admissible, irréductible de G. On a alors bG = Sp_2n(C) et, notant τ la représentation tautologique bG ,→ GL2n(C), on définit a(L (π)) (et donc a(π)) comme étant a(τ ◦L (π)).

Nous cherchons désormais à classifier les paramètres de Langlands d’expo-sant d’Artin 0 ou 1 et à en déduire l’ensemble des représentations de G de conducteur O (resp. p).

5.4.1 Paramètres non ramifiés de SO

(F )

On s’intéresse d’abord au cas d’un paramètre non ramifié, i.e. d’exposant d’Artin nul.

Proposition 5.4.3. Soit ϕ un paramètre de Langlands de G = SO2n+1(F ) de conducteur O. Alors il existe n nombres complexes s1, · · · , sn avec Re (s1) ≥ · · · ≥ Re (sn) ≥ 0, correspondant à n caractères non ramifiés χi = | · |si de Wab

F ' F×, tels que ϕ = χ1⊕ · · · ⊕ χn⊕ χ−1

n ⊕ · · · ⊕ χ⁻¹₁ .

Le paquet de Langlands Πϕ contient alors un seul élément, à savoir le quo-tient de Langlands de i^G_B(χ1 · · ·  χn).

Si ϕ est supposé de plus tempéré, alors tous les s_i sont de partie réelle nulle et le quotient de Langlands est égal à l’induite tout entière.

Démonstration. La semi-simplicité de ϕ nous permet d’écrire ϕ =L

i(Xi⊗ Ud_i)

avec Xi représentation irréductible de WF et di entier strictement positif. Le calcul de l’exposant d’Artin se fait donc en utilisant (5.2) pour chaque terme, ledit exposant devant être nul. Cela donne Xi caractère non ramifié et di = 1 pour tout i. Le paramètre ϕ se factorise donc par le tore standard de Sp_2n(C) et le respect de la structure symplectique impose : ϕ = χ₁⊕· · ·⊕χ_n⊕χ−1

n ⊕· · ·⊕χ⁻¹₁ avec tous les χ_i non ramifiés.

Le calcul du groupe Sϕest le même que celui qui a été effectué dans la preuve du Théorème 4.3.4 : il est trivial, si bien que le paquet de Langlands associé au paramètre ϕ ne contient qu’un élément.

Chaque χi, non ramifié, est égal à | · |si pour un certain nombre complexe si dont la partie réelle est uniquement déterminée. On peut alors, quitte à

échanger χi et χ⁻¹_i , supposer que toutes ces parties réelles sont positives et, quitte à permuter les χi, supposer que Re (s1) ≥ · · · ≥ Re (sn). Puisque ϕ se factorise par le tore standard de Sp_2n(C), on a, par la classification de Langlands, que la représentation associée est l’unique quotient irréductible (dit quotient de Langlands) de i^G_B(χ1 · · ·  χn) où B est le sous-groupe de Borel standard de G correspondant au sous-groupe de Levi (tore maximal déployé en fait) T .

Nous avons donc exposé la caractérisation complète (et classique) des re-présentations tempérées (voir la Remarque infra pour le cas non tempéré) de conducteur O, qui traduit bien que les représentations non ramifiées corres-pondent aux paramètres non ramifiés (2.5).

Théorème 5.4.4. Soit π une représentation lisse irréductible tempérée de G = SO2n+1(F ) de conducteur O. Alors il existe n nombres complexes s1, · · · , sn

imaginaires purs, correspondant à n caractères non ramifiés χi= |·|si de Wab

F '

F^×, tels que π soit égal à iG

B(χ1 · · ·  χn).

La représentation π est alors la seule dans son paquet de Langlands et elle admet des K0-invariants non triviaux π^K0 de dimension 1.

Réciproquement, une représentation lisse irréductible tempérée de G telle que π^K0 6= {0} est de cette forme (et est de conducteur O).

Démonstration. Nous combinons les résultats de la Proposition 5.4.3 avec la Proposition 4.3.2.

5.4.2 Paramètres de conducteur p de SO

(F )

Proposition 5.4.5. Soit ϕ un paramètre de Langlands de G = SO2n+1(F ) de conducteur p. Alors il existe n − 1 nombres complexes s1, · · · , sn−1 avec Re (s1) ≥ · · · ≥ Re (sn−1) ≥ 0, correspondant à n − 1 caractères non ramifiés χi= | · |si de Wab

F ' F×, et α ∈ {1, η} tels que ϕ =Ln−1

i=1(χi⊕ χ⁻¹_i ) ⊕ (α ⊗ U2). Le paquet de Langlands Πϕ contient alors un seul élément, à savoir le quo-tient de Langlands de iG

P(χ1 · · ·  χn−1 αStSO3(F )).

Si ϕ est supposé de plus tempéré, alors tous les si sont de partie réelle nulle et le quotient de Langlands est égal à l’induite tout entière.

Démonstration. La semi-simplicité de ϕ nous permet encore d’écrire ϕ = L

i(Xi ⊗ Ud_i) avec Xi représentation irréductible de WF et di entier stricte-ment positif. Le calcul de l’exposant d’Artin se fait à nouveau en utilisant (5.2) pour chaque terme. On a donc aWD(Xi⊗ Udi) = 0 (ce qui équivaut à Xi carac-tère non ramifié et di= 1 d’après le paragraphe précédent) pour tous les termes sauf un exactement (pour l’indice i₀disons) pour lequel l’exposant d’Artin vaut 1.

D’après (5.2) toujours, on peut atteindre aWD(Xi₀⊗Ud_i0) = 1 de deux façons distinctes :

— soit Xi₀ est un caractère non ramifié et di₀ = 2 ; — soit aW(Xi0) = 1 et di0 = 1.

Supposons être dans le deuxième cas, alors, Xi₀étant irréductible ramifiée, le Corollaire 5.1.5 nous dit que aW(Xi₀) ≥ dim Xi₀et donc que Xi₀est un caractère (ramifié). Le paramètre ϕ se factorise par le tore standard de Sp_2n(C) et, comme dans la preuve de la Proposition 5.4.3, le respect de la structure symplectique implique ϕ = χ1⊕ · · · ⊕ χn⊕ χ−1

n ⊕ · · · ⊕ χ⁻¹₁ . Or aW(χ⁻¹) = aW(χ^∨) = aW(χ) pour tout caractère χ, en particulier pour notre caractère ramifié χi0 si bien que le paramètre ϕ fait apparaître deux caractères ramifiés, contradiction.

Examinons maintenant le premier cas : on a χi₀⊗ U2avec χi₀ qui doit être à valeurs dans Z(Sp₂(C)) = {±I2} et non ramifié, donc χi₀ est soit le caractère trivial, soit le caractère η. Finalement, on a

ϕ =

n−1

M

i=1

(χi⊕ χ⁻¹_i ) ⊕ (α ⊗ U2) avec α ∈ {1, η} et les χi non ramifiés.

Le calcul du groupe Sϕ dans ce cas est le même que celui qui a été effec-tué dans la preuve du Théorème 4.3.4 : il est trivial, si bien que le paquet de Langlands associé au paramètre ϕ ne contient qu’un élément.

Le paramètre ϕ se factorise par le sous-groupe de Levi GLⁿ⁻¹₁ (C)×Sp2(C) de Sp_2n(C) correspondant au sous-groupe de Levi M = GLn−1

1 (F ) × SO₃(F ) de G. Puisqu’on reconnaît dans α ⊗ U₂le paramètre de Langlands de αSt_{SO3(F )}(seule représentation du paquet associé) et quitte à permuter les χ_i (et à échanger χ_i et χ⁻¹_i ), la représentation considérée est donc l’unique quotient irréductible (quotient de Langlands) de l’induite iG

P(χ1 · · ·  χn−1 αStSO3(F )), où P est le sous-groupe parabolique standard associé à M .

Nous avons donc exposé la caractérisation complète (et nouvelle dans ce degré de généralité) des représentations tempérées de conducteur p. Ce résultat sera d’ailleurs légèrement amélioré (dans le sens de la Conjecture formulée par Gross dans [Gro16] et rappelée en Introduction) au Théorème 5.5.4.

Théorème 5.4.6. Soit π une représentation lisse irréductible tempérée de G = SO2n+1(F ) de conducteur p. Alors il existe n−1 nombres complexes s1, · · · , sn−1

imaginaires purs, correspondant à n caractères non ramifiés χi= |·|s_i de W^ab_F ' F^×, et α ∈ {1, η} tels que π soit égal à iG

P(χ₁ · · ·  χn−1 αStSO₃(F )). La représentation π est alors la seule dans son paquet de Langlands et elle admet des J⁺-invariants non triviaux π^J+ de dimension 1.

Réciproquement, une représentation lisse irréductible tempérée de G telle que πJ⁺6= {0} et πK0 = {0} est de cette forme (et est de conducteur p).

Démonstration. Nous combinons les résultats de la Proposition 5.4.5 avec les Théorèmes 4.2.7 et 4.3.4.

Remarque : Dans le cas d’une représentation non tempérée, on sait par les résultats de Casselman [Cas80] qu’il y a encore équivalence entre le fait d’être de conducteur O et le fait d’avoir des K0-invariants non triviaux (et encore de

dimension 1). Nous ne savons pas si l’équivalence analogue entre le fait d’être de conducteur p et le fait d’avoir des J⁺-invariants non triviaux vaut encore pour une représentation non tempérée.

5.5 Lien avec les facteurs epsilon