Calcul pour les représentations étudiées

(−X(Fr))d−1 si aW(X) = 0

ε(X)d si a_W(X) > 0^{. (5.5)}

5.5.2 Calcul pour les représentations étudiées

On fait maintenant l’analogue pour les facteurs epsilon de ce qui a été fait pour le conducteur au paragraphe 5.4.

Définition 5.5.1. Soit π une représentation lisse, admissible, irréductible de GLn(F ). Alors la correspondance de Langlands locale pour GLn (Théorème 2.3.4) lui associe un paramètre de LanglandsL (π), (classe de conjugaison de) représentation de WDF dans GLn(C). On définit le facteur espilon de π comme étant celui deL (π) – dont on voit immédiatement qu’il ne dépend pas du choix de représentant dans la classe de conjugaison.

Étant donnée une paire (π, π⁰) de représentations lisses, admissibles, irré-ductibles de GLn(F ) et GL_n0(F ) respectivement, on définit l’exposant d’Artin de la paire π × π0 par :

ε(π × π⁰) = ε(L (π) ⊗ L (π0)).

Définition 5.5.2. Soit π une représentation lisse, admissible, irréductible de G = SO2n+1(F ). Alors la correspondance de Langlands locale pour SO2n+1

(Théorème 2.3.5) lui associe un paramètre de LanglandsL (π), (classe de conju-gaison de) représentation de WDF dans Sp_2n(C). On définit le facteur espilon de π comme étant celui de τ ◦L (π) où τ désigne la représentation tautologique de Sp_2n(C) dans GL2n(C).

On peut maintenant calculer les facteurs epsilon des représentations que l’on a fait apparaître aux paragraphes 5.4.1 et 5.4.2.

Dans le cas d’une représentation de conducteur O, on a un paramètre non ramifié que l’on peut écrire ϕ = χ1 ⊕ · · · ⊕ χn⊕ χ−1

n ⊕ · · · ⊕ χ⁻¹₁ avec tous les χi non ramifiés. Pour chacun de ces caractères, on a ε(χi) = 1 et même ε(s, χ_i) = 1, d’où, par additivité, ε(ϕ) = 1 (et ε(s, ϕ) = 1). On connaît donc le facteur local d’une telle représentation.

Dans le cas d’une représentation de conducteur p, on fait apparaître un paramètre ϕ = Ln−1

i=1(χ_i⊕ χ⁻¹_i ) ⊕ (α ⊗ U₂) avec α ∈ {1, η} et les χ_i non ramifiés. Les caractères non ramifiés ne vont pas contribuer et on doit juste déterminer ce qu’il se passe pour α ⊗ U2.

Commençons par remarquer que le caractère non ramifié η peut s’écrire comme |·|^t0 avec t0= − iπ

log qdonc ε(η⊗U2) = ε(t₀+1

2, U₂) = ε(U₂)qa_WD(U₂)(−t₀). Or a_WD(U₂) = 1, si bien que ε(η ⊗ U₂) = −ε(U₂).

Il suffit donc de connaître ε(U₂) = ε(1 ⊗ U₂). Le caractère 1 étant non ramifié, la formule (5.5) nous dit qu’il faut considérer (−1(Fr))2−1 = −1. On a donc

ε(α ⊗ U2) = (

−1 si α = 1 1 si α = η^. On a finalement le résultat suivant.

Proposition 5.5.3. Soit π une représentation de G de conducteur p. Alors, en reprenant les notations de la Proposition 5.4.5, π est le quotient de Langlands de iG

P(χ1 · · ·  χn−1 αStSO3(F )).

On a alors α = 1 si, et seulement si ε(π) = −1 et α = η si, et seulement si ε(π) = 1.

En combinant avec le Lemme 4.3.5, on obtient le :

Théorème 5.5.4. Soit π une représentation lisse irréductible tempérée de G de conducteur p. Alors π a des invariants paramodulaires de dimension 1. Plus précisément, elle a des (J, +)-invariants si, et seulement si ε(π) = 1 et des (J, −)-variants si, et seulement si ε(π) = −1.

On peut donc lire le « signe » des invariants paramodulaires sur le facteur epsilon local.

C’est un cas particulier de la Conjecture de Gross ([Gro16]) rappelée dans l’Introduction. Cette Conjecture porte sur le conducteur p^m pour tout entier naturel m et fait donc appel à un groupe noté K0($^m) loc. cit. et K(p^m) dans [Tsa13], qui généralise notre groupe J⁺(correspondant à m = 1). La conjecture est démontrée par Tsai pour m quelconque mais uniquement dans le cas où π est supposée supercuspidale générique.

Donnons une dernière formulation de nos résultats qui sera utile dans la Deuxième Partie.

Corollaire 5.5.5. Soit (π, V ) une représentation tempérée irréductible de G. On suppose que πK0 6= {0} (ou, de façon équivalente, que π est de conduc-teur O). Alors dim πK₀ = 1 et dim πJ+

= 2. Plus précisément dim π(J,+) = dim π(J,−)= 1.

On suppose que π^J+6= {0}. Soit πK₀ 6= {0} et on relève du cas précédent, soit π^K0 = {0} et alors, il est équivalent de supposer que π est de conducteur p. Dans ce deuxième cas dim π^J+ = 1, plus précisément dim π^(J,ε)= 1 et dim π^(J,−ε)= 0, où ε = ε(π).

Deuxième partie

Chapitre 6

Représentations automorphes

cuspidales algébriques de GL

_n

de conducteur premier

Nous allons maintenant introduire et étudier des objets globaux, dépendant d’un corps de nombres. Dans toute la suite, nous travaillons uniquement sur le corps Q des rationnels.

Les enjeux de ce chapitre sont multiples. Il va d’abord s’agir de définir pré-cisément chacun des termes des Théorèmes B, C et E de l’Introduction. Ce sera fait dans les paragraphes 6.1, 6.2 et 6.3.

En vue des applications aux Chapitres 9 et 10, nous considérons au §6.4 les fonctions L (ou Λ) et les facteurs epsilon associés aux représentations locales et globales. Au-delà des seuls rappels en la matière, nous calculons ces quantités dans les cas particuliers correspondant aux représentations étudiées.

Enfin, puisque les représentations autoduales jouent un rôle prépondérant (à la fois à cause de leurs « meilleures propriétés » et parce que ce sont celles que l’on trouve en pratique, cf. Théorèmes B et E), nous présentons au paragraphe 6.5 l’alternative symplectique-orthogonale pour les représentations autoduales de GLn selon la théorie d’Arthur.

6.1 Représentations automorphes cuspidales de

GL

sur Q

Nous rappelons ici sans démonstration des résultats de [BJ79]. On fixe un caractère de Hecke ω : Q×\A×

Q → C× et on peut alors définir l’espace des formes automorphes pour GLn(AQ) de caractère central ω, noté Aω(GLn). Cet espace a une structure de (gl_n(R), On(R))-module (ou module

de Harish-Chandra1) et une structure de GLn(Af)-module compatibles, où l’on noteAf =Q0

pQp l’ensemble des adèles finis (avec bien sûr AQ=R × Af). On considère alors le sous-(gl_n(R), On(R)) × GLn(Af)-module constitué des formes automorphes paraboliques ou cuspidales, noté A^ω_cusp(GLn), qui a la pro-priété remarquable d’être semi-simple.

Définition 6.1.1. Une représentation automorphe cuspidale π de GLn sur Q de caractère central ω est un constituant irréductible de l’espace Aω

cusp(GLn).

Si ω est un caractère de Hecke, alors ω| · |^s_A

Q où s est un nombre complexe quelconque, en est encore un (on utilise le fait que les éléments de Q× plon-gés diagonalement dansA×

Q sont de norme adélique 1). On a, de façon simple, A^ω|·|sAQ(GLn) ' A^ω(GLn) ⊗ | det |n^s, donc, quitte à tordre par une puissance du déterminant, on peut supposer que ω_|R>0 = 1. Cela motive la définition suivante. Définition 6.1.2. Une représentation automorphe cuspidale de GLn sur Q est centrée si son caractère central est trivial surR>0.

Soit donc π une représentation automorphe cuspidale de GLn sur Q. Nous avons classiquement la décomposition en produit tensoriel restreint :

π ' π_∞⊗^O

p 0

π_p, (6.1) où π_∞est un (gl_n(R), On(R))-module admissible irréductible (i.e. chaque repré-sentation irréductible continue de On(R) n’intervient qu’un nombre fini de fois dans π_∞) et les πp sont des représentations admissibles (au sens de la Défini-tion 1.2.6) irréductibles de GLn(Qp), non ramifiées pour presque tout p. C’est d’ailleurs ce qui permet de définir le produit tensoriel restreint : pour chaque p tel que πpest non ramifiée, on a une droite vectorielle distinguée π^GLn(Zp)

p .

Terminons par un résultat classique.

Proposition 6.1.3. Soit π une représentation automorphe cuspidale de GLn

sur Q. Alors il existe une unique représentation automorphe cuspidale de GLn

surQ, notée π∨ et dite représentation contragrédiente (ou duale) de π, et véri-fiant (π^∨)_v= (π_v)^∨ pour toute place v.2