En poids motivique 19

L’Étape 1 est la seule qui reste en place : on trouve 127 éléments potentiels. Du fait de ce nombre élevé, il faut non seulement « industrialiser » les Étapes suivantes d’un point de vue algorithmique, mais il faut surtout les intriquer (avec des allers-retours entre les Étapes). Nous indiquons ici le déroulé de notre démonstration qui mélange les Étapes selon une dynamique moins linéaire que pour les poids motiviques plus petits.

La technique la plus efficace étant la méthode géométrique du §9.7, notam-ment en utilisant les représentations connues de conducteur 1, nous réalisons une première série de croisements (c’est un saut à l’Étape 3) avec λ ∈₁₀¹Z ∩ [1; 5] (il n’y a rien à espérer pour λ > 5 d’après les premiers sondages, et les temps de calcul commencent à être significatifs) et la liste {1, ∆11, ∆₁₅, ∆₁₇, ∆₁₉, ∆_19,7}. Il est intéressant d’ailleurs de voir que cette dernière représentation (qui est la première de dimension 4 à apparaître en conducteur 1) joue un rôle crucial dans la constitution de combinaisons linéaires « contredisantes ».

Il nous reste alors 17 éléments de K_∞¹⁹ : — 1 de dimension 2 : I19;

— 6 de dimension 4 : I19⊕ Iv avec v ∈ [3; 13] ∩ (2Z + 1) ; — 10 de dimension 6 : I19⊕ Iv⊕ Iwavec v > w.

La comparaison de cette liste avec la liste pour le poids motivique 17 au paragraphe précédent peut donner l’impression que la formule explicite nous donne un nombre de représentations légèrement inférieur pour le poids 19 que pour le poids 17. Il n’en est rien, la liste des 23 éléments du paragraphe 10.3.2 est à rapprocher des 127 représentations que nous mentionnons et pour lesquelles nous avons mis en place une première élimination par croisements géométriques « élémentaires ».

L’autre grande différence est que les bornes de multiplicité fournies par le Théorème 9.5.8 ne sont plus aussi bonnes (c’est l’Étape 2), et qu’on ne peut donc plus conclure (si rapidement, en tout cas) à l’autodualité automatique des représentations putatives correspondantes.

Il nous faut alors, comme pour la fin du traitement du poids motivique 17, utiliser autant que possible les informations sur les représentations déjà connues et faire un saut à l’Étape 4. Ainsi, on sait déjà par le Corollaire 8.1.3 (et son amélioration signée) avec les formules de dimensions [LMF20] que l’on a exactement deux représentations de GL₂de conducteur 2 et de poids motivique 19 : E⁺₁₉ et E⁻₁₉.

Par ailleurs, on sait relier les dimensions de [IK17] à des représentations de GL₄. (w, v) dim S_j,k(Γpara(2)) (19, 3) 1 (19, 5) 1 (19, 7) 2 (19, 9) 2 (19, 11) 1 (19, 13) 1

Dimensions données par [IK17] (on rappelle que j = v − 1, k = ^w−v₂ + 2) On a au moins 6 représentations de GL4de conducteur 2 : E^?_19,3, E^?_19,5, E^?,a_19,9,

E^?,b_19,9, E^?_19,11, E^?_19,13 par la combinaison des Corollaires 7.6.1 et 8.2.2. On

re-marque que l’on n’a pas de représentation autoduale de GL4de conducteur 2 et de poids {±¹⁹₂, ±7

2} par la même combinaison de Corollaires, avec l’existence4

de ∆_19,7de conducteur 1. On ne connaît pas le signe local par ces formules, d’où le point d’interrogation en exposant.

On peut alors, comme précédemment, tâcher de déterminer ce signe par la méthode géométrique (Étape 3) avec la quantité C^s. On y parvient dans tous les cas, sauf pour la représentation autoduale de GL4 de conducteur 2 et de poids {±19

2, ±11

2} pour laquelle les deux signes locaux en 2 semblent possibles.

4. En fait, on peut montrer mieux avec la formule explicite et le Théorème 9.5.8 3. : le fait que m1(I19⊕ I7) = 1impose que m2(I19⊕ I7) < 1. Il n’y a donc aucune représentation correspondante de conducteur 2, sans hypothèse d’autodualité.

On utilise alors la deuxième technique évoquée au paragraphe 8.2.2, i.e. on construit un paramètre d’Arthur pour SO7 (du Cas 2) selon le Corollaire 7.6.1 et on regarde la dimension (signée) donnée par la Proposition 8.3.21. On lit dans les tables [Che] que dim SU_(19,15,11)(7)⁺ = 1 et dim SU_(19,15,11)(7)⁻= 0. Or on peut construire le paramètre d’Arthur très régulier E?

19,11+ ∆15qui est bien

de multiplicité 1 selon le Corollaire 7.6.1 : on en déduit donc que le signe local en 2 de E^?_19,11 est +1.

Parmi les 10 de dimension 6, on peut parfois faire baisser la multiplicité par croisements géométriques à 1, alors l’autodualité nous permet d’utiliser C^savec les signes 1 et −1, ce qui parfois suffit à trouver une contradiction.

Illustrons un cas intéressant. On trouve avec le Théorème 9.5.8 2. puis avec les croisements selon le paragraphe 9.7.2 que m2(I19⊕ I17⊕ I3) ≤ 1. Si une représentation π de GL6 de conducteur 2 correspondante existe, alors elle est autoduale. En particulier, elle fournit un paramètre d’Arthur (régulier mais non très régulier) selon le Corollaire 7.6.1. Le Corollaire 7.6.2 nous dit que dans le cas régulier, on a au moins autant de représentations automorphes discrètes de SO7

avec les bons poids et les bons invariants que de paramètres d’Arthur globaux ψ symplectiques de dimension 6 tempérés, tels que considérés au Corollaire 7.6.1. Or, on a dim S_U(19,17,3)(7) = 1 (on pourrait regarder le signe, mais c’est hors de notre propos ici). Pour interdire l’existence de π, il suffit de montrer qu’il existe déjà un paramètre d’Arthur global qui intervient pour ces invariants. Et c’est bien le cas avec E⁺_19,3+ ∆₁₇.

On peut en fait, en combinant toutes ces étapes, éliminer toutes les représen-tations qui ne seraient pas très régulières. L’Étape 4 nous fournit alors toutes les représentations autoduales (régulières) et, si V est un élément de K_∞^≤19 restant, on peut encore conclure si le majorant de m2(V ) est d’au plus une unité supé-rieur aux représentations autoduales connues (comme cela a été discuté pour la multiplicité de I17⊕ I5 supra).

Il reste néanmoins quelques V récalcitrants et c’est pourquoi nous avons ra-jouté l’hypothèse « autoduale » dans l’énoncé du Théorème C. À noter que cette hypothèse est également nécessaire du fait qu’on ne peut pas exclure l’existence de représentations non autoduales en poids motivique pair 18.

Nous sommes arrivés à l’Étape 5. On ajoute les représentations suivantes : — 2 pour GL2 : E⁺₁₉, E⁻₁₉;

— 6 pour GL₄ : E⁺_19,3, E⁻_19,5, E_19,9⁺ , E⁻_19,9, E⁺_19,11, E⁻_19,13; — 2 pour GL6 : E⁻_19,13,3, E⁺_19,13,5;

Par ailleurs, pour les éléments suivants V de K_∞^≤19, on ne peut exclure qu’il existe une représentation π de conducteur 2 non autoduale telle queL (π∞) = V (et alors π^∨est une autre représentation de conducteur 2 non autoduale vérifiant la même condition) :