Formules de dimensions

Définition 8.3.20. Soient m ≡ ±1 mod 8, V leQ-espace vectoriel quadratique Im⊗Q et G = SOV le Q-groupe algébrique spécial orthogonal de V (relevant donc du Cas 2).

Soit w ∈ Wm. On note Π¹_w(G) l’ensemble des représentations automorphes cuspidales algébriques π de G, de poids w et de conducteur 1. Plus précisément,

— π∞' Uw au sens de la Définition 8.3.14 ; — πp est non ramifiée pour tout p.

Soit de plus ε ∈ {+, −}. On note Π2,ε

w (G) l’ensemble des représentations automorphes cuspidales algébriques π de G, de poids w de conducteur 2, de signe local ε. Plus précisément,

— π∞' Uw au sens de la Définition 8.3.14 ; — πp est non ramifiée pour p > 2 ;

— π^K0(2) 2 = {0} et π^(J(2),ε)₂ 6= {0}. On pose Π²_w(G) = Π^2,+_w (G)^aΠ^2,−_w (G) et Πw(G) = Π¹_w(G)^aΠ²_w(G).

Proposition 8.3.21. Soient m ≡ ±1 mod 8, w ∈ W_m et ε ∈ {+, −}. Alors SU_w(m)^ε' ^M

π∈Π_w(G)

π^(J(2),ε)₂ .

Si l’on suppose de plus que w est très régulier ( i.e. |wi− wj| > 2 pour i 6= j), alors dim SU_w(m)^ε= Π¹_w(G) + Π^2,ε_w (G) .

Démonstration. Le premier isomorphisme vient de (8.17) combinée à (8.15), (8.16) et la Proposition 8.3.19. On utilise alors que π^K0(p)

p est de dimension 1 si πp est non ramifiée (sans autre hypothèse sur πp).

Pour la seconde égalité, l’hypothèse « très régulier » entraîne que π2 est tempérée par le Corollaire 7.3.5. Les résultats découlent alors des calculs de dimensions d’invariants de la Première Partie (voir le Corollaire 5.5.5).

À noter enfin que l’ensemble Π¹_w(G) est déterminé en poids motivique ≤ 23 par les travaux de Chenevier et Renard [CR15]. Nous retrouvons d’ailleurs lesdits éléments avec les tables de dimension de [Che].

Chapitre 9

La formule explicite de

Riemann-Weil-Mestre

L’enjeu de ce Chapitre va être de mettre en place la « machinerie » de la formule explicite de Riemann-Weil dans son cadre général donné par Mestre [Mes86]. Il faudra donc vérifier au §9.1 que les fonctions Λ des représentations automorphes cuspidales algébriques, et plus précisément des paires de telles représentations, telles qu’introduites au paragraphe 6.4.1 relèvent bien du for-malisme de l’article [Mes86]. Nous donnerons alors l’expression de la formule explicite au §9.2 en général puis dans un langage ad hoc pour notre étude. Nous préciserons enfin, outre de précieux raffinements, une ingénierie de cette formule qui nous permettra d’en extraire toute la puissance et qui gouvernera les calculs effectifs énoncés dans le chapitre suivant, à l’origine de nos démonstrations.

Nous utilisons à plusieurs endroits dans ce chapitre (§9.3.3, §9.4.1, §9.6.1) des exemples en conducteur 1. Ces exemples ne sont pas originaux et sont tirés de [CL19]. Il nous a néanmoins paru judicieux de les exposer en détail tant ils sont illustratifs et – puisque le fait de travailler en conducteur 2 ajoute une certaine technicité – préférables à des exemples originaux en conducteur 2. On trouvera néanmoins de tels exemples originaux dans l’ensemble du Chapitre 10.

9.1 Les fonctions Λ (de paires) sont des fonctions

Λ (au sens de Mestre)

Nous commençons par introduire la notion de fonction Λ au sens de [Mes86]. Définition 9.1.1. Soient M, M⁰∈N, soit A ∈ R∗, soit c ∈R+.

On se donne (ai)_1≤i≤M ∈ (R+)M, (a⁰_i)_1≤i≤M ∈CM tels que Re(a⁰_i) ≥ 0 et Re(a_i+ a0

i) > 0 pour tout i.

On se donne, pour tout p premier (αj(p))1≤j≤M0 ∈CM⁰ tel que, pour tout j, |αj(p)| ≤ pc.

1. Λ n’a qu’un nombre fini de pôles.

2. La fonction s 7→ Λ(s) diminuée de ses parties singulières est bornée dans toute bande verticale

−∞ < σ0≤ Re(s) ≤ σ1< +∞.

3. Pour Re(s) > 1+c, on a le développement en produit absolument convergent suivant : Λ(s) = A^s M Y i=1 Γ(ais + a⁰_i)^Y p M0 Y j=1 1 1 − α_j(p)p−s. (9.1) Ce qu’il manque, par rapport aux fonctions Λ usuelles, c’est l’équation fonc-tionnelle. On va ici l’introduire par le biais d’un couple de pré-fonctions Λ. Définition 9.1.2. Considérons un couple de pré-fonctions Λ, Λ1 et Λ2. Pour fixer les notations, écrivons la condition 3. de la Définition 9.1.1 pour chacune d’entre elles. Pour Re(s) > 1+c1(resp. Re(s) > 1+c2), on a les développements en produit absolument convergent suivants :

Λ1(s) = A^s M1 Y i=1 Γ(ais + a⁰_i)^Y p M₁⁰ Y j=1 1 1 − αj(p)p−s, Λ₂(s) = B^s M₂ Y i=1 Γ(b_is + b⁰_i)^Y p M₂⁰ Y j=1 1 1 − β_j(p)p−s.

On dit alors que (Λ1, Λ2) forme un couple de fonctions Λ s’il existe un complexe non nul w tel que :

(i) Λ1(s) = wΛ2(1 − s) (équation fonctionnelle) (ii) PM₁

i=1a_i=PM₂

i=1b_i (compatibilité des facteurs archimédiens) On remarque tout de suite que l’on peut choisir le même réel positif c pour les deux pré-fonctions Λ, en considérant le plus grand des deux. On peut également choisir les mêmes entiers M et M⁰, quitte à poser des a_i= 0, a⁰_i = 1 et α_j(p) = 0. Selon la même logique, on pourrait d’ailleurs considérer un seul entier M = M⁰, ce que nous ne faisons pas pour pouvoir conserver des notations cohérentes avec l’Annexe B.

Proposition 9.1.3. Soient π et π⁰deux représentations automorphes cuspidales algébriques de GLn et GLn0 respectivement. Nous avons défini au paragraphe 6.4.1 la fonction Λ de la paire {π, π⁰}. Posons :

˜

Λ(s, π × π⁰) = N(π × π⁰)^s2Λ(s, π × π⁰), (9.2) ˜

Λ(s, π^∨× (π⁰)^∨) = N(π × π⁰)^s2Λ(s, π^∨× (π⁰)^∨),

où N(π, π⁰) est le conducteur de la paire {π, π⁰} – dont on a remarqué loc. cit. qu’il était bien égal à celui de la paire {π^∨, (π⁰)^∨}.

Alors le couple ( ˜Λ(·, π^∨× π0), ˜Λ(·, π × (π⁰)^∨)) est un couple de fonctions Λ au sens de la Définition 9.1.2.

Démonstration. Commençons par vérifier qu’il s’agit de pré-fonctions Λ au sens de la Définition 9.1.1.

Le point 1. est vérifié par le résultat de [MW89] cité au §6.4.1. Le point 2. est un résultat de Gelbart et Shahidi [GS01]. Pour le point 3., il faut s’assurer d’avoir un produit eulérien avec le facteur archimédien et les facteurs non archimédiens qui ont la bonne forme.

Par les propriétés analytiques déjà énoncées au §6.4.1, on a une décomposi-tion du type (6.5) pour Re (s) > 1 et il s’agit donc de regarder ce qu’il se passe à chaque place.

Commençons par le cas d’une place finie non ramifiée. On a vu au §6.4.3 qu’alors :

Lp(s, π_p^∨× π_p⁰) = det(1 − p^−scp(π_p^∨) ⊗ cp(π_p⁰))⁻¹

où cp(πp) est le paramètre de Satake de la représentation locale non ramifiée πp. Or, puisque π est une représentation automorphe cuspidale de GLnde caractère central unitaire (en fait trivial), toutes les πv sont unitaires et on a L (π∨

v) = L (πv)^∨=L (πv), donc a fortiori cp(π_p^∨) = cp(πp)⁻¹= cp(πp). On a alors : Lp(s, π_p^∨× π_p⁰) =^Y i,j 1 1 − p−sλiµj

où cp(πp) est la classe de conjugaison de diag((λi)) et cp(π_p⁰) celle de diag((µj)). La conjecture de Ramanujan généralisée prévoit que les λi et les µj soient de module 1. Celle-ci est connue dans des cas particuliers (voir par exemple le Théorème 7.3.4), mais en général les estimées de Jacquet et Shalika [JS81] donnent, puisque π est centrée donc unitaire, p⁻¹2 < |λi| < p¹2 (et de même pour µj bien sûr), si bien que l’on a écrit

L_p(s, π_p^∨× π_p⁰) = nn⁰ Y k=1 1 1 − p−sαk(p) avec |αk(p)| ≤ p pour tout k ∈ {1, · · · , nn⁰}.

Puisqu’il n’y a qu’un nombre fini de places ramifiées pour π ou π⁰, on trouve bien un réel c(≥ 1) et un entier M⁰(≥ nn0) qui conviennent.

Concernant l’unique place archimédienne, il faut nous rappeler comment est défini L_∞(s, π^∨_∞× π0

∞). Les calculs du paragraphe 6.4.2 nous assurent qu’on a bien le produit de (composées affines de) fonctions Γ d’Euler recherché. On a d’ailleurs M = nn⁰ et tous les a_i égaux à ¹₂ si l’on choisit d’appliquer la formule de duplication à tous les facteurs Γ_C qui apparaissent (voir loc. cit.). En particulier, on a bien Re(a⁰_i) ≥ 0 et Re(ai+ a⁰_i) > 0 pour tout i.

Nous avons donc bien affaire à deux pré-fonctions Λ, il reste à vérifier les deux conditions de la Définition 9.1.2. La première est la réécriture (en intégrant le conducteur) de l’équation fonctionnelle (6.6) :

˜

La seconde consiste en une « compatibilité » des facteurs archimédiens. Ici, nous avons plus précisément

L_∞(s, π^∨_∞× π_∞⁰ ) = Γ(s,L (π∨ ∞) ⊗L (π0 ∞)) = Γ(s,L (π∞)^∨⊗L (π0 ∞)) = Γ(s,L (π∞) ⊗L (π0 ∞)^∨) = Γ(s,L (π∞) ⊗L ((π0)^∨_∞)) = L∞(s, π∞× (π⁰)^∨_∞)

en utilisant la compatibilité de la correspondance de Langlands locale archi-médienne pour GLn à la dualité (cf. Théorème 6.2.1) et le fait que tous les éléments de K_∞ sont autoduaux (cf. Définition 6.2.6). En particulier, les fac-teurs archimédiens de ˜Λ(s, π^∨× π0) et ˜Λ(s, π × (π⁰)^∨) sont bien compatibles (ce sont les mêmes) et nos deux pré-fonctions Λ forment finalement bien un couple de fonctions Λ.

Dans toute la suite, nous omettrons le tilde pour alléger les notations, les fonctions Λ seront donc toujours supposées intégrer le conducteur de façon normalisée.

9.2 Énoncés de la formule explicite de

Riemann-Weil-Mestre

On a introduit au paragraphe précédent les couples de fonctions Λ au sens de [Mes86], on énonce ici la formule explicite dans ce même cadre général, avant de la préciser au cas qui nous intéresse qui est celui de fonctions Λ de paires de représentations automorphes cuspidales algébriques du groupe général linéaire.