Le groupe J +

           C₁ . ._. C_k D τC_k⁻¹ . ._. τC₁⁻¹            

avec Ci ∈ GLn_i(F ) et D ∈ SO2˜n+1(F ) où le pré-exposant ^τ désigne la trans-position par rapport à la seconde diagonale (qui commute bien à l’inversion, d’où l’absence de parenthèses). La présence simultanée de Ci et ^τC_i⁻¹ vient du respect des relations d’orthogonalité.

Si l’on s’intéresse maintenant à M ∩ J, il s’agit de voir quels sont les éléments de cette forme qui préservent le réseau L. Dans la base B⁰, on a l’écriture

            C1 . ._. Ck D⁰ τC_k⁻¹ . ._. τC₁⁻¹             .

(Seul le bloc matriciel central est modifié.) La contrainte sur C_iest donc d’être à coefficients entiers avecτC_i⁻¹également à coefficients entiers, i.e. Ci∈ GLn_i(O). Quant à D (ou D⁰), elle doit préserver le réseau ˜L et en fait le stabiliser puisque la surjectivité générale vers L et la forme de la matrice impliquent que D envoie ˜

L surjectivement sur ˜L. C’est donc bien un élément de J2˜n+1.

Réciproquement, étant données des matrices dans les ensembles considérés, la construction de la matrice par blocs correspondante nous donne bien un élément de M ∩ J, si bien qu’on a effectivement M ∩ J = GLn₁(O) × · · · × GLn_k(O) × J2˜n+1.

3.5 Le groupe J

Il s’agit maintenant de définir un sous-groupe de J, d’indice 2, que nous noterons J⁺. Il est noté K($) dans [Gro16] et K(p) dans [Tsa13]. Ce

sous-groupe généralise le sous-sous-groupe de congruence Γ0(p) pour SO3 ' PGL2 et le sous-groupe paramodulaire étudié par Roberts et Schmidt dans [RS06] et [RS07], noté K(p), pour SO5' PGSp4.

Il faut d’ailleurs noter que ces auteurs étudient en fait le cas plus général d’une famille de sous-groupes K(p^m) pour m entier naturel (à mettre en paral-lèle avec la famille des Γ0(pm)).

Un élément g de J préserve le réseau L. Sa matrice dans la base B⁰ est à coefficients dans O, si bien qu’on peut réduire cette matrice modulo p pour obtenir une matrice de k. L’élément g préserve la forme quadratique q (définie sur L0 ⊃ L) donc également n’importe lequel de ses multiples scalaires, en particulier q⁰= _$^q, qui vérifie q⁰(L) ⊂ O.

L’élément g, vu comme automorphisme linéaire de V_k⁰= Vectk(B⁰) préserve donc q⁰⊗ k, on a ainsi un élément de O(V0

k, q⁰⊗ k) et même de SO(V0

k, q⁰⊗ k)

puisque le déterminant « passe à la réduction modulo p ». On a donc défini : π : J −→ SO(V_k⁰, q⁰⊗ k). (3.5) Il faut cependant noter que la forme q⁰⊗ k est dégénérée sur V0

k. En effet le vecteur v₀⁰ qui était déjà orthogonal à tous les autres vecteurs de B⁰ avant réduction, l’est également à lui-même après réduction (on a q(v₀⁰) = $2 donc q⁰(v₀⁰) = $ et (q⁰⊗ k)(v₀⁰) = 0). Plus précisément, on a Ker (q⁰⊗ k) = kv₀⁰, puisque q⁰⊗ k est non dégénérée sur l’espace quotient V0

k/kv₀⁰ qui est (isomorphe à) l’espace engendré sur k par les e_iet les f_i⁰. On notera ¯q0 la forme sur l’espace quotient V_k⁰/kv₀⁰ et ¯g l’endomorphisme correspondant, qui est donc un élément de O(V_k⁰/kv₀⁰, ¯q0). On a ainsi défini :

¯

π : J −→ O(V_k⁰/kv⁰₀, ¯q0)

g 7−→ ¯g ^(3.6) comme composée du morphisme π défini ci-dessus suivi de la réduction modulo le noyau de q⁰⊗ k.

On définit alors d : O(V_k⁰/kv₀⁰, ¯q0) → {±1} par d = det quand car(k) 6= 2 et par d = detDDquand car(k) = 2.

Proposition-Définition 3.5.1. On note α : J2n+1 → {±1} le morphisme obtenu en composant ¯π et d. On note J⁺_2n+1 (ou J⁺) le noyau de ce morphisme, c’est un sous-groupe compact ouvert de G, dit sous-groupe paramodulaire. Le morphisme α est surjectif si 2n + 1 > 1.

Démonstration. Il s’agit donc de voir que le morphisme α est surjectif (si 2n + 1 > 1), quelle que soit la caractéristique. Considérons l’élément u qui échange e₁ et f0

1, envoie v0

0 sur −v0

0 et laisse les autres vecteurs de base inchangés. On a u ∈ G, u préserve L et, après réductions, il s’agit d’évaluer le déterminant (resp. le déterminant de Dickson-Dieudonné, cf. Lemme 3.1.3) d’un élément qui échange les deux droites isotropes d’un plan hyperbolique (et fixe l’orthogonal dudit plan hyperbolique), qui vaut dans tous les cas −1.

Remarque 1 : Si 2n + 1 = 1, les étapes ci-dessus imposent J⁺₁ = J1= {1}. Remarque 2 : Le noyau de q⁰⊗ k est préservé par son groupe orthogonal, si bien que π(g) agit sur v₀⁰ par un scalaire β ∈ k^×. Le déterminant de π(g) est donc donné par le produit de β et du déterminant naïf de ¯g. Or, π(g) est dans le groupe spécial orthogonal si bien que β = det(¯g)⁻¹ = det(¯g). En parti-culier, β ∈ {±1} et, en caractéristique différente de 2, on peut déterminer l’appartenance à J+ en regardant simplement ce coefficient.

Remarque 3 : Sur le corps fini k, il n’y a que deux classes d’équivalence de formes quadratiques non dégénérées qui correspondent au même groupe or-thogonal en dimension impaire (les deux formes quadratiques sont d’indice de Witt maximal, on peut employer les mêmes arguments qu’au paragraphe 3.2) et à deux groupes orthogonaux non isomorphes en dimension paire 2n. En effet, dans ce cas, les deux formes quadratiques inéquivalentes sont respectivement d’indice de Witt n et n − 1 et on aura donc un groupe orthogonal déployé (dans le cas de l’indice de Witt maximal) et l’autre non. Dans le cas considéré ici, on sait donc, puisque la forme ¯q0 est d’indice de Witt n, à quel groupe orthogonal on a affaire, ce groupe est noté O⁺_2n(k).

On peut résumer la situation par le diagramme suivant : ¯ π : J SO(V_k⁰, q⁰⊗ k) ({±1} × O⁺_2n(k))det=1 {±1} π α 1×d .

On a de facto légèrement redéfini ¯π puisque le groupe d’arrivée n’est pas tout à fait le même, quoique isomorphe.

Proposition 3.5.2. Le sous-groupe d’Iwahori I défini en 3.3.1 est non seule-ment inclus dans J, mais plus préciséseule-ment est inclus dans J⁺.

Cette inclusion est une égalité si 2n + 1 = 3 (et si 2n + 1 = 1), et est stricte sinon.

Démonstration. Soit g un élément de I. En le réduisant modulo p, on obtient un élément triangulaire supérieur avec les conditions d’orthogonalité qui imposent que les coefficients diagonaux (réduits) soient de la forme (α1, · · · αn, β, α⁻¹_n , · · · , α⁻¹₁ ). La condition de déterminant 1 impose donc β = 1, ce qui suffit à conclure que g ∈ J⁺ si car(k) 6= 2 d’après la Remarque 2. En caractéristique 2, on a encore g ∈ J⁺ en utilisant le Lemme 3.1.4.

Pour le second point, si 2n + 1 > 3, considérons l’élément g qui échange e₁et e₂, ainsi que f₁et f₂en laissant tous les autres vecteurs de la base B₀inchangés. Alors g préserve les réseaux L₀ et L, si bien que c’est un élément de J (et de K₀) dont on voit immédiatement (c’est un produit d’éléments qui échangent les deux droites isotropes d’un plan hyperbolique et fixent l’orthogonal dudit plan hyperbolique) qu’il est dans J+. Or g(e1) 6∈ Oe1+ pL0, si bien que g 6∈ I.

Dans le cas 2n + 1 = 1, tous les groupes considérés sont triviaux et il n’y a rien à dire. Dans le cas 2n+1 = 3, il faut voir que tout élément g de J⁺est dans I.

On notera e pour e1et f pour f1. Puisque g préserve L, on a g(e) ∈ Oe+pv0+pf si bien que la condition qui définit le sous-groupe d’Iwahori I est vérifiée ; il reste simplement à voir que g appartient à K0, i.e. g(v⁰₀) ∈ $L0 et g(f⁰) ∈ $L0.

Après réduction modulo p, kv₀⁰ est le noyau de q⁰⊗ k et est donc préservé par π(g) (cf. (3.5)), soit g(v₀⁰) ∈ v₀⁰ + $L0⊂ $L0.

Par ailleurs, le fait que g soit dans J⁺ signifie que ¯π(g) (cf. (3.6)) est de déterminant (de Dickson-Dieudonné, le cas échéant) égal à 1, i.e. qu’il stabilise chacune des deux droites isotropes du plan hyperbolique ke ⊕ kf⁰. Cela signifie exactement que g(f⁰) ∈ $L₀ et achève la démonstration.

Proposition 3.5.3. Soit M un sous-groupe de Levi standard de SO2n+1(F ), on a par (3.3) :

M ' GLn₁(F ) × · · · × GLn_k(F ) × SO2˜n+1(F ), avec ˜n = n − (n1+ · · · + nk).

Alors M ∩ J+= GL_n1(O) × · · · × GL_nk(O) × J⁺_2˜n+1où J⁺_2˜n+1correspond au sous-groupe paramodulaire de SO_2˜n+1(F ).

Démonstration. En reprenant les notations de la preuve de la Proposition 3.4.3, le déterminant à calculer dans V_k⁰/kv₀⁰ ne va pas faire intervenir les matrices Ci

car det(τC₁⁻¹) = det(Ci)⁻¹, égalité qui demeure après réduction modulo p. Le calcul ne dépend donc que de la matrice D et un élément diagonal par blocs est dans J⁺ si, et seulement si D est dans J⁺_2˜n+1.

Lemme 3.5.4. On a :

B ∩ J ⊂ J⁺.

De plus, l’image par la projection B B/N ' T envoie B ∩ J sur T (O). Démonstration. Considérons un élément m ∈ B ∩ J. Alors dans la base B⁰, on a : m =             λ₁ ∗ ∗ ∗ ∗ ∗ . ._{. ∗ ∗ ∗ ∗} λ_n ∗ ∗ ∗ 1 ∗ ∗ λ⁻¹_n ∗ . ._. λ⁻¹₁            

avec les λ_i et les λ⁻¹_i dans O. Ainsi, les coefficients diagonaux sont dans O×, et ceux-ci sont inchangés dans la base B₀, ce qui prouve le deuxième point.

Pour le premier point, il faut réduire modulo p et modulo le noyau de la forme désormais dégénérée sur k (ce noyau est canonique et est la droite vec-torielle engendrée par v0). On obtient alors un élément de O⁺_2n(k) dont il s’agit

de connaître le déterminant (resp. le déterminant de Dickson-Dieudonné) pour savoir s’il est dans J⁺ ou non. Or l’élément réduit en question est :

           λ₁ ∗ ∗ ∗ ∗ . ._{. ∗ ∗ ∗} λn ∗ ∗ λ⁻¹n ∗ . ._. λ⁻¹₁            ,

(où la barre désigne la réduction dans k), qui est trivialement de déterminant 1 et, si car(k) = 2, de déterminant de Dickson-Dieudonné égal à 1, d’après le Lemme 3.1.4.