Facteur epsilon

Proposition 6.5.5. (Arthur [Art13], Theorem 1.5.3)

Soient π et π⁰ deux représentations automorphes cuspidales autoduales de GLm et GLn respectivement. Alors, si π et π⁰ sont du même type ( i.e. toutes deux orthogonales ou toutes deux symplectiques), le facteur global ε(π × π⁰) qui apparaît dans l’équation fonctionnelle de la fonction Λ de paire :

Λ(s, π × π⁰) = ε(π × π⁰)N(π × π⁰)¹2−sΛ(1 − s, π × π⁰), est égal à 1.

La suite de ce paragraphe est une forme de longue remarque consistant à vérifier que, dans les cas étudiés, les formules de la Proposition 6.4.2 sont bien cohérentes avec ce résultat.

D’après les classifications de [CL19] (Théorème F), la seule représentation algébrique orthogonale de conducteur 1 et de poids motivique inférieur à 21 est la représentation triviale. De plus, d’après la Proposition 6.5.3, une représenta-tion autoduale de conducteur p et de type (I) est nécessairement symplectique.

Nous allons donc considérer le seul cas du facteur epsilon d’une paire de repré-sentations symplectiques (en dimension paire donc), que l’on supposera de plus régulières (ce qui sera le cas en pratique).

Soient π et π⁰ deux représentations automorphes cuspidales de GL2m et GL2m0 respectivement, algébriques, symplectiques, régulières et de conducteur 1. La Proposition 6.4.2 nous donne déjà εv(π × π0) = 1 pour toute place finie v. Par l’hypothèse de régularité et par la Proposition 6.5.2, π est de poids motivique impair, et on a L (π∞) = I_w1 ⊕ · · · ⊕ Iwm avec w₁ > · · · > w_m impairs (c’est le Lemme 6.2.9). Il en est de même pour π⁰_∞; pour déterminer ε_∞(π × π⁰), il faut donc calculer ε(I_w⊗ I_w0) avec w, w⁰ impairs.

Supposons, sans nuire à la généralité w ≥ w⁰. Alors, par un résultat déjà mentionné au paragraphe 6.4.2, nous avons :

I_w⊗ I_w0 = I_w+w0⊕ I_w−w0, puis

ε(I_w⊗ Iw0) = ε(I_w+w0)ε(I_w−w0) = i^w+w0+1i^w−w0+1

= i^2(w+1)

= 1, car w est impair.

Ainsi, dans le cas de deux représentations automorphes cuspidales π et π⁰, al-gébriques, symplectiques, régulières et de conducteur 1, nous avons ε_v(π × π⁰) = 1 à toutes les places et donc bien ε(π × π⁰) = 1 comme attendu.

Considérons maintenant la paire {π, $} où $ est une représentation auto-morphe cuspidale de GL2nde conducteur p et de type (I) – et encore algébrique, symplectique, régulière. Alors tout se passe de la même façon aux places v dif-férentes de p où l’on a encore εv(π × $) = 1. Pour conclure, il suffit de regarder ce qu’il se passe à la place p.

Il nous faut maintenant être plus précis sur la forme des paramètres de Langlands en p. On a vu queL (πp) était une somme de caractères non ramifiés, mais par le Théorème 6.5.1, ce paramètre est symplectique, ce qui impose que chaque caractère non ramifié apparaît avec son inverse, nous avons finalement :

L (πp) = χ1⊕ · · · ⊕ χm⊕ χ⁻¹_m ⊕ · · · ⊕ χ⁻¹₁ .

Quant àL ($p), c’est une somme de 2n − 2 caractères non ramifiés et d’un terme α ⊗ U2, où α est encore un caractère non ramifié. Or, là aussi, le fait d’être symplectique impose, d’une part, que α est à valeurs dans {±1} et donc α ∈ {1, η}, et d’autre part que les autres caractères non ramifiés apparaissent chacun avec leur inverse. Finalement, nous avons :

L ($p) =

n−1

M

j=1

Ainsi, la Proposition 6.4.2 nous donne : εp(π × $) = (−1)^2mα^2m(p) m Y i=1 χi(p)χ⁻¹_i (p) = 1, ce qui conclut encore dans ce cas.

Considérons enfin le cas de deux représentations automorphes cuspidales de GL_2n et GL2n0 respectivement, $ et $⁰, algébriques, symplectiques, régulières, de conducteur p et de type (I). Là encore, il suffit de regarder ce qu’il se passe à la place p pour conclure. On a :

L ($p) = n−1 M j=1 (ψj⊕ ψ_j⁻¹) ⊕ (α ⊗ U2), L ($0 p) = n⁰−1 M j=1 (ψ_j⁰ ⊕ ψ⁰_j⁻¹) ⊕ (α⁰⊗ U2), avec tous les caractères intervenant non ramifiés et α, α⁰ ∈ {1, η}.

La Proposition 6.4.2 nous donne alors :

ε_p($ × $⁰) = (−1)²ⁿ⁺²ⁿ⁰α²ⁿ⁰(p)α⁰²ⁿ(p) n−1 Y i=1 ψ_i(p)ψ_i⁻¹(p) n⁰−1 Y j=1 ψ⁰_j(p)ψ⁰_j⁻¹(p), avec tous les facteurs égaux à 1, ce qui conclut.

Chapitre 7

Théorie d’Arthur pour SO

_2n+1

La théorie d’Arthur pour paramétrer les représentations des groupes clas-siques est subtile et demande de nombreuses précautions techniques. Comme nous ne l’utilisons que dans des cas qui simplifient considérablement les énon-cés, nous nous contentons ici de rappels dans un cadre ad hoc.

Nous aurons besoin de considérer deux types de groupes, présentés au pa-ragraphe 7.1. Dans le Cas 1 (déployé), tous les résultats énoncés se trouvent dans le livre de James Arthur [Art13]. Le Chapitre 9 de ce même ouvrage dis-cute de la généralisation au cas des formes intérieures des groupes classiques et donc en particulier au cas des groupes classiques non quasi-déployés, mais ne la démontre pas. Sous certaines hypothèses supplémentaires, Olivier Taïbi a pu démontrer les résultats souhaités dans [Taï18], à l’excellente introduction duquel nous renvoyons. Nous nous contentons ici de remarquer que le Cas 2 relève des résultats démontrés par Taïbi, si bien que nous pourrons appliquer le formalisme d’Arthur indifféremment aux deux cas.

7.1 Groupes étudiés et leurs représentations

Soit (V, q) un espace quadratique non dégénéré de dimension impaire 2n + 1 sur Q et soit G = SOV le groupe (algébrique) spécial orthogonal associé. Pour chaque place v, on notera V_v l’espace quadratique (V ⊗_Q Qv, q ⊗_Q Qv) et on allégera les notations en ne mentionnant pas systématiquement la forme quadratique associée. On fait l’hypothèse que q ⊗_Q Qp est d’indice de Witt maximal n pour tout nombre premier p. Ainsi le groupe spécial orthogonal local associé SOV_p est déployé surQppour tout nombre premier p et on peut utiliser les résultats de la Première Partie. Il reste alors à examiner ce qu’il se passe à l’unique place archimédienne. Nous aurons deux cas à considérer :

— Cas 1 : la forme quadratique q ⊗_Q R est de signature (n + 1, n) (ou l’inverse) donc d’indice de Witt maximal et le groupe spécial orthogonal associé SOV∞ ' SOn+1,n/R ' SOn,n+1/R est encore déployé.

(0, 2n + 1)) donc définie positive (resp. définie négative) et le groupe spé-cial orthogonal associé SOV∞ ' SO2n+1,0/R ' SO0,2n+1/R est compact. On trouve le Cas 1 pour tout n, il suffit de considérer l’espace quadra-tiqueQ2n+1muni de la forme x 7→ x1x2+ · · · + x2n−1x2n+ x²_2n+1. Le Cas 2 ne peut en revanche se produire que si 2n+1 ≡ ±1 mod 8 (cf. Proposition 8.3.4)¹. Nous pouvons maintenant faire quelques rappels sur les représentations au-tomorphes de G, étant entendu que G relève d’un des deux cas ci-dessus. De même qu’au paragraphe 6.1, nous renvoyons à [BJ79].

Le centre de G est ici trivial, il n’est donc pas question de caractère central. On peut considérer l’espace A2(G) des formes automorphes de carré intégrable pour G et sa partie discrète. Une représentation automorphe discrète est alors un des constituants irréductibles de cette partie discrète. On a ainsi

Adisc(G) = ^M

π∈Π_disc

m(π)π, (7.1)

où m(π) est la multiplicité de π dans cette décomposition, qui est finie et stric-tement positive par définition de Πdisc(G).

On peut également définir l’ensemble Acusp(G) des formes automorphes pa-raboliques (ou cuspidales) comme sous-espace de A²(G). On a alors A_cusp(G) ⊂ Adisc(G) et on note Π_cusp(G) l’ensemble des représentations intervenant dans la décomposition de A_cusp(G).

Si π est une représentation automorphe discrète de G, on a encore la dé-composition en produit tensoriel restreint :

π ' π_∞⊗^O

p 0

πp, (7.2) où π_∞ est un module de Harish-Chandra irréductible unitaire2 de G(R) et les πp sont des représentations admissibles irréductibles unitaires de G(Qp), non ramifiées pour presque tout p.

Le module de Harish-Chandra π∞ admet un caractère infinitésimal inf(π∞) que l’on peut voir, via l’isomorphisme de Harish-Chandra, comme une classe de conjugaison semi-simple dans sp_2n(C), dont les 2n valeurs propres sont encore appelées poids. En particulier, le multi-ensemble des poids est stable par X 7→ −X.

Définition 7.1.1. Soit U un module de Harish-Chandra irréductible unitaire de G(R). On dit que U est algébrique si ses poids sont dans 1

2Z − Z, ce qui revient à demander que, pour tous poids x, y de U , x − y ∈Z, ou encore à ce que inf(U ) = diag(±^a1

2, · · · , ±^an

2 ), avec les ai entiers naturels impairs.

1. Nous définirons au §10.5 un Cas 3 qui se produit quand 2n + 1 ≡ ±3 mod 8, pour lequel les énoncés sont conjecturaux.

2. Dans le Cas 2, c’est simplement une représentation irréductible unitaire de dimension finie du groupe compact G(R).

Un module de Harish-Chandra algébrique U de G(R) sera dit régulier (resp. très régulier) si tous ses poids sont distincts (resp. si i 6= j ⇒ |ai− aj| > 2).

Par abus de langage, on parlera encore des poids d’une représentation auto-morphe discrète π (pour les poids de π_∞), de son algébricité et de sa régularité. Lemme 7.1.2. (Wallach, [Wal84] Theorem 4.3)

Soit π une représentation automorphe discrète de G. On suppose que π_∞est une série discrète. Alors π est en fait cuspidale.

On note Π_alg(G) l’ensemble des représentations automorphes discrètes al-gébriques de G. Si a = (a₁, · · · , a_n) est un n-uplet d’entiers naturels impairs rangés par ordre décroissant, alors on note Π_a(G) l’ensemble des représentations automorphes discrètes algébriques dont les poids sont (±^a1

2, · · · , ±^an

2 ).