λ1 ∗ ∗ ∗ ∗ . .. ∗ ∗ ∗ λn ∗ ∗ λ−1n ∗ . .. λ−11 ,
(où la barre désigne la réduction dans k), qui est trivialement de déterminant 1 et, si car(k) = 2, de déterminant de Dickson-Dieudonné égal à 1, d’après le Lemme 3.1.4.
3.6 Norme spinorielle
Nous allons voir ici une autre caractérisation du sous-groupe J+ de J grâce à la norme spinorielle. Cette caractérisation est, à notre connaissance, originale. Considérons d’abord un espace quadratique (V, q) non dégénéré sur F , au sens de la Proposition-Définition 3.1.1.
Le groupe SO(V, q) est un groupe spécial orthogonal sur le corps F , on peut définir le morphisme « norme spinorielle » ν : SO(V, q) → F×/(F×)2. Ce morphisme peut être défini à partir de l’algèbre de Clifford de V et du morphisme GSpin(V, q) → SO(V, q). On peut aussi définir directement ν sur les réflexions de O(V, q) en posant ν(τx) = q(x) où τxdésigne la réflexion par rapport au vecteur x (ou à la droite F x), nécessairement non isotrope (sans quoi la réflexion n’est pas définie). On a τλx= τxpour λ ∈ F×et q(λx) = λ2q(x) ; ν(τx) est donc bien défini dans F×/(F×)2. Tout élément de SO(V, q) est produit (d’un nombre pair) de réflexions et on peut ainsi calculer ν sur SO(V, q), le résultat ne dépendant pas de la décomposition comme produit de réflexions ([O’M73], §55).
Étant donné un caractère χ de F×trivial sur (F×)2(on parlera de caractère quadratique), on peut donc considérer le caractère χ ◦ ν de SO(V, q) (et de ses sous-groupes). Nous commettrons parfois l’abus de notation consistant à désigner encore ce caractère par χ.
Deux caractères quadratiques de F×vont être d’une importance particulière pour la suite : le caractère trivial (d’ordre exactement 1) et le caractère η, unique caractère non ramifié d’ordre exactement 2, i.e. défini par η|O× = 1 et η($) = −1. Puisque deux uniformisantes diffèrent par un élément de O×, on voit en particulier que la définition de η ne dépend pas du choix particulier de $.
Les caractères 1 et η sont les seuls caractères quadratiques non ramifiés de F×.
On se restreint désormais au seul F -espace quadratique (Vn, q) introduit au paragraphe 3.2 et à son groupe spécial orthogonal SO(Vn, q), noté SO2n+1(F ).
Nous allons démontrer le théorème suivant.
Théorème 3.6.1. Le morphisme η ◦ ν : SO2n+1(F ) → {±1}, restreint à J est surjectif quand 2n + 1 > 1. Son noyau est exactement J+.
Nous supposons dans toute la suite que 2n + 1 > 1. Commençons par dé-montrer la factorisation suivante.
Proposition 3.6.2. On a la factorisation J = (K0∩ J) · (StabJpv0).
Démonstration. Il faut en premier lieu caractériser les éléments de K0∩ J parmi les éléments de J. Raisonnons à l’aide des décompositions L0= XO⊕ YO⊕ Ov0
et L = XO⊕ pYO⊕ pv0 des réseaux qui servent à définir K0 et J.
Soit g ∈ K0∩ J. L’élément g préserve le réseau L ; traduisons le fait qu’il préserve également le réseau L0 (ou de façon équivalente le réseau pL0) par rapport à chacun des termes de la somme directe définissant L :
— g envoie XO dans L0 (ne dit rien de plus puisque L ⊂ L0) ; — g envoie pYO dans pL0= pXO⊕ pYO⊕ pv0;
— g envoie pv0dans pL0(ne dit rien de plus puisque π(g) préserve le noyau kv00 de la forme q0⊗ k et donc g envoie pv0dans pv0+ pL ⊂ pL0). On voit alors qu’une condition nécessaire et suffisante pour qu’un élément de J appartienne également à K0est le fait d’envoyer pYOdans pL0. Ceci se traduit de façon agréable à l’aide du morphisme π. L’élément π(g) est une isométrie de l’espace quadratique Vk0, regardons sa matrice dans la base (v00, fn0, · · · , f10, e1, · · · , en) (c’est la base B0 à une permutation circulaire près) :
∗ ∗ ∗ 0 C ∗ 0 0 D .
Le respect des relations d’orthogonalité entre l’image de ei et celle de fi0 pour i ∈ {1, · · · n} impose d’ailleurs que D =τC−1 oùτ désigne la transposition par rapport à la seconde diagonale (qui commute bien à l’inversion, d’où l’absence de parenthèses). On a ainsi ¯π(g) (qui correspond à la matrice sur Vk0/kv00 et donc aux quatre blocs en bas à droite) égal à
C ∗ 0 τC−1
, matrice de déterminant 1 (et, le cas échéant, de déterminant de Dickson-Dieudonné égal à 1 d’après le Lemme 3.1.4) donc l’élément g est dans J+.
On a finalement prouvé que J ∩ K0est l’image inverse par le morphisme ¯π de (3.6) des matrices triangulaires supérieures par blocs dans la k-base ( ¯f0
n, · · · , ¯f10, ¯e1, · · · , ¯en), qui sont de la forme
∗ ∗ 0 ∗
ou même, plus préci-sément C ∗ 0 τC−1 . De plus, on a J ∩ K0⊂ J+.
Pour obtenir la factorisation souhaitée, il suffit donc de voir qu’en modifiant un élément de J par un élément de S = StabJ pv0, on peut imposer que son image par ¯π ait la forme
∗ ∗ 0 ∗
.
On va faire mieux : on va imposer qu’il ait la forme
In 0 0 In
, ce pour quoi il suffit de voir que J et S ont la même image par ¯π. Et on montre ce dernier résultat en montrant que ¯π|S est surjectif sur O+2n(k).
Étudions de plus près le groupe S. Un élément de S :
— agit sur $v0 par un scalaire, nécessairement ±1 par préservation de la norme ;
— préserve l’orthogonal de pv0 à savoir XO⊕ pYO. On a donc S = ({±1} × O(XO⊕ pYO, q0))det=1.
Si on considère la forme q0, elle est non dégénérée sur (XO ⊕ pYO) ⊗ k et donc par lissité ([Con11], Theorem C.1.5), l’application de réduction O(XO ⊕ pYO, q0) → O((XO⊕ pYO) ⊗ k, q0⊗ k) est surjective, le groupe d’arrivée s’iden-tifiant d’ailleurs à O+2n(k) par la Remarque 3 du paragraphe 3.5.
Récapitulons. Si l’on considère g ∈ J, on a ¯π(g) ∈ O+2n(k). Or, par la sur-jectivité depuis S précédemment mentionnée (qui a pour conséquence que ¯π est bien surjective au départ de J), on peut trouver s ∈ S tel que ¯π(s) = ¯π(g), soit gs−1 ∈ Ker ¯π ⊂ (K0∩ J) et g ∈ (K0∩ J) · S.
On a donc bien la factorisation recherchée (on a même mieux : J = (Ker ¯π) · S).
Corollaire 3.6.3. On a la factorisation J+= (K0∩ J) · (FixJ$v0).
Démonstration. On pose S+ = FixJ $v0 et on a S+ = J+ ∩ StabJ pv0 ' SO(XO⊕ pYO, q0). Le même raisonnement que précédemment nous montre que ¯
π|S+ est surjectif sur SO+2n(k) (et donc ¯π est surjectif depuis J+ a fortiori ). On conclut comme ci-dessus, avec la même amélioration J+= (Ker ¯π) · S+.
Évaluons maintenant la norme spinorielle grâce à ces factorisations. Le O-module quadratique (L0, q) est régulier (au sens de la Proposition-Définition 3.1.1) et donc, par [Knu91] (6.2.3 p.231), ν(K0) ⊂ O×/(O×)2. En particulier, le caractère η introduit plus haut étant non ramifié, on a (η ◦ ν)(K0) = 1.
On a S+ = {1} × SO(XO⊕ pYO, q0). Or le O-module quadratique (XO ⊕ pYO, q0) est régulier, si bien que, par le même argument3, ν(S+) ⊂ O×/(O×)2. Par le Corollaire 3.6.3, on a donc η ◦ ν trivial sur J+. Le morphisme η ◦ ν, d’ordre au plus 2 sur J, est trivial sur un sous-groupe d’indice 2 : soit il est trivial sur J tout entier, soit il est non trivial et son noyau est exactement ce sous-groupe d’indice 2 (à savoir J+). Pour conclure, il suffit donc d’exhiber un élément de J dont l’image par η ◦ ν vaut −1.
3. Il faut remarquer que q0et q diffèrent d’un scalaire de F×et que, puisque les éléments considérés sont produits d’un nombre pair de réflexions, les normes spinorielles calculées avec qou avec q0sont bien égales modulo (F×)2.
Soit u l’élément qui échange e1 et $f1, agit par −1 sur la droite F v0 et laisse les autres ei et fi inchangés (c’est le même élément u qui a été introduit au paragraphe 3.5). Alors u est bien un élément de SO2n+1(F ), il préserve L, c’est donc un élément de J. On peut écrire u comme la composée des réflexions τv0 et τe1−$f1 (peu importe l’ordre puisque les réflexions commutent). On a donc ν(u) = q(v0).q(e1− $f1) = 1.(−$) = −$ et η(−$) = η(−1).η($) = 1.(−1) = −1 puisque −1 ∈ O×.
Ceci achève la preuve du théorème et nous avons donc bien J+= Ker (η ◦ ν). Proposition 3.6.4. Soit M un sous-groupe de Levi standard de SO2n+1(F ), on a par (3.3) :
M ' GLn1(F ) × · · · × GLnk(F ) × SO2˜n+1(F ), avec ˜n = n − (n1+ · · · + nk).
Un élément de M correspond à une matrice diagonale par blocs : X = diag(C1, · · · , Ck, D,τCk−1, · · · ,τC1−1). Alors ν(X) = Q
idet(Ci)ν(D), où l’on note encore ν la norme spinorielle sur SO2˜n+1(F ), et où la barre désigne la réduction modulo (F×)2.
Démonstration. Au sous-groupe de Levi M correspond le sous-espace quadra-tique :
(V1⊕ V10)⊕ · · ·⊥ ⊕ (V⊥ k⊕ Vk0)⊕ V⊥ ˜n
avec Viet Vi0 sous-espaces totalement isotropes transverses de dimension niavec q non dégénérée sur (Vi⊕ V0
i) ; et Vn˜ espace quadratique de dimension 2˜n + 1 sur lequel q est d’indice de Witt maximal ˜n.
La norme spinorielle d’un élément de M est alors le produit des normes spinorielles définies sur chaque terme de la somme orthogonale ([O’M73], 55 :4). Il suffit donc de comprendre la norme spinorielle d’un élément diag(C,τC−1) où C ∈ GLm(F ) pour pouvoir conclure.
Or GLm(F ) est engendré par les transvections et les dilatations, il suffit donc de savoir calculer la norme spinorielle de chaque élément correspondant. Notons (e1, · · · , em, fm, · · · , f1) une base de l’espace quadratique W ⊕ W0de dimension 2m associé avec < ei, fj >= δij et < ei, ej>=< fi, fj>= 0.
Considérons pour λ ∈ F − {0, 1} la dilatation C d’hyperplan VectF(e2, · · · , em), de droite F e1 et de rapport λ. (Considérer uniquement ces dilatations particulières suffit pour la suite.) Alors l’élément diag(C,τC−1) de SO(W ⊕ W0) peut s’écrire comme la composée des réflexions τe1−λf1 suivie de τe1−f1. En particulier, sa norme spinorielle est égale à q(e1−f1)q(e1−λf1) = (−1)(−λ) = λ dans F×/(F×)2.
Soient maintenant i 6= j deux indices et considérons la transvection T (x) = Im+ xEi,j, où x ∈ F . En particulier T (x) = T (x2)2 et diag(T (x),τT (x)−1) = diag(T (x2),τT (x2)−1)2si bien que sa norme spinorielle est triviale dans F×/(F×)2.
Le morphisme de GLm(F ) vers F×/(F×)2 est donc le déterminant (réduit modulo (F×)2).
Remarque : Cette Proposition permet de redémontrer la Proposition 3.5.3. Conservons les notations ci-dessus et considérons un élément X de M ∩J+. Alors le fait que X préserve le réseau L et sa forme diagonale par blocs impliquent que chaque Ci (pour 1 ≤ i ≤ k) est à coefficients entiers. On donc det(Ci) ∈ O×, et donc η(det(Ci)) = 1. Or, puisque X est dans J+, on a η ◦ ν(X) = 1, d’où l’on tire η ◦ ν(D) = 1, i.e. D ∈ J+2˜n+1.