Notations

k). Il suffit alors de remarquer que les éléments considérés sont les éléments d’un sous-groupe parabolique de Siegel (dépendant du choix du sous-espace totalement isotrope maximal), manifestement connexe, ce qui conclut.

3.2 Notations

On reprend les notations du paragraphe 1.2. Soit F un corps local non-archimédien de caractéristique nulle (i.e. une extension finie d’un corps p-adique). On note O son anneau des entiers et p son idéal maximal. On choisit une unifor-misante $ telle que p = $O et la valeur absolue | · |F : F →R+ est normalisée par |$|F = (#O/p)⁻¹, le corps résiduel k = O/p étant bien un corps fini, dont on note p la caractéristique.

Étant donné un F -espace vectoriel V muni d’une forme quadratique q, on peut considérer le groupe algébrique sur F des automorphismes de V qui pré-servent la forme quadratique q, noté O_V, et son sous-groupe algébrique SO_V (c’est la Proposition-Définition 3.1.2). Ce dernier groupe algébrique est réductif sur F (et même semi-simple si dim V > 2). On a alors O(V, q) = OV(F ) et SO(V, q) = SOV(F ).

Nous nous intéressons ici au F -espace vectoriel Vnde dimension 2n + 1 muni de la base B0 = (e1, · · · , en, v0, fn, · · · , f1) et de la forme bilinéaire symétrique

définie par :

< ei, fj> = δij, < v0, v0> = 2,

< e_i, e_j> =< f_i, f_j >= 0, < ei, v0> =< fi, v0>= 0.

On peut alors considérer la forme quadratique associée q définie par 2q(x) =< x, x > et on a ainsi muni Vn d’une structure d’espace quadratique sur F .

Remarque : Dans le cas 2n + 1 = 1, dont nous aurons besoin pour la suite, le groupe SOV0 est trivial.

On observe que l’on a naturellement une décomposition

V_n= (X ⊕ Y )⊕ F v^⊥ ₀, (3.1) où X =

⊥

LF ei et Y =

⊥

LF fi sont deux lagrangiens (sous-espaces totalement isotropes maximaux) transverses. En particulier, on note que q est d’indice de Witt maximal n = b²ⁿ⁺¹₂ c.

Nous allons maintenant expliquer à quoi correspondent concrètement les sous-groupes présentés au paragraphe 1.4.

Le drapeau complet associé au choix de la base B0 nous permet de définir le sous-groupe (algébrique) de Borel standard, noté B, des éléments de SOV_n qui préservent ce drapeau. Ce sont donc les éléments dont l’écriture matricielle dans la base B0 est triangulaire supérieure. Il est en fait suffisant qu’ils préservent le drapeau :

Vect(e1) ⊂ Vect(e1, e2) ⊂ · · · ⊂ Vect(e1, · · · , en).

On notera B = B(F ) sous-groupe de Borel standard de G = SOVn(F ) = SO(Vn, q). Le sous-groupe B contient le tore (maximal) de rang n :

T = T(F ) =                                    λ₁ . ._. λn 1 λ⁻¹_n . ._. λ⁻¹₁             , (λ₁, · · · , λ_n) ∈ (F^×)ⁿ                        ,

si bien que le groupe G est déployé sur F . (On remarque que ceci utilise uni-quement le fait que q est non dégénérée et d’indice de Witt maximal, et pas sa forme particulière.)

On peut, plus généralement, définir des sous-groupes paraboliques standard P , contenant B et qui préservent un drapeau compatible avec la base B0, il leur

correspond des matrices triangulaires supérieures par blocs. Chaque sous-groupe parabolique admet une factorisation P = M N , où N est le radical unipotent et M est un sous-groupe de Levi, uniquement déterminé si on impose T ⊂ M (ce que nous faisons dans la suite, on parlera de sous-groupe de Levi standard).

Soit donc P : n = n1+ · · · + nk+ ˜n une partition de l’entier n (avec éven-tuellement ˜n = 0). Le sous-groupe de Levi (standard) M_P associé à cette par-tition est constitué des éléments de G qui préservent chacun des sous-espaces Vect(en₁+···+n_i+1, · · · , en₁+···+n_i+1) pour i ∈ {1, · · · , k} (en posant n0= 0) ainsi que le sous-espace Vn˜= Vect(en₁+···+n_k+1, · · · , en, v0, fn, · · · , fn₁+···+n_k+1).

Le respect des relations d’orthogonalité impose que les matrices des éléments de MP dans la base B0soient de la forme :

            C1 . ._. C_k D τC_k⁻¹ . ._. τC₁⁻¹            

avec C_i ∈ GL_ni(F ), D ∈ SO(V_n˜, ˜q) où ˜q est la restriction de q à V_n˜, et où le pré-exposantτ désigne la transposition par rapport à la seconde diagonale2

(qui commute bien à l’inversion, d’où l’absence de parenthèses). On a donc un isomorphisme canonique :

M_P ' GLn₁(F ) × · · · × GLn_k(F ) × SO(Vn˜, ˜q) (3.2) On remarque que le tore maximal T correspond au cas où k = n et tous les ni sont égaux à 1, le groupe spécial orthogonal résiduel étant alors trivial (˜n = 0).

Définition 3.2.1. Soit B = (ε1, · · · , εn, υ, ϕn, · · · , ϕ1) une base de Vn. On dira que B est adaptée si on a les relations suivantes :

< ε_i, ϕ_j > = δ_ij, < υ, υ > = 2,

< ε_i, ε_j > =< ϕ_i, ϕ_j >= 0, < εi, υ > =< ϕi, υ >= 0.

La base B0 est alors une base adaptée et on remarque que le groupe ortho-gonal O(Vn, q) permute simplement transitivement les bases adaptées.

Si, partant d’une base adaptée quelconque, on réalise les mêmes construc-tions de sous-groupes standard que précédemment, on obtient donc des groupes qui sont conjugués (par O(V_n, q)) à leurs équivalents pour le choix particulier de

B0. Or, puisque l’on a O(Vn, q) ' {±1} × SO(Vn, q) (nous sommes en dimension impaire), lesdits groupes sont en fait conjugués par SO(Vn, q).

Remarque 1 : On peut se demander en quoi le groupe G dépend de la forme particulière de la forme quadratique q. Soit donc une forme quadratique non dé-générée r sur F²ⁿ⁺¹, on peut considérer le groupe SO(F²ⁿ⁺¹, r). S’il est déployé, i.e. s’il contient un tore T_r déployé sur F de rang n, alors on peut exhiber n droites isotropes, contenues dans n plans hyperboliques en somme directe ortho-gonale, le tout en somme directe orthogonale avec une droite non isotrope F v. En particulier, la forme r est nécessairement d’indice de Witt maximal, à savoir n, et son discriminant est donné par la classe de (−1)nr(v) dans F^×/(F^×)2.

Nous avons donc montré qu’à une forme quadratique (non dégénérée) d’in-dice de Witt maximal, on associait un groupe spécial orthogonal déployé, et que réciproquement, si le groupe spécial orthogonal d’une forme quadratique (non dégénérée) était déployé, alors celle-ci était d’indice de Witt maximal. De plus, la caractérisation par le discriminant nous dit qu’on a autant de formes quadra-tiques d’indice de Witt maximal inéquivalentes que d’éléments de F^×/(F^×)².

En notant α = r(v), on a disc(r) = disc(αq) dans F^×/(F^×)² et, puisqu’il s’agit de deux formes quadratiques sur F²ⁿ⁺¹ d’indice de Witt maximal, on a r ∼ αq. Or, le groupe orthogonal est inchangé lorsqu’on multiplie la forme par un scalaire non nul et deux formes équivalentes ont des groupes orthogo-naux canoniquement isomorphes. On a donc SO(F2n+1, r) ' SO(F2n+1, αq) = SO(F2n+1, q), si bien qu’on a, à isomorphisme près, un seul groupe spécial or-thogonal déployé.

Notation On parlera dans la suite du groupe spécial orthogonal déployé de dimension 2n + 1 sur F et l’on notera, par raccourci, SO2n+1 pour SOV_n (en particulier SO2n+1(F ) désigne SO(Vn, q)).

On peut alors réécrire l’isomorphisme (3.2) en :

M_P ' GLn₁(F ) × · · · × GLn_k(F ) × SO2˜n+1(F ). (3.3) Remarque 2 : On n’a pas utilisé la structure de corps local p-adique de F .