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Les Proprietes du Modele

Partant de la translation des graphes conceptuels decrite dans la section precedente et du langage de derivation qui en decoule, nous pouvons modeliser les decisions de pertinence vehiculees par le systeme Elen . Rappelons qu'une decision de pertinence au sens des graphes conceptuels est fondee sur une implication logique entre les documents et les requ^etes. Cette implication est liee a la relation d'ordre sur les graphes, laquelle est materialisee par l'operateur de projection

(theoreme 8 de la page 145).

Ce fondement logique du systemeElenexplique la presence de l'axiome de Re exivite et de la regle du Cut. Nous avons en e et mentionne dans le chapitre precedent que, selon Gabbay [Gab93], un systeme logique doit veri er un certain nombre d'axiomes et de regles. Ainsi la relation de pertinence dansElenest re exive. Pour s'en rendre compte, il sut de constater que tout graphe se projette sur lui-m^eme.

Re exivite

S2;RS

La regle du cut existe dans pratiquement tous les systeme logiques. Les graphes conceptuels ne derogent pas a cette regle. Il s'agit d'une propriete simple de la relation d'ordre

Cut

S[T 2;RU S2;RT S2;RU

Nous avons egalement vu dans le chapitre precedent que selon la nature monotone du systeme logique considere, il devra presenter une regle de monotonicite ou de non-monotonicite. Nous avons alors mentionne que les graphes conceptuels presentent une forme de monotonicite circonspecte, a savoir la regle suivante:

Monotonicite Prudente

S2;RT S\U6=;

S[U2;RT

Le terme \Monotonicite" provient du fait que la pertinence est preservee lors de l'ajout d'infor-mations. Le terme \Prudente" indique lui que cet ajout n'est pas acceptable dans tous les cas. En e et dans le domaine des graphes conceptuels, l'ajout d'informations signi e un ajout d'un graphe conceptuel a un graphe de depart. Comme les graphes sont connexes, cet ajout correspondra ne-cessairement a une jointure entre le graphe de depart et l'information ajoutee. La jointure n'etant envisageable que si ces deux graphes presentent un sous-graphe commun, il est clair qu'il faudra ve-ri er que les situations qui leurs correspondent partagent un certain nombre de relons. Par exemple etant donne, que l'ensemblefhhType,Coureur,_p;1ii,hhGagne,_p,_q;1ii,hhType,Course,_p;1iigest pertinent pour fhhType, Coureur,_p;1ii, hhGagne,_p,_q;1ii, hhType, Course,_p;1ii g (en utilisant la re exivite), une nouvelle situation est formee par l'ajout (au sens union ensembliste) de fhhType,

Coureur,_p;1ii, hhEtat,_p,_q;1ii, hhType, Content,_p;1ii g au premier ensemble. Dans ce cas, la condition de \Prudence" est veri ee puisque le relonhhType,Coureur,_p;1iiest present aussi bien dans la situation de depart que dans l'information ajoutee11.

La regle de Monotonicite Prudente nous permet de conclure que le nouvelle situation est toujours pertinente pour fhhType,Coureur,_p;1ii, hhGagne,_p,_q;1ii,hhType, Course,_p;1iig. En termes de graphes conceptuels, cela revient a dire, tout simplement, que si un graphe



(

q

) se projette sur

11:Le lecteur aura remarque qu'un renommage de variables est implicite pour pouvoir appliquer une operation de jointure, et donc une intersection, entre la situation de depart et celle ajoutee. Nous verrons plus loin dans la section 4.5 qu'une jointure n'est autre qu'un procede de renommage de variables.

un graphe



(

d

) alors il se projettera necessairement sur la jointure de



(

d

) avec un autre graphe. De plus l'a ectation d'un referent a un concept generique est egalement supportee par cette regle. Il s'agit d'ajouter a la situation de depart un graphe situation avec un relon concept et un relon marqueur, de facon a ce que l'intersection entre les deux situations en jeu soit non vide12. En resume, la regle de Monotonicite Prudente ne viole pas l'operateur de projection, mais applique simplement une specialisation au graphe de depart.

La regle qui suit simule l'operateur de restriction des types de concepts sur les graphes. Comme nous l'avons vu a la n de la section precedente, cet operateur correspond a un endiguement faible de type restriction. Un graphe conceptuel est pertinent pour sa generalisation. Il s'agit de la de nition m^eme de pertinence dans le systeme Elen. Le graphe resultat est le m^eme que celui de depart, sauf que un des types de concepts de ce dernier a ete specialise. En particulier, pour un graphe

g

constitue d'un unique concept, l'application de cette regle revient a armer qu'il existe un relon concept

i

associe a

trans

(

g

), tel que

i

est en relation d'endiguement faible de type restriction avec un relon concept

j

(

i

!fr

j

) dans le graphe situation resultant.

Endiguement Faible

,Restr:,,!

f

r S2;RT[fg

S2;RT[f g

La propriete d'endiguement (ED) (voir chapitre precedent) n'est pas applicable dans le contexte d'un systeme a base de graphes conceptuels simples. En e et, dans ce cas, le langage d'indexation relationnelle est confondu avec le langage des relons puisqu'il n'est pas possible d'avoir des concepts qui soient eux-m^emes des graphes conceptuels (voir page 153).

En n, les deux regles d'equivalence suivantes expriment le fait que deux graphes equivalents ont exactement les m^emes derivations de pertinence. Si un graphe

g

se projette sur un graphe

h

alors

g

se projettera egalement sur un graphe qui lui soit equivalent. Cela decoule du fait que la projection n'est pas necessairement injective. Les deux regles d'equivalence mentionnent egalement le fait qu'il importe peu la facon dont les graphes ont ete construits, c'est-a-dire que l'ordre d'application des operateurs de formation de graphes n'a pas une in uence sur les decisions de pertinence. Par exemple avec ces deux regles, nous pouvons a partir de

S

[

T

2;

S

inferer

T

[

S

2;

S

.

Equivalence

S2;RT SU U2;RT

S2;RT TU S2;RU

Les postulats de pertinence ci-dessus presentes constituent l'ensemble minimal des decisions de pertinence deElen, a partir desquelles toutes les autres decisions du systeme peuvent ^etre deduites. Par exemple, la transitivite est valide dans Elen, puisque qu'il s'agit d'une propriete intrinseque de la relation de specialisation.

Transitivite

S2;RT T2;RU S2;RU

12:Nous rappelons ainsi que les situations ajoutees doivent ^etre conformes a celles speci ees dans la de ni-tion 4.2.5(page 154).

La transitivite est une regle de derivation deduite de tout systeme logique contenant les regles de monotonicite, d'equivalence et du Cut.

De plus, la disjonction decoule de la regle de monotonicite prudente et de l'endiguement faible, elle constitue egalement une propriete evidente de la relation d'ordre:

Disjonction

S2;RT U2;RT S[U2;RT

En termes de graphes conceptuels, si

g

1 

g

et

g

2 

g

alors

g

1j

g

2 

g

, ou j correspond a l'operateur de jointure entre graphes. En e et, par de nition nous avons

g

1j

g

2 

g

1 et

g

1j

g

2



g

2. Comme

g

1 

g

et

g

2

g

, on en deduit par transitivite la consequence

g

1j

g

2

g

.

En raisonnant maintenant sur les situations, si

g

1est une specialisation de

g

c'est qu'il reprend le graphe

g

tout en l'enrichissant soit par des restrictions, soit par des ajouts d'informations (jointures avec d'autres graphes). Autrement dit,

g

est inclus (au sens sous-graphe) a des restrictions de concepts pres dans

g

1. De la m^eme facon

g

est egalement inclus dans

g

2 a des restrictions de concept pres. Il est alors facile de constater que

g

1 et

g

2 partagent un sous-graphe commun a des restrictions de concepts pres. La regle d'endiguement faible permet de faire passer une des deux translations associee au graphe

g

1 ou au graphe

g

2 vers une autre plus speci que (correspondant a une specialisation du graphe de depart) de facon a ce qu'elle partage un m^eme sous-ensemble (sous-graphe) avec la translation de l'autre graphe. Cet ensemble etant necessairement non vide (

g

n'etant pas vide), il sut ensuite d'appliquer la regle de monotonicite prudente.

En n, la regle du bouclage peut egalement ^etre deduite directement a partir de la transitivite. Elle est aussi une propriete intrinseque de la relation d'ordre.

Bouclage

S02;RS1 S12;RS2 ::: Sk,12;RSk Sk2;RS0 S02;RSk

Nous prouvons dans [HOC96], que les 5 premiers postulats precedemment presentes sont su-sant pour simuler la notion de pertinence dansElen:

De nition 4.2.6 (Les Decisions de Pertinence dans

Elen

)

Le systeme de derivation de per-tinenceE correspondant aux decisions de pertinence du systeme Elenest de ni comme l'ensemble des postulats fRe exivite, Monotonicite Prudente, Endiguement faible, Equivalence, Cutg.

En particulier les deux theoremes suivants sont enonces. Les preuves sont laissees comme exer-cices. Un resume des deux demonstrations est donne comme indication. Pour une preuve detaillee, le lecteur pourra consulter [HOC96].

Theoreme 11 (Correction)

Le systeme de derivation de pertinence E est correct. C'est-a-dire, pour tous les graphes conceptuels

g

et

h

2G, si `

E trans(g)2;Rtrans(h) alors

g



h

.

Preuve 7

Resume: il sut de montrer que chaque postulat du systeme de derivation de pertinence

E est associe a un ou plusieurs operateurs de formation de graphes. Nous avons deja mentionne a quoi correspondent certains des e postulats precedents.

Theoreme 12 (Completude)

Le systeme de derivation de pertinenceE est complet. C'est-a-dire, pour tous les graphes conceptuels

g

et

h

2G, si

g



h

alors `

E trans(g)2;Rtrans(h)

Preuve 8

Resume: supposons que

g



h

, cela signi e que

g

est construit a partir de

h

par le biais des quatre operateurs de formation de graphes. Pour chaque operateur, nous avons a inspecter si cet operateur peut ^etre traduit en termes du systeme de derivation de pertinenceE. Pour une preuve detaillee, le lecteur pourra consulter [HOC96].

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