Notions de Base

Les graphes conceptuels sont presentes comme un modele general d'ecriture de reseaux pour la representation des connaissances. L'accent a ete mis sur le fait que toutes les autres formes de representation pourraient ^etre exprimees sous la forme de graphes conceptuels. Cet aspect de generalite est au coeur des 5 avantages du formalisme que la communaute des graphes conceptuels1

se pla^t a rappeler: generalite, existence de standards, expressivite, rapidite de traitements et enn les potentialites d'interaction homme-machine. La representation des connaissances se fait a travers la description des concepts et des relations entre ces concepts.

Denition 4.1.1 (Graphe Conceptuel)

Un graphe conceptuel est un graphe ni, oriente, connexe et biparti. On y trouve ainsi deux types de noeuds: les noeuds concepts et les noeuds relations.

Les concepts sont representes graphiquement par des rectangles et correspondent a des objets du domaine de l'application. Par denition, ils ont chacun un type note en majuscules et parfois un referent note en minuscules. On parle alors de concept individuel dans le cas de la presence du referent, et de concept generique dans le cas contraire. Par exemple, PERSONNE : represente un concept generique denotant l'ensemble des personnes du domaine de l'application. Ce concept est egalement note PERSONNE . Par contre, le concept PERSONNE : # represente une personne particuliere non identiee. Enn le concept PERSONNE : #

John

denote l'individu de nom John. Les referents dierents de , sont appeles marqueurs individuels. Le marqueur

?

est un marqueur generique. L'ensemble des marqueurs est denote par M.

Le type represente la classe a laquelle se rattache le concept exprime, tandis que le referent est vu comme une instanciation du concept. Ces deux elements sont relies par une relation de conformite

Conf

, assertant que le referent est un element de la classe du type de concept. L'ensemble des referents conformes a un type de concept forme l'extension de ce dernier, ou sa denotation:

Denition 4.1.2 (Denotation de Type)

Soit Tc l'ensemble de tous les types de concepts. La denotation d'un type de concept

t

c2Tc est l'ensemble des marqueurs individuels de M conformes a

t

c, c'est-a-dire qui sont des referents possibles de ce type de concept.

Les types de concepts Tc sont organises selon une hierarchie des types qui constitue un treillis ni. Ce treillis est muni d'une relation d'ordre partiel, denie de la facon suivante: si la denotation d'un type de concept

c

1 est incluse dans la denotation du type de concept

c

2 alors

c

1 

c

2 dansTc. De plusverie les proprietes de re exivite et de transitivite. Par exemple,HommePersonne. Nous disons que Homme est une restriction (sous-type) de Personne, et que Personne est une generalisation de Homme. Les relations conceptuelles sont representees graphiquement par des ovales etiquetes par le type de la relation. Une relation a au moins un arc, et chaque arc d'une relation doit ^etre lie a un concept. Les types de relations, denotes par l'ensemble Tr, sont aussi classes dans une structure de treillis. Ces elements de base etant poses, Sowa introduit la notion de graphe simple:

Denition 4.1.3 (Graphe Simple)

Un graphe simple est forme d'un ensemble de concepts et un ensemble de relations tels que chaque concept est relie a au moins une relation (connexite) et chaque relation est reliee a un nombre de concepts egal a son arite. Un concept seul est aussi considere comme un graphe simple.

Un exemple de graphe simple est donne dans la gure 4.1 suivante:

type ^type

Relation Conceptuelle Concept

Réferent

CHAT: Tom Poursuit SOURIS: Jerry

Figure 4.1.

Un graphe simple pour \Tom poursuit Jerry"

Les rectangles et les ovales forment la notation graphique du formalisme de Sowa. Le graphe de la gure 4.1 peut ^etre egalement mis sous une forme de notation lineaire:

[CHAT:Tom]!(Poursuit)![SOURIS:Jerry].

La denition 4.1.3 permet de construire des graphes qui n'ont pas de sens2 Sowa denit ainsi un ensemble de graphes de depart noteBcan, dit base canonique, exprimant des conditions a toujours respecter, comme par exemple le fait que l'agent d'une action doit ^etre une personne:

[ACTION]!(Agt)![PERSONNE].

L'avantage de cette notion est de permettre l'expression de contraintes semantiques sans recours a un autre formalisme. Un graphe de la base canonique Bcan peut ^etre tres precis, puisqu'il peut s'agir d'un graphe assez complexe contenant plusieurs relations et concepts. Cependant, la base canonique ne permet pas d'exprimer des contraintes negatives (l'autruche ne vole pas), ni de specier des contraintes sur le nombre des liens d'un concept ou d'une relation (une action n'a qu'un agent).

2:Dans [Sow84, pp90-91] Sowa ecrit \A conceptual graph is a combination of concept nodes and relation nodes [...]. But not all such combination make sense [...]. To distinguish the meaningful graphs that represent real or possible situations in the external world, certain graphs are declared to becanonical".

Elle peut toutefois ^etre consideree comme un bon compromis entre la simplicite de sa manipulation et sa puissance d'expression.

An que ces contraintes de depart soient respectees par les graphes conceptuels generes, Sowa fait munir son formalisme des operateurs algebriques de formation de graphes suivants:

Copie:

Si

u

est un graphe conceptuel alors la copie

v

de

u

est aussi un graphe conceptuel.

Restriction:

Le type d'un concept peut ^etre remplace par un type de niveau inferieur dans le treillisTc. Le referent doit alors se conformer au nouveau type. Par exemple, [PERSONNE : #

John

] peut ^etre restreint a [HOMME : #

John

] si le type Homme et le referent John sont en relation de conformite. La restriction peut aussi porter sur le marqueur generique

?

en le reduisant a un marqueur individuel

i

donne. Par exemple, [HOMME] peut ^etre restreint a [HOMME : #

John

].

Simplication:

Quand deux concepts sont relies par deux relations identiques, alors une des deux relations peut ^etre supprimee. Par exemple, [

A

]! (

r

) ![

B

] est une simplication de [

A

]!(

r

)![

B

] (

r

) [

A

].

Jointure:

Si un concept [

c

] dans un graphe

u

est identique a un concept [

d

] dans un graphe

v

alors

u

et

v

peuvent ^etre joints pour former un graphe conceptuel

w

, en supprimant [

d

] et en liant a [

c

] toutes les relations qui etaient liees a [

d

]. Par exemple, le graphe [

A

]! (

r

)! [

B

] peut ^etre joint avec le graphe [

C

]!(

r

0)! [

B

] sur le concept [

B

]. Le graphe resultat etant [

A

]!(

r

)![

B

] (

r

0) [

C

]. On notera qu'il peut exister plusieurs facons de joindre deux graphes conceptuels. Ainsi, le graphe [

A

]!(

r

)![

A

] peut ^etre joint au graphe [

A

]!(

r

0)!

[

B

] de deux manieres dierentes en produisant soit le graphe [

A

]! (

r

)![

A

]!(

r

0)! [

B

] soit le graphe [

B

] (

r

0) [

A

]!(

r

)![

A

].

Seuls les graphes construits a partir de la base canonique par ces quatre operateurs sont des expressions du langage des graphes conceptuels. Sowa introduit alors un ordre partiel  sur les graphes (relation a ne pas confondre avec la relation d'ordre sur les types). Cet ordre denit une relation d'inference sur les graphes permettant de determiner si les informations representees par un graphe induisent les informations representees par un autre graphe. En d'autres termes, Sowa etend la relation d'ordre partiel sur les types de concepts aux graphes conceptuels. Cette derniere est denie en termes d'une sequence d'application des regles de formation precedentes:

Denition 4.1.4 (Derivation de Graphes Conceptuels)

Si

u

est le resultat de l'application d'une sequence des quatre operateurs algebriques a un graphe de depart

v

, alors on dit que

u

est derivable de

v

et on note

u



v

.

On dit egalement que

u

est une specialisation de

v

ou que

v

est une generalisation de

u

. Cette relation peut aussi ^etre denie par l'operateur de projection, considere comme un morphisme de graphes bipartis (les sommets concepts sur les sommets concepts, les sommets relations sur les sommets relations):

Denition 4.1.5 (Projection)

Il existe une projection d'un graphe

h

sur un graphe

g

si, et seule-ment si, il existe une application



de

h

vers

g

satisfaisant les conditions suivantes:

 pour chaque relation conceptuelle

r

de

h

,



(

r

) est identique a

r

.

 si les concepts [

c

1] et [

c

2] sont relies par une relation

r

dans

h

, alors



(

c

1) et



(

c

2) sont egalement relies par



(

r

).

Le sous-graphe de

g

identie par



, est appele la projection

h

sur

g

.

La projection



telle qu'elle a ete denie par Sowa n'est pas necessairement injective: si

x

1et

x

2

sont deux concepts ou deux relations conceptuelles ou

x

1 6=

x

2, il est possible d'avoir



(

x

1) =



(

x

2). Le resultat de la projection n'est pas toujours unique: le graphe

g

peut avoir plusieurs sous-graphes dierents veriant la condition de la projection. La gure 4.2 montre un exemple de projection.

Origine

SPORT Poss MONAGNE: Alpes

LAC: Blanc Loc RANDONNEE

Poss LIEU LAC ACTIVITE Loc Loc CASCADE h g

Figure 4.2.

En grise est represente la projection de

h

sur

g

.

h

peut ^etre interprete comme suit:\il existe une activite et un sport localises sur le m^eme lieu possedant un lac".

Sowa prouve que si un graphe

g

est une specialisation d'un graphe

h

, alors il existe une projection de

h

sur

g

. De plus dans [CM92], il est demontre que s'il existe une projection de

h

sur

g

, alors

g



h

.

Theoreme 8

Soient

g

et

h

deux graphes conceptuels. On dit que

g

est une specialisation de

h

(note

g



h

) si, et seulement si, il existe une projection



de

h

dans

g

.

Une des caracteristiques importantes du modele de Sowa est que le raisonnement precedent sur les graphes peut ^etre fait tout en conservant un lien avec la logique de premier ordre. Sowa denit un operateur d'interpretation logique, note



, qui transforme chaque element du modele des graphes conceptuels en un element de la logique du premier ordre. L'operateur



associe a tout type de concept un predicat unaire et a tout type de relation, un predicat de m^eme arite que le type. A un marqueur individuel est associe une constante.

Denition 4.1.6 (L'operateur )

L'association d'une formule logique



(

u

) a un graphe concep-tuel

u

est realisee de la facon suivante:

1. Pour chaque concept[

c

], on associe un predicat

t

c(

p

) dont le nom est egal au type de concept

t

c

individuel, soit une variable independante et quantiee si [

c

] est muni du marqueur generique

?

. Par exemple au concept [

T

: #

r

] est associe le predicat

T

(

r

) alors qu'au concept generique [

T

:] est associe la formule logique 9

xT

(

x

).

2. A chaque relation

n

-aire (

r

) est associee un predicat

n

-aire dont le nom est egal au type de la relation

t

r, et dont les parametres sont egaux aux parametres des predicats correspondant aux concepts lies par cette relation. L'ordre des parametres est convenu pour chaque type de relation.

3. Si

u

est un graphe conceptuel, (

u

) est une formule logique de premier ordre obtenue par conjonction des predicats associes aux composants de

u

dans 1) et 2).

Par exemple, au graphe

[CHAT : #

Tom

]!(

Poursuit

)![SOURIS] est associe la formule logique suivante:

9

x

CHAT(Tom)^

Poursuit

(

Tom;x

)^SOURIS(x)

Une propriete importante de l'operateur



est qu'il verie le theoreme suivant:

Theoreme 9

Pour tout couple de graphes conceptuels

u

et

v

, si

u



v

, alors



(

u

)



(

v

)

En d'autre termes, si

u

est derivable de

v

par les quatre operateurs de formation de graphes (copie, restriction, simplication, jointure) alors



(

u

) 



(

v

). Ainsi, la relation d'ordre partiel, qui est a la base du raisonnement dans le modele des graphes conceptuels, peut ^etre denie par l'existence d'une projection d'un graphe sur un graphe specialise. On en deduit des deux theoremes precedents et de la denition de la projection, la propriete suivante:

Theoreme 10

S'il existe une projection d'un graphe

h

sur un graphe

g

, alors

g



h

et



(

g

)



(

h

) Ainsi, la projection est un operateur algebrique qui simule une inference logique. Elle peut ^etre vue comme la combinaison de plusieurs operateurs de formation de graphes. La projection resume plusieurs pas de derivation de graphes en une seule operation: si la projection d'un graphe

h

sur un autre graphe

g

est possible, alors

g

peut ^etre derive de

h

. Comme on le verra dans la section 4.2, cet operateur est tres important dans un processus de recherche fonde sur les graphes conceptuels.

Dans le document Un modèle d'indexation relationnel pour les graphes conceptuels fondé sur une interprétation logique (Page 159-163)