L'ensemble d'Endiguement E

Specier qu'une relation est transitive ou que deux relations peuvent ^etre agencees pour donner lieu a une autre relation ne signie rien en soi si nous ne precisons pas ce que cela veut dire d'^etre une relation transitive ou d'^etre composee a une autre relation. Il faut specier par exemple que pour une relation binaire transitive

R

, le deuxieme argument de

R

(x,

y

) doit ^etre le m^eme que le premier argument de

R

(

y

, z). Le resultat etant une autre apparition de la relation

R

avec comme arguments

x

et

z

. Les diverses relations d'endiguement que nous avons presente dans le chapitre 3 doivent donc ^etre speciees au niveau du canon. Ces relation d'endiguement expriment les conditions que doivent satisfaire les relations pour posseder telle ou telle autre propriete. Pour representer ces relations, nous utilisons l'adaptation de Sowa des graphes existentiels de Peirce [Pei58, Rob73]:

Notation graphique Notation standard

p q r

(

p

^

q

^

r

) :

p q r

(

p

^

q

^

r

) ::

p q r

(

p

^

q

^

r

) ::

p

:

q

:

r

(

p

_

q

_

r

) :

p q

:

r s

(

p

^

q

)(

r

^

s

) :

p

:

q p



q

Figure 4.13.

Les notions de Contexte positif et de contexte negatif

^etre representees par des contextes negatifs imbriques13 (voir gure 4.13). Cela est d^u au fait que tous les operateurs Booleens peuvent ^etre reduits a des conjonction et des negations. Par exemple, la disjonction

p

_

q

peut ^etre representee comme  (

p

^ 

q

). La conjonction de deux termes est representee par un contexte (graphiquement une bo^te) ou ces deux derniers sont mis c^ote a c^ote. Peirce represente la negation par le symbole : place avant un contexte, donnant ainsi lieu a un contexte negatif. Dans la gure precedente, les trois premieres lignes du tableau montrent les termes

p

,

q

et

r

assertes d'abord dans un contexte positif, puis dans un contexte negatif, puis dans une double negation ou un contexte negatif est imbrique dans un autre contexte negatif. Les deux dernieres lignes du tableau montrent la notation qu'adopte Peirce pour la representation de l'implication logique. Cette derniere provient du fait que

p



q

,

p

_

q

,(

p

^ 

q

), ce qui explique le graphe propose.

A premier abord cette notation para^t dicile a apprehender. Cependant, Sowa precise qu'avec un peu de pratique, l'utilisateur peut facilement \voir" les dierentes combinaisons des bo^tes comme des disjonctions et des implications14.

Cette notion de contexte fut alors reprise par Sowa en permettant aux concepts d'avoir des graphes comme referents. De tels concepts sont appeles des contextes et ont la forme generale sui-vante: [Type:f

u

1

;u

2

;::: ;u

ng], ou les

u

isont des graphes conceptuels, pouvant eventuellement ^etre eux-m^emes des contextes. Graphiquement, les contextes sont representes par des bo^tes comme dans les graphes existentiels de Peirce. Nous disons que les graphes

u

isont \assertes" par le contexte. Bien qu'a priori le type d'un contexte puisse ^etre quelconque, c'est generalement le type Proposition

qui est le plus souvent utilise dans le livre de Sowa ainsi que dans la litterature sur les graphes conceptuels en general. Ce type sert a armer une proposition ou a decrire une situation.

La relation unaire (NEG)!appliquee a un concept de typePropositionnie la conjonction des graphes conceptuels assertes dans son contexte. Le symbole: utilise dans le tableau precedent est une abreviation informelle de la relation (NEG)!. Comme les situations complexes peuvent avoir beaucoup de contextes imbriques, il y aura plusieurs repetitions du label Proposition dans les contextes. Sowa propose la notation :[

u v

] comme abreviation de (NEG)![Proposition:f

u

,

v

g]. Nous retrouvons alors la notation de Peirce, sauf qu'ici les termes apparaissant dans le contexte constituent des graphes conceptuels.

Par denition [Sow84] (page 140), un graphe de type (NEG)![Proposition:f

u

i,

:::

,

u

ng] est dit contexte negatif (\negative context"). Un contexte negatif contenant un unique graphe conceptuel qui est lui-m^eme un graphe negatif est appele une double negation. L'hypothese suivante est ensuite introduite:

Hypothese 7

Si

p

est une proposition assertant les graphes

u

1,

:::

,

u

n, alors la formule logique

p

associee a cette proposition est la suivante: (

u

1^

:::

^

u

n). Si

c

est un contexte negatif constitue de la relation (NEG)!liee a une proposition

p

, alors

c

est egale a

p

. Tous les concepts generiques apparaissant dans

p

doivent ^etre assignes d'un symbole de variable distinct par



.

Il peut ^etre parfois necessaire dans un contexte d'exprimer le fait que deux concepts representent le m^eme individu. Pour identier ces liens anaphoriques entre concepts, les liens de coreference15

13:nested negative contexts.

14:Dans [Sow84, pp139-140], l'auteur ecrit notamment: \Although nested boxes may look odd to logicians with many years of experience with the linear form, Peirce's graphs are very readable: with a little practice, the reader can immediately \see" the various combinations of boxes as disjunctions and implications".

sont alors utilises. Les liens de coreference sont representes sous une forme graphique par des traits pointilles. Dans une formule logique, ces liens sont representes en utilisant le m^eme referent pour les concepts ainsi lies, ceci en explicitant au besoin les variables pour les concepts generiques16.

Exemple 36

Le contexte negatif suivant represente le graphe conceptuel \Chaque pays a un dra-peau"

[PAYS] (Possède) [DRAPEAU]

[PAYS]

: :

Figure 4.14.

Un lien de coreference sur le concept [Pays]

Les deductions sur ces graphes conceptuels complexes se basent sur le systeme de deduction logique imagine par Peirce pour les graphes existentiels. Il s'agit d'un systeme constitue d'un seul axiome et de cinq regles d'inference. L'unique axiome correspond a l'ensemble vide des graphes et les regles d'inference sont l'eacement (Erasure), l'insertion (Insertion), l'iteration (Iteration), la deiteration (Deiteration) et la double negation (Double negation). Ces regles sont essentiellement basees sur la profondeur du graphe, c'est-a-dire sur le nombre des contextes negatifs qui doivent ^etre traverses pour arriver au contenu du graphe, ceci en partant du contexte exterieur. Selon ce nombre, le graphe est dit a contexte pair ou impair. Les contextes pairs contiennent des graphes a valeur de verite positive, tandis que les contextes impairs contiennent, eux, des graphes a valeur de verite negative. Dans l'exemple de la gure 4.14, le concept [Pays] est inclus dans un contexte ayant la profondeur 1. Les deux concepts [Pays] et [Drapeau] sont par contre inclus dans un contexte ayant la profondeur 2. On dit que le premier contexte domine le second. Si un contexte

x

appara^t dans un contexte

y

, alors

x

est dit domine par

y

. Si

x

domine un autre contexte

z

, alors

z

est egalement domine par

y

.

Denition 4.3.11 (Le systeme de deduction Alpha de Peirce)

Soit une proposition

p

. Les graphes conceptuels qui sont assertes dans cette proposition peuvent eux-m^emes ^etre des propositions (des contextes). Nous denotons par

S

lecontexte le plus en dehors de

p

, c'est-a-dire l'ensemble des graphes conceptuels qui ne sont le referent d'aucun concept. Tout graphe derive de

S

par les regles d'inference suivantes est dit inferable de

S

.

{ L'Eacement (ou \Erasure"): tout graphe apparaissant dans un contexte pair peut ^etre eace. { L'Insertion (ou \Insertion"): n'importe quel graphe peut ^etre insere dans un contexte impair. { L'Iteration (ou \Iteration"): la copie de n'importe quel graphe

u

peut ^etre inseree dans le

contexte dans lequel

u

appara^t ou dans n'importe quel contexte domine par

u

.

{ La Deiteration (ou \Deiteration") : n'importe quel graphe dont l'occurrence peut ^etre le resultat de l'application de la regle d'iteration peut ^etre supprime (i.e, si ce graphe est identique a un autre graphe dans le m^eme contexte ou dans un contexte dominant).

{ La Double Negation: une double negation peut ^etre dessinee autour d'un graphe ou d'un en-semble de graphes dans n'importe quel contexte. Elle peut ^etre egalement eacee de n'importe quel graphe ou ensemble de graphes dans un contexte quelconque.

L'ensemble vide des graphes est le seul axiome logique de ce systeme de deduction: il est note soit par f g ou simplement par un espace blanc. Tout graphe inferable de f g par les regles de deduction ci-dessus citees est dit un theoreme.

Sowa mentionne que ce systeme permet la deduction de tous les axiomes des logiques classiques. De plus, la regle de modus ponens peut ^etre simulee: etant donnes les enonces

p

et

p



q

, l'enonce

q

est derive. En termes de graphes conceptuels, nous commencons par

p

et :[

p

:[

q

]]. L'application de la regle de deiteration permet d'eacer

p

::[:[

q

]. Comme une double negation peut ^etre eacee de n'importe quel graphe, le graphe

q

peut ^etre derive.

Le systeme de deduction de Peirce, ci-dessus mentionne, fut alors generalise par Sowa, an de prendre en compte les liens de coreference et les quatre operateurs de formation de graphes. Les 5 regles precedentes ont ete legerement modiees. Par exemple la regle d'insertion est devenue la suivante:

{ Insertion: dans un contexte impair, n'importe quel graphe conceptuel peut ^etre insere, un lien de coreference peut ^etre dessine entre deux concepts identiques, et une restriction peut ^etre eectuee sur n'importe quel concept.

De plus, deux regles ont ete ajoutees, il s'agit de la jointure de coreferent (Coreferent join) et l'individualisation (Individuals). Pour plus de detail sur le systeme ainsi etendu, le lecteur pourra consulter [Sow84] ([pp154{155]).

Gr^ace a l'utilisation du modus ponens, des regles de deduction de type \

Si

Condition

Alors

Resultat" peuvent ^etre representees et exploitees par le formalisme des graphes conceptuels. Nos re-lations d'endiguements du chapitre 3 peuvent donc ^etre denies et representees a l'aide de contextes.

Par exemple, la propriete de transitivite peut ^etre representee de la facon suivante:

Gr^ace aux liens de coreference, ce graphe contexte determine de facon precise ce que l'on en-tend par une relation binaire transitive. Les concepts des graphes conceptuels apparaissant dans le contexte de cette gure sont tous munis du type de concept universel >. Le type de relation \Relation" est un type particulier suppose ^etre egal a tout type de Tr. Ainsi, lors de l'etablisse-ment d'une projection, il peut avoir pour image n'importe quel type de relation. Si l'operateur de projection permet la prise en compte des restrictions sur les types de relations, le type Relation se comporterait comme une generalisation de tous les types deTr (une sorte de relation universelle). Nous verrons dans la section 4.4.5, qu'il s'agit par exemple de s'assurer qu'une relation decrite comme etant transitive dans l'ensemble des connaissances Ks verra la premisse de la regle repre-sentee par le contexte ci-dessus se projeter sur son graphe signature ainsi que une copie de ce dernier.

Plus formellement, l'ensemble d'endiguementEregroupe des contextes vehiculant des proprietes de relations. Il s'agit des diverses proprietes que nous avons mentionne dans le chapitre precedent.

Relation Relation Relation : : > > > > > >

Figure 4.15.

Representation de la propriete de transitivite

Relation Relation Relation : : > > > > > >

Figure 4.16.

Representation de la propriete de composition

Par exemple, nous avons vu que la composition des relations (un cas particulier de la propriete d'agencement) exprime le fait que si

R

1(

x;y

)^

R

2(

x;y

) alors

R

3(

x;y

). Ceci peut ^etre exprime par le contexte de la gure 4.16.

Enn la gure 4.17 qui suit represente la symetrie qui est une instanciation de la propriete de permutation aux relations binaires.

Relation Relation

:

:

> > > >

Figure 4.17.

Representation de la propriete de symetrie

Si toutes ces regles sont de la forme \

Si

Condition

Alors

Resultat", nous devons toutefois ^etre vigilant quant aux relations qui rendent valide la condition. Ainsi, les contextes inclus dans l'ensembleE doivent ^etre utilises d'une maniere duale avec les graphes de la base de connaissances

appliquer la regle et declencheront ainsi le resultat.

Pour illustrer comment se passent reellement les choses, reprenons la propriete de symetrie et le graphe contexte qui lui est associe. Nous avons montre dans la section precedente que les proprietes des relations sont representees par des graphes conceptuels ajoutes a l'ensemble des connaissances

Ks. Pour appliquer la regle de production vehiculee par ce graphe contexte a une relation

R

, il faudra verier que le graphe [RELATION: *]! (Attribut) ! [SYMETRIQUE] se projette sur un des graphes assertant les proprietes de

R

dansKs. Dans ce cas, la relation

R

est bien symetrique et le resultat de la regle de production du contexte peut lui ^etre applique. Ainsi, les graphes contextes que nous avons presente dans cette section se voient ajouter un graphe conceptuel mentionnant de quel type de relation il s'agit. Ce graphe joue le r^ole d'un identicateur pour le contexte. Il est une specialisation de l'un des trois graphes denissant le type des proprietes dansKs. Il s'agit:

{ pour les proprietes de type mathematique, du graphe: [RELATION]!(Attribut)![PROPRIETE] { pour les proprietes de type agencement, du graphe:

[RELATION]!(Agencement) [RELATION]

#

[RELATION]

{ pour les liens semantiques entre relations, du graphe: [RELATION]!(LienSemantique)![RELATION]

La specialisation de ces graphes peut porter sur des types de concepts ou de relations. Les referents devant toujours ^etre des marqueurs generiques (

?

). Il est a noter que plusieurs relations d'endiguement peuvent ^etre representees par le m^eme graphe contexte. La composition, la compo-sition stricte a gauche et la compocompo-sition stricte a droite (voir chapitre 3) peuvent ^etre decrites par le m^eme graphe contexte du type de la gure 4.16, muni de l'identicateur suivant:

[RELATION :

?

]!(Composition) [RELATION :

?

]

#

[RELATION :

?

]

L'utilisation du treillis des types de relationsTRspe permet d'assurer la projection de cet identi-cateur sur des graphes conceptuels deKsfaisant etat, par exemple, d'une relation de composition stricte.

Exemple 37

La gure 4.18 suivante montre l'identicateur de la propriete de symetrie.

Si dans Ks appara^t le graphe [RELATION:

R

1]! (Attribut)![SYMETRIQUE], alors l'iden-ticateur du contexte de la gure 4.18 precedente se projettera sur ce graphe. Par la suite, il nous sera possible d'exploiter la semantique de la propriete de symetrie pour la relation

R

1.

Nous verrons dans la section 4.4.5(page 189) comment ces contextes identies peuvent ^etre exploites pour inclure un raisonnement sur les relations et leurs proprietes dans le formalisme des graphes conceptuels.

Attribnut SYMETRIQUE RELATION : * Relation Relation : : > > > >

Figure 4.18.

Applicabilite de la condition du contexte

4.4 Un Modele de

GCs

Propre a la RI

L'ingenierie des connaissances est la science qui consiste a appliquer la logique et l'ontologie pour la construction de modeles operationnels dedies a satisfaire un but particulier dans un domaine donne [Sow97]. Un formalisme de representation de connaissances s'attache donc, etant donnee l'on-tologie associee au domaine d'application, a utiliser la logique pour analyser les connaissances de ce domaine et a fournir un modele operationnel pour l'exploiter. Typiquement, a l'inverse de l'on-tologie representant des connaissances qui ne changent pas au cours des inferences, un formalisme de representation de connaissances gere une base de connaissances construite a partir du comporte-ment et des interactions entre les elecomporte-ments de l'ontologie gr^ace a un mecanisme d'inference logique adequat.

Les denitions que nous avons introduit dans les sections precedentes forment l'ontologie sur la base de laquelle nous construirons le formalisme des graphes conceptuels que nous utilisons pour la suite de ce chapitre et qui nous permettra d'implanter une approche relationnelle.

Dans le document Un modèle d'indexation relationnel pour les graphes conceptuels fondé sur une interprétation logique (Page 192-198)